2022年高考數(shù)學專題復習 第21講 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式練習 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學專題復習 第21講 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式練習 新人教A版 [考情展望]　1.利用兩角和與差的正弦、余弦和正切公式進行三角函數(shù)式的化簡與求值.2.利用二倍角公式進行三角函數(shù)式的化簡與求值.3.與三角函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象和性質(zhì)相結(jié)合，考查學生的綜合能力． 一、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 1．六個公式： ①sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； ②cos(α±β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β； ③tan(α±β)＝. 2．公式T(α±β)的變形： ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(

2、1－tan_αtan_β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． 二、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．三個公式： ①sin 2α＝2sin_αcos_α； ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ③tan 2α＝. 2．公式S2α、C2α的變形： ①sin αcos α＝sin 2α； ②sin2α＝(1－cos 2α)； ③cos2α＝(1＋cos 2α)． 1．sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是(　　) A.　　　 B.　　　 C．－　　　 D

3、．－ 【解析】　sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26° ＝－(cos 34°cos 26°－sin 34°sin 26°)＝－cos 60°＝－. 【答案】　C 2．下列各式中，值為的是(　　) A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215° C．2sin215°－1 D．sin215°＋cos215° 【解析】　2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，cos215°－sin215°＝cos 30°＝，2sin215°－1＝－cos 30°＝－， sin215°＋cos215°＝1.故選B. 【答案】　B 3．已

4、知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，則tan 2α＝(　　) A. B．－ C. D．－ 【解析】　tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝＝＝－. 【答案】　D 4．若cos α＝－，α是第三象限角，則sin＝(　　) A．－ B. C．－ D. 【解析】　由題意知sin α＝－， ∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝－×＋×＝－. 【答案】　A 5．(xx·江西高考)若sin ＝，則cos α＝(　　) A．－ B．－ C. D. 【解析】　cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝1－＝

5、. 【答案】　C 6．(xx·四川高考)設(shè)sin 2α＝－sin α，α∈，則tan 2α的值是________． 【解析】　由sin 2α＝2sin αcos α及sin 2α＝－sin α，α∈解出α，進而求得tan 2α的值． ∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α. ∵α∈，sin α≠0，∴cos α＝－. 又∵α∈，∴α＝π， ∴tan 2α＝tan π＝tan＝tan ＝. 【答案】　 考向一 [060]　三角函數(shù)的給值求值 　(1)(xx·鄭州模擬)若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，則cos＝(　　) A.　　　

6、B．－　　　C.　　　D．－ (2)(xx·廣東高考)已知函數(shù)f(x)＝cos，x∈R. ①求f的值； ②若cos θ＝，θ∈，求f. 【思路點撥】　 (2)①把x＝－代入函數(shù)解析式，借助特殊角的三角函數(shù)值和誘導公式求f. ②由cos θ求出sin θ，利用兩角和的余弦公式和二倍角公式求f. 【嘗試解答】　(1)∵0＜α＜，∴＜＋α＜π， 所以由cos＝，得sin＝， 又－＜β＜0，且cos＝， 則＜－＜，∴sin＝， 故cos＝cos ＝coscos＋sinsin ＝. 【答案】　C (2)①因為f(x)＝cos， 所以f＝cos ＝cos＝cos

7、＝×＝1. ②因為θ∈，cos θ＝， 所以sin θ＝－＝－＝－， cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－， sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝－. 所以f＝cos ＝cos＝× ＝cos 2θ－sin 2θ＝－－＝. 規(guī)律方法1　給值求值問題，解決的關(guān)鍵是把所求角用已知角表示.,(1)當已知角有兩個時，所求角一般表示為兩個已知角的和或差的形式. (2)當已知角有一個時，此時應著眼于所求角與已知角的和或差的關(guān)系，然后應用誘導公式把所求角變成已知角.(3)注意根據(jù)角的象限確定三角函數(shù)值的符號. 對點訓練　(1)(xx·江蘇高考)設(shè)α為銳角，若cos＝，則

8、sin的值為________． (2)已知cos＋sin α＝，則sin＝________. 【解析】　(1)∵α為銳角且cos＝， ∴sin＝. ∴sin＝sin ＝sin 2cos －cos 2sin ＝sincos－ ＝××－ ＝－＝. (2)cos＋sin α＝cos αcos ＋sin αsin ＋sin α ＝cos α＋sin α＝sin＝. ∴sin＝， ∴sin＝sin＝－sin＝－. 【答案】　(1)　(2)－ 考向二 [061]　三角函數(shù)的給值求角 　已知0＜α＜＜β＜π，tan ＝，cos(β－α)＝. (1)求sin α的值；(2)求

9、β的值． 【思路點撥】　(1)tantan αsin α. (2)cos(β－α)sin(β－α)sin ββ 【嘗試解答】　(1)由tan ＝， 得tan α＝＝， ∴cos α＝sin α，①又sin2α＋cos2α＝1，② 由①、②聯(lián)立，得25sin2α＝16，∵0＜α＜，∴sin α＝. (2)由(1)知，cos α＝，sin α＝， 又0＜α＜＜β＜π，∴0＜β－α＜π. 由cos(β－α)＝，得0＜β－α＜. ∴sin(β－α)＝＝， ∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)·sin α＝×＋×＝＝. 由＜β＜π得

10、β＝π. 規(guī)律方法2　1.第(2)問中，由sin β＝易錯誤得出β＝，這些錯誤的原因都是忽視了角的范圍. 2.“給值求角”的求解思路：(1)求角的某一三角函數(shù)值，(2)討論角的范圍，確定角的大小.其中求角的某一三角函數(shù)值時，應選擇在該范圍內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為(，選正弦較好. 對點訓練　已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，試求角β的值． 【解】　由cos α＝，0＜α＜，得sin α＝＝＝. 由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜. 又∵cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝＝， 由β＝α－(α－β)，得 cos β＝co

11、s[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋×＝. 又0＜β＜，所以β＝. 考向三 [062]　三角函數(shù)式的化簡 　化簡：(1)sin 50°(1＋tan 10°)； (2)(0＜θ＜π)． 【思路點撥】　(1)切化弦，逆用兩角和的正弦公式； (2)統(tǒng)一為的三角函數(shù)，變形化簡． 【嘗試解答】　(1)sin 50° ＝sin 50° ＝ ＝ ＝＝＝＝1. (2)由θ∈(0，π)，得0＜＜，∴cos ＞0. 因此＝ ＝2cos . 又(1＋sin θ＋cos θ) ＝ ＝2cos ＝－2cos cos θ. 故原式＝＝－c

12、os θ. 規(guī)律方法3　1.本例(2)中有開方運算，聯(lián)想二倍角公式的特征進行升冪，化為完全平方式. 2.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則,(1)一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式； (2)二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”； (3)三看“結(jié)構(gòu)特征”，幫助我們找到變形的方向. 對點訓練　化簡：. 【解】　原式＝ ＝＝ ＝＝cos 2x. 規(guī)范解答之五　三角函數(shù)中給值求值問題的解題策略 ———　[1個示范例]　———[1個規(guī)范練]　——— 　　　(12分)(xx·廣東高

13、考)已知函數(shù)f(x)＝Acos，x∈R，且f＝. (1)求A的值； (2)設(shè)α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值． 【規(guī)范解答】　(1)由f＝得Acos＝，2分 即A·cos ＝，∴A＝2.4分 (2)由(1)知f(x)＝2cos. 由 得6分 解得8分 ∵α，β∈，∴cos α＝＝， sin β＝＝.10分 ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.12分 【名師寄語】　(1)在利用誘導公式時，先判斷角的范圍，確定三角函數(shù)值的符號，再寫出結(jié)果. (2)對于兩角和與差的余弦公式，應特別注意符號的差別，防止出錯. (xx·三明模擬)已知0＜α＜，β為f(x)＝cos的最小正周期，a＝，b＝(cos α，2)，且a·b＝m，求的值． 【解】　因為β為f(x)＝cos的最小正周期，所以β＝＝π. 又a·b＝cos αtan－2＝m， 故cos αtan＝m＋2. 由于0＜α＜， 所以＝ ＝＝ ＝2cos α·＝2cos αtan＝2(2＋m)．