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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第2講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件練習(xí) 新人教A版
[考情展望] 1.直接考查“若p,則q”形式的四種命題及其真假性的判定.2.以函數(shù)、方程、不等式等知識為載體,考查充分必要條件的判定方式.3.借助充要條件探索命題成立的依據(jù).
一、四種命題及其關(guān)系
1.四種命題間的相互關(guān)系:
2.四種命題的真假關(guān)系
(1)兩個命題互為逆否命題,它們有相同的真假性;
(2)兩個命題互為逆命題或互為否命題,它們的真假性沒有關(guān)系.
二、充分條件與必要條件
1.如果p?q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件.
2.如果p?q,那么p與q互為充要條件.
3
2、.如果pD/?q,且qD/?p,則p是q的既不充分又不必要條件.
充分條件與必要條件的兩個特征
(1)對稱性:若p是q的充分條件,則q是p的必要條件,即“p?q”?“q?p”;
(2)傳遞性:若p是q的充分(必要)條件,q是r的充分(必要)條件,則p是r的充分(必要)條件.
注意區(qū)分“p是q的充分不必要條件”與“p的一個充分不必要條件是q”兩者的不同,前者是“p?q”而后者是“q?p”.
1.已知a,b,c∈R,命題“若a+b+c=3,則a2+b2+c2≥3”的否命題是( )
A.若a+b+c≠3,則a2+b2+c2<3
B.若a+b+c=3,則a2+b2+
3、c2<3
C.若a+b+c≠3,則a2+b2+c2≥3
D.若a2+b2+c2≥3,則a+b+c=3
【解析】 命題“若p,則q”的否命題是“若綈p,則綈q”,將條件與結(jié)論進(jìn)行否定.
∴否命題是:若a+b+c≠3,則a2+b2+c2<3.
【答案】 A
2.命題“若α=,則tan α=1”的逆否命題是( )
A.若α≠,則tan α≠1 B.若α=,則tan α≠1
C.若tan α≠1,則α≠ D.若tan α≠1,則α=
【解析】 由命題與其逆否命題之間的關(guān)系可知,原命題的逆否命題是:若tan α≠1,則α≠.
【答案】 C
3.命題“若a>-3,則a>-6
4、”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中假命題的個數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 原命題正確,從而其逆否命題正確;其逆命題為“若a>-6,則a>-3”是假命題,從而其否命題也是假命題,故選B.
【答案】 B
4.下列命題正確的有________.
①“a>b”是“a2>b2”的充分條件;
②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要條件;
③“a>b”是“a+c>b+c”的充要條件;
④“a>b”是“ac2>bc2”的充要條件.
【解析】 由于|a|>|b|?a2>b2,a>b?a+c>b+c,故②③正確.由于a>bD/?a2>b2,且a2
5、>b2D/?a>b,故①錯;當(dāng)c2=0時(shí),a>bD/?ac2>bc2,故④錯.
【答案】?、冖?
5.(xx·安徽高考)“(2x-1)x=0”是“x=0”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【解析】 當(dāng)x=0時(shí),顯然(2x-1)x=0;當(dāng)(2x-1)x=0時(shí),x=0或x=,所以“(2x-1)x=0”是“x=0”的必要不充分條件.
【答案】 B
6.(xx·湖南高考)“1
6、 設(shè)A={x|1
7、(a>0,a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)”是真命題;
②命題“若a=0,則ab=0”的否命題是“若a≠0,則ab≠0”;
③命題“正多邊形都相似”的逆命題為真命題;
④命題“若a∈M,則b?M”與命題“若b∈M,則a?M”等價(jià).
【思路點(diǎn)撥】 (1)直接根據(jù)逆否命題的定義寫出,但應(yīng)注意“都是”的否定是“不都是”.
(2)借助命題真假的判斷方式逐一辨析即可.
【嘗試解答】 (1)“x+y是偶數(shù)”的否定為“x+y不是偶數(shù)”,“x,y都是偶數(shù)”的否定為“x,y不都是偶數(shù)”.因此其逆否命題為“若x+y不是偶數(shù),則x,y不都是偶數(shù)”.故選C.
(2)①由log2a>0可知a>1,故函數(shù)f(x
8、)=logax(a>0,a≠1)在其定義域內(nèi)是增函數(shù),故①錯誤.
②正確.
③的逆命題為“相似的多邊形是正多邊形”是假命題,故③錯誤.
④正確.原命題與其逆否命題是等價(jià)命題.
【答案】 (1)C (2)②④
規(guī)律方法1 1.(1)在判斷四種命題之間的關(guān)系時(shí),首先要分清命題的條件與結(jié)論,再考查每個命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系.(2)當(dāng)一個命題有大前提而需寫出其他三種命題時(shí),必須保留大前提不變.
2.判定命題為真,必須推理證明;若說明為假,只需舉出一個反例.互為逆否命題是等價(jià)命題,根據(jù)需要,可相互轉(zhuǎn)化.
考向二 [005] 充分條件與必要條件的判定
(1)(xx·北京高考)“φ=π
9、”是“曲線y=sin(2x+φ)過坐標(biāo)原點(diǎn)”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
(2)(xx·山東高考)給定兩個命題p,q.若綈p是q的必要而不充分條件,則p是綈q的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【思路點(diǎn)撥】 (1)根據(jù)曲線y=sin(2x+φ)過原點(diǎn)時(shí)sin φ=0以及舉反例法求解.
(2)借助原命題與逆否命題的等價(jià)判斷.
【嘗試解答】 (1)當(dāng)φ=π時(shí),y=sin(2x+φ)=sin(2x+π)=-sin 2x,此時(shí)曲線y=sin
10、(2x+φ)必過原點(diǎn),但曲線y=sin(2x+φ)過原點(diǎn)時(shí),φ可以取其他值,如φ=0.因此“φ=π”是“曲線y=sin(2x+φ)過坐標(biāo)原點(diǎn)”的充分而不必要條件.
(2)若綈p是q的必要不充分條件,則q?綈p但綈pD/?q,其逆否命題為p?綈q但綈qD/?p,∴p是綈q的充分不必要條件.
【答案】 (1)A (2)A
規(guī)律方法2 充分、必要條件的三種判斷方法
1.定義法:直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假.并注意和圖示相結(jié)合,例如“p?q”為真,則p是q的充分條件.
2.等價(jià)法:利用p?q與綈q?綈p,q?p與綈p?綈q,p?q與綈q?綈p的等價(jià)關(guān)系,對于條件或結(jié)論是否定式的命
11、題,一般運(yùn)用等價(jià)法.
3.集合法:若A?B,則A是B的充分條件或B是A的必要條件;若A=B,則A是B的充要條件.
考向三 [006] 充分條件與必要條件的應(yīng)用
(xx·保定模擬)設(shè)命題p:2x2-3x+1≤0;
命題q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈p是綈q的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
【思路點(diǎn)撥】 思路一:求綈p及綈q,由綈q?綈p,但綈pD/?綈q建立實(shí)數(shù)a的不等關(guān)系,解不等式便可.
思路二:由先解不等式把命題p、q具體化,再由互為逆否命題的等價(jià)性確定p、q之間的關(guān)系,最后根據(jù)集合的關(guān)系列不等式求解.
【嘗試解答】 方法一:由2x2
12、-3x+1≤0得≤x≤1,
即命題p:≤x≤1,
所以命題綈p:x<或x>1.
由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0得a≤x≤a+1,
即命題q:a≤x≤a+1.
所以命題綈q:x<a或x>a+1
因?yàn)榻恜是綈q的必要不充分條件,所以綈q?綈p,但綈pD/?綈q.
如圖所示:
故,即0≤a≤.
方法二:由2x2-3x+1≤0得≤x≤1,
由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0得
a≤x≤a+1,由綈p是綈q的必要不充分條件知,p是q的充分不必要條件,即{x|a≤x≤a+1},
∴∴0≤a≤.
【答案】
規(guī)律方法3 1.借助命題間的等價(jià)關(guān)系直接建立參數(shù)a
13、的不等關(guān)系,避免了繁瑣轉(zhuǎn)換計(jì)算,將失誤降到最低.
2.解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式求解.
3.注意利用轉(zhuǎn)化的方法理解充分必要條件:若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)條件,則p是q的必要不充分(充分不必要、充要)條件.
對點(diǎn)訓(xùn)練 已知命題p:命題q:1-m≤x≤1+m,m>0,若q是p的必要而不充分條件,則m的取值范圍為________.
【解析】 命題p:-2≤x≤10,由q是p的必要不充分條件知,
{x|-2≤x≤10}{x|1-m≤x≤1+m,m>0},
∴或,
∴m≥9,即m的取
14、值范圍是[9,+∞).
【答案】 [9,+∞)
易錯易誤之一 “條件”與“結(jié)論”顛倒黑白釀失誤
———— [1個示范例] ———— [1個防錯練] ————
(xx·濟(jì)南模擬)下面四個條件中,使a>b成立的充分而不必要的條件是( )
A.a(chǎn)>b+1 B.a(chǎn)>b-1
C.a(chǎn)2>b2 D.a(chǎn)3>b3
【解析】 要求a>b成立的充分不必要條件,必須滿足
由選項(xiàng)能推出a>b,而由a>b推不出選項(xiàng).
此處在求解中,常誤認(rèn)為“由a>b推出選項(xiàng),而由選項(xiàng)推不出a>b”而錯選B.出錯的原因是“分不清哪個是條件,哪個是結(jié)論”.在選項(xiàng)A中,a>b+1能使a>b成
15、立,而a>b時(shí)a>b+1不一定成立,故A正確;在選項(xiàng)B中a>b-1時(shí)a>b不一定成立,故B錯誤;在選項(xiàng)C中,a2>b2時(shí)a>b也不一定成立,因?yàn)閍,b不一定均為正值,故C錯誤;在選項(xiàng)D中,a3>b3是a>b成立的充要條件,故D也錯誤.
【防范措施】 充分條件、必要條件是相對的概念,在進(jìn)行判斷時(shí)一定要注意哪個是“條件”,哪個是“結(jié)論”,如“A是B成立的……條件”,其中A是條件;“A成立的……條件是B”,其中B是條件.
設(shè)集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},則B是A的真子集的一個充分不必要條件是________.
【解析】 A={-3,2},當(dāng)B=?時(shí),BA,此時(shí)m=0,
當(dāng)B≠?時(shí),B=,則-=-3或-=2,
∴m=或m=-.
故B是A的真子集的一個充分不必要條件是m=0(答案不唯一).
【答案】 m=0(答案不唯一)