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1、2022人教A版數(shù)學(xué)必修二 第二章 《空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置》學(xué)習(xí)過程
學(xué)習(xí)過程
知識(shí)點(diǎn)1：平面的基本性質(zhì)
⑴、 公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。
圖形語言表述：
符號(hào)語言表述;
公理1的作用：既可判定直線是否在平面內(nèi)、點(diǎn)是否在平面內(nèi)，又可用直線檢驗(yàn)平面。
⑵、 公理2：過不在一條直線的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。
圖形語言表述：
符號(hào)語言表述;
公理2的作用;一是確定平面，二是可用其證明點(diǎn)、線共面問題。
⑶、 公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。
圖形語言表述：
符號(hào)語言表
2、述;
公理3的作用：其一是判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)，只要兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，就可以判定這兩個(gè)平面必相交于過這點(diǎn)的一條直線；其二它可判定點(diǎn)在直線上，點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，線是這兩個(gè)平面的公共交線，則這點(diǎn)在交線上。
符號(hào)語言表述：
⑷、 公理4：平行于同一條直線的兩條直線相互平行。
知識(shí)點(diǎn)2：空間中直線與直線的位置關(guān)系
等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。
異面直線夾角的取值范圍: .
知識(shí)點(diǎn)3：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系
（1）、直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；
（2）、直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（3）、直線與
3、平面平行——沒有公共點(diǎn)。
直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外。
知識(shí)點(diǎn)4：平面與平面之間的位置關(guān)系
（1）、兩個(gè)平面平行——沒有公共點(diǎn)；
（2）、兩個(gè)平面相交——有一條公共直線。
典型例題
例題1 如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上的一點(diǎn)，CP=m，
（I）試確定m，使得直線AP與平面BD D1B1所成角的正切值為；
（Ⅱ）在線段A1C1上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并證明你的結(jié)論。
答案：（1）
（2）的中點(diǎn)
解析：（I）
故。所以。
又.
故
4、
在△，即.
故當(dāng)時(shí)，直線。
（Ⅱ）依題意，要在上找一點(diǎn)，使得.
可推測的中點(diǎn)即為所求的點(diǎn)。
因?yàn)椋?
又,故。
從而
例題2已知兩個(gè)正四棱錐的高分別為1和2, 。
（I）證明: ；
（II）求異面直線所成的角的余弦值；
（III）求點(diǎn)到平面的距離。
解析：（Ⅰ）取AD的中點(diǎn)M，連接PM、QM。
因?yàn)镻－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，所以ADPM，ADQM。
從而AD平面PQM。
又PQ平面PQM，所以PQ⊥AD。
同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD。
（Ⅱ）連接AC、BD，設(shè)ACBD＝O，由PQ平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在
5、PQ上，從而P，A，Q，C四點(diǎn)共面。
取OC的中點(diǎn)N，連接PN。
因?yàn)?，所?
， （或其補(bǔ)角）是異面直線AQ與PB所成的角。
連接BN。 因?yàn)椋?
所以。
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，AD⊥平面PQM，所以平面QAD⊥平面PQM 。
過點(diǎn)P作PH⊥QM于H，則PH⊥QAD，所以PH的長為點(diǎn)P到平面QAD的距離。
連結(jié)OM。因?yàn)镺M=AB=2=OQ，所以∠MQP=45°。
又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45°=。
即點(diǎn)P到平面QAD的距離是。
例題3 已知正方形。、分別是、的中點(diǎn),將沿折起，如圖所示。記二面角的大小為。
證明平面
解析：EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點(diǎn),
∴EB//FD，且EB=FD，
∴四邊形EBFD為平行四邊形。 ∴BF//ED
∵ 平面AED,而BF平面AED ∴平面.
∴。
2022人教A版數(shù)學(xué)必修二 第二章 《空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置》學(xué)習(xí)過程
