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1、2022年高考數(shù)學一輪復習 專題講座四 知能訓練輕松闖關
1．設x、y為實數(shù)，集合A＝{(x，y)|y2－x－1＝0}，B＝{(x，y)|16x2＋8x－2y＋5＝0}，C＝{(x，y)|y＝kx＋b}，問是否存在自然數(shù)k，b使(A∪B)∩C＝?？
解：因為拋物線y2－x－1＝0和16x2＋8x－2y＋5＝0在y軸上的截距分別為±1，，所以取b＝2．
由無實數(shù)解，
得1－
2、1，AA1⊥平面ABC，AA1＝BB1＝2CC1＝4．
(1)若O是AB的中點，求證：OC1⊥A1B1；
(2)在線段AB1上是否存在一點D，使得CD∥平面A1B1C1？若存在，確定點D的位置；若不存在，請說明理由．
解：(1)證明：取線段A1B1的中點E，連接OE，C1E，CO，
已知等邊三角形ABC的邊長為4，
AA1＝BB1＝2CC1＝4，AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1∥CC1，
∴四邊形AA1B1B是正方形，OE⊥AB，CO⊥AB．
∵CO∩OE＝O，∴AB⊥平面EOCC1．
又A1B1∥AB，OC1?平面EOCC1，∴OC1⊥A1B1．
(2)設OE∩A
3、B1＝D，連接CD，則點D是AB1的中點，
∴ED∥AA1，ED＝AA1，
又∵CC1∥AA1，CC1＝AA1，
∴四邊形CC1ED是平行四邊形，
∴CD∥C1E，∴CD∥平面A1B1C1，
即存在點D，使得CD∥平面A1B1C1，且點D是AB1的中點．
3．(xx·江蘇鹽城期中考試)設數(shù)列{an}的各項均為正實數(shù)，bn＝log2an，若數(shù)列{bn}滿足b2＝0，bn＋1＝bn＋log2p，其中p為正常數(shù)，且p≠1．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若p＝2，設數(shù)列{cn}對任意的n∈N*，都有c1bn＋c2bn－1＋c3bn－2＋…＋cnb1＝－2n成立，問數(shù)列{cn
4、}是不是等比數(shù)列？若是，請求出其通項公式；若不是，請說明理由．
解：(1)因為bn＋1＝bn＋log2p，所以bn＋1－bn＝log2p，
所以數(shù)列{bn}是以log2p為公差的等差數(shù)列，
又b2＝0，所以bn＝b2＋(n－2)(log2p)＝log2pn－2，
故由bn＝log2an，得an＝2bn＝2log2pn－2＝pn－2．
(2)因為p＝2，由(1)得bn＝n－2，
所以c1(n－2)＋c2(n－3)＋c3(n－4)＋…＋cn(－1)
＝－2n，①
則c1(n－1)＋c2(n－2)＋c3(n－3)＋…＋cn＋1(－1)
＝－2(n＋1)，②
由②－①，得c1＋c2
5、＋c3＋…＋cn－cn＋1＝－2，③
所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＋cn＋1－cn＋2＝－2，④
再由④－③，得2cn＋1＝cn＋2，即＝2(n∈N*)，
所以當n≥2時，數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，
又由①式，可得c1＝2，c2＝4，則＝2，
所以數(shù)列{cn}一定是等比數(shù)列，且cn＝2n．
4．(xx·貴陽市適應性考試) 如圖，等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個頂點均在拋物線E：x2＝2py(p＞0)上．
(1)求拋物線E的方程；
(2)設動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y＝－1相交于點Q，以PQ為直徑的圓是否恒過y軸上某定點M，若存在，求出M的坐標；若不存在，請
6、說明理由．
解：(1)依題意|OB|＝8，據(jù)對稱性知∠BOy＝30°．
設點B(x，y)，則x＝8×sin 30°＝4，
y＝8×cos 30°＝12，
所以B(4，12)在拋物線上，
所以(4)2＝2p×12，解得p＝2，
拋物線E的方程為x2＝4y．
(2)設點P(x0，y0)(x0≠0)，因為y＝x2，y′＝x，
直線l的方程為y－y0＝x0(x－x0)，
即y＝x0x－x．
由，得，所以Q(，－1)．
設滿足條件的定點M存在，坐標為M(0，y1)，
所以＝(x0，y0－y1)，＝(，－1－y1)，
又因為·＝0，
所以－y0－y0y1＋y1＋y＝0，又y0＝x(x0≠0)，聯(lián)立解得y1＝1，
故以PQ為直徑的圓過y軸上的定點M(0，1)．
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