2022年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 第7篇 第3節(jié) 空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系課時(shí)訓(xùn)練 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 第7篇 第3節(jié) 空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系課時(shí)訓(xùn)練 理 新人教A版 一 選擇題 1．對(duì)于直線m、n和平面α，下列命題中的真命題是(　　) A．如果m?α，n?α，m、n是異面直線，那么n∥α B．如果m?α，n?α，m、n是異面直線，那么n與α相交 C．如果m?α，n∥α，m、n共面，那么m∥n D．如果m?α，n∥α，m、n共面，那么m與n相交 解析：對(duì)于選項(xiàng)A，n可以與平面α相交，對(duì)于選項(xiàng)B，n可以與平面α平行，故選項(xiàng)A、B均錯(cuò)； 由于m?α，n∥α，則m、n無(wú)公共點(diǎn)，又m、n共面，所以m∥n，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)．故選C. 答案：C

2、 2．以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) ①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線； ②若點(diǎn)A、B、C、D共面，點(diǎn)A、B、C、E共面，則A、B、C、D、E共面； ③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面； ④依次首尾相接的四條線段必共面 A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：①中，假設(shè)存在三點(diǎn)共線，則這四點(diǎn)必共面，與題設(shè)矛盾，故①正確； ②中，若A、B、C三點(diǎn)共線，則A、B、C、D、E有可能不共面，故②錯(cuò)誤； ③中，如圖所示正方體的棱中，a、b共面，a、c共面，而b、c異面，故③錯(cuò)誤；④中，空間四邊形的四條線段不共面，故④錯(cuò)誤，故選B. 答

3、案：B 3．(xx重慶模擬)若兩條直線和一個(gè)平面相交成等角，則這兩條直線的位置關(guān)系是(　　) A．平行 B．異面 C．相交 D．平行、異面或相交 解析：當(dāng)平行、異面或相交時(shí)，均有兩條直線和一個(gè)平面相交成等角的情況出現(xiàn)，故選D. 答案：D 4．在四面體SABC中，各個(gè)側(cè)面都是邊長(zhǎng)為a的正三角形，E、F分別是SC和AB的中點(diǎn)，則異面直線EF與SA所成的角等于(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 解析：取SB的中點(diǎn)G，連結(jié)GE，GF. 則GE＝GF＝，且GF∥SA， 則∠GFE即為異面直線SA與EF所成的角(或其補(bǔ)角)． 由于FC＝a＝SF， 故

4、EF⊥SC，且EF＝a， 則GF2＋GE2＝EF2， 故∠EFG＝45°.故選C. 答案：C 5. l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是(　　) A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 C．l2∥l3∥l1? l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面 解析：法一　在空間垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交或異面，即A不正確；根據(jù)異面直線所成角的定義可知B正確；三條直線兩兩平行不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱兩兩平行但不共面；三條直線交于一點(diǎn)也不一定共面，如三棱錐的三條側(cè)棱共點(diǎn)但不共面，故

5、選B. 法二　如圖正方體中，l1，l2，l3看作如圖A1A，A1B1，B1C1，則A錯(cuò)，看作AB，A1B1，D1C1，則C錯(cuò)，看作A1A，A1B1，A1D1，則D錯(cuò)，故選B. 答案：B 6．設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是(　　) A．若l⊥m，m?α，則l⊥α B．若l⊥α，l∥m，則m⊥α C．若l∥α，m?α，則l∥m D．若l∥α，m∥α，則l∥m 解析：對(duì)于選項(xiàng)A，由l⊥m及m?α，可知l與α的位置關(guān)系有平行、相交或在平面內(nèi)三種，故選項(xiàng)A不正確．選項(xiàng)B正確．對(duì)于選項(xiàng)C，由l∥α，m?α知，l與m的位置關(guān)系為平行或異面，故選項(xiàng)C不正確．對(duì)于

6、選項(xiàng)D，由l∥α，m∥α知，l與m的位置關(guān)系為平行、異面或相交，故選項(xiàng)D不正確． 答案：B 二、填空題 7．(xx年高考四川卷)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是棱CD、CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是________． 解析：如圖所示，取CN的中點(diǎn)K，連接MK，則MK為△CDN的中位線，所以MK∥DN. 所以∠A1MK為異面直線A1M與DN所成的角(或其補(bǔ)角)．連接A1C1，AM.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為4， 則A1K＝＝， MK＝DN＝＝， A1M＝＝6， 故A1M2＋MK2＝A1K2， 即∠A1MK＝90°. 答案：90° 8

7、．如圖所示，ABCDA1B1C1D1是長(zhǎng)方體，AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，則AB與A1C1所成的角為_(kāi)_______，AA1與B1C所成的角為_(kāi)_______． 解析：∵AB∥A1B1， ∴∠B1A1C1是AB與A1C1所成的角， ∴AB與A1C1所成的角為30°. ∵AA1∥BB1， ∴∠BB1C是AA1與B1C所成的角， 由已知條件可以得出 BB1＝a，AB1＝A1C1＝2a，AB＝a， ∴B1C1＝BC＝a. ∴四邊形BB1C1C是正方形， ∴∠BB1C＝45°. 答案：30°　45° 9．如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中

8、點(diǎn)，G，H分別為DE，AF的中點(diǎn)，將△ABC沿DE，EF，DF折成正四面體PDEF，則四面體中異面直線PG與DH所成的角的余弦值為_(kāi)_______. 解析：折成的四面體是正四面體，如圖，連接HE，取HE的中點(diǎn)K，連接GK，PK. 則GK∥DH，故∠PGK即為所求的異面直線所成的角(或其補(bǔ)角)． 設(shè)這個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2， 在△PGK中，PG＝，GK＝， PK＝＝， 故cos∠PGK＝ ＝ ＝. 即異面直線PG與DH所成的角的余弦值是. 答案： 10．三條直線兩兩垂直，給出下列四個(gè)結(jié)論： ①這三條直線必共點(diǎn)； ②其中必有兩條是異面直線； ③三條直線不可能共面；

9、 ④其中必有兩條在同一平面內(nèi)． 其中正確結(jié)論的序號(hào)是________． 解析：三條直線兩兩垂直時(shí)，它們可能共點(diǎn)(如正方體同一個(gè)定點(diǎn)上的三條棱)，也可能不共點(diǎn)(如正方體ABCDA1B1C1D1中的棱AA1，AB，BC)，故結(jié)論①不正確，也說(shuō)明結(jié)論②不正確；如果三條直線在同一個(gè)平面內(nèi)，根據(jù)平面幾何中的垂直于用一條直線的兩條直線平行，就導(dǎo)出了其中兩條直線既平行又垂直的矛盾結(jié)論，故三條直線不可能在同一個(gè)平面內(nèi)，結(jié)論③正確；三條直線兩兩垂直，這三條直線可能任何兩條都不相交，即任意兩條都異面(如正方體ABCDA1B1C1D1中的棱AA1，BC和C1D1)，故結(jié)論④不正確． 答案：③ 三 解答題

10、11．如圖所示，在四面體ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，RQ、DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，RP、DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K，求證：M、N、K三點(diǎn)共線． 證明：∵M(jìn)∈PQ，直線PQ?平面PQR，M∈BC，直線BC?平面BCD， ∴M是平面PQR與平面BCD的一個(gè)公共點(diǎn)， 即M在平面PQR與平面BCD的交線上． 同理可證N、K也在平面PQR與平面BCD的交線上． 又如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線， ∴M、N、K三點(diǎn)共線． 12.如圖所示，三棱錐PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中點(diǎn)． (1)求證AE與PB是異面直線； (2)求異面直線AE和PB所成角的余弦值． (1)證明：假設(shè)AE與PB共面，設(shè)平面為α， ∵A∈α，B∈α，E∈α， ∴平面α即為平面ABE， ∴P∈平面ABE， 這與P?平面ABE矛盾， 所以AE與PB是異面直線． (2)解：取BC的中點(diǎn)F， 連接EF、AF， 則EF∥PB， 所以∠AEF(或其補(bǔ)角)就是異面直線AE和PB所成的角． ∵∠BAC＝60°， PA＝AB＝AC＝2， PA⊥平面ABC， ∴AF＝，AE＝，EF＝， cos ∠AEF＝ ＝ ＝， 所以異面直線AE和PB所成角的余弦值為.