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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題能力訓(xùn)練15 橢圓、雙曲線與拋物線 文
一、選擇題
1.(xx四川內(nèi)江四模)雙曲線=1的離心率e=( )
A.2 B. C. D.3
2.(xx河北唐山二模)已知橢圓C1:=1(a>b>0)與圓C2:x2+y2=b2,若在橢圓C1上存在點(diǎn)P,使得由點(diǎn)P所作的圓C2的兩條切線互相垂直,則橢圓C1的離心率的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
3.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的兩條漸近線均和圓C:x2+y2-6x+5=0相切,且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心,則該雙曲線的方程為( )
A.=1
B.=
2、1
C.=1
D.=1
4.(xx課標(biāo)全國Ⅰ高考,文10)已知拋物線C:y2=x的焦點(diǎn)為F,A(x0,y0)是C上一點(diǎn),|AF|=x0,則x0=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
5.已知實(shí)數(shù)4,m,9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,則圓錐曲線+y2=1的離心率為( )
A. B.
C. D.
6.(xx四川涼山州第二次診斷)若F1,F2是雙曲線=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P是該雙曲線上一點(diǎn),滿足|PF1|+|PF2|=9,則|PF1|·|PF2|=( )
A.4 B.5 C.1 D.
二、填空題
7.(xx四川資陽模擬)頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸是y軸,并且經(jīng)過點(diǎn)P(-4,-2)的拋物
3、線方程是 .?
8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,離心率為.過F1的直線l交C于A,B兩點(diǎn),且△ABF2的周長為16,那么橢圓C的方程為 .?
9.(xx山東高考,文15)已知雙曲線=1(a>0,b>0)的焦距為2c,右頂點(diǎn)為A,拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長為2c,且|FA|=c,則雙曲線的漸近線方程為 .?
三、解答題
10.已知橢圓C:=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F及點(diǎn)A(0,b),原點(diǎn)O到直線FA的距離為b.
(1)求橢圓C的離心率e;
(2)若點(diǎn)F關(guān)于直線l:2x+y=
4、0的對稱點(diǎn)P在圓O:x2+y2=4上,求橢圓C的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo).
11.(xx福建高考,文21)已知曲線Γ上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線y=-3的距離小2.
(1)求曲線Γ的方程;
(2)曲線Γ在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A,直線y=3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M,N.以MN為直徑作圓C,過點(diǎn)A作圓C的切線,切點(diǎn)為B.試探究:當(dāng)點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí),線段AB的長度是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論.
12.過橢圓=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A作斜率為2的直線,與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B,與y軸的交點(diǎn)為C,已知.
(1)求橢圓的離心率;
5、(2)設(shè)動直線y=kx+m與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線x=4相交于點(diǎn)Q,若x軸上存在一定點(diǎn)M(1,0),使得PM⊥QM,求橢圓的方程.
專題能力訓(xùn)練15 橢圓、雙曲線與拋物線
1.A 解析:由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知c2=16+48=64,
∴c=8,a=4.∴e==2.
2.C 解析:從橢圓上長軸端點(diǎn)向圓引兩條切線P'A,P'B,
則兩切線形成的角∠AP'B最小.
若橢圓C1上存在點(diǎn)P',令切線互相垂直,
則只需∠AP'B≤90°,
即α=∠AP'O≤45°,
∴sinα=≤sin45°=.
又b2=a2
6、-c2,∴a2≤2c2,
∴e2≥,即e≥.又∵00,b>0)的兩條漸近線的方程為y=±x,即bx±ay=0.
又圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=4,
半徑為2,圓心坐標(biāo)為(3,0),
∴a2+b2=9,且=2,
解得a2=5,b2=4.
∴該雙曲線的方程為=1.
4.A 解析:由拋物線方程y2=x知,2p=1,,
即其準(zhǔn)線方程為x=-.
因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上,由拋物線的定義知
|AF|=x0+=x0+,
于是x0=x0+,
解得x0=1,故選A.
5.C 解析:因?yàn)橐阎獙?shí)數(shù)4,m,9構(gòu)成一
7、個(gè)等比數(shù)列,
所以可得m2=36,解得m=6或m=-6.
當(dāng)圓錐曲線為橢圓時(shí),
即+y2=1的方程為+y2=1.
所以a2=6,b2=1,則c2=a2-b2=5.
所以離心率e=.
當(dāng)是雙曲線時(shí)可求得離心率為.
故選C.
6.D 解析:由題意結(jié)合雙曲線的定義知
||PF1|-|PF2||=4.
則由
可解得|PF1|·|PF2|=.
故選D.
7.=1 解析:由橢圓的第一定義可知△ABF2的周長為4a=16,得a=4,
又離心率為,即,
所以c=2.
故a2=16,b2=a2-c2=16-8=8,
橢圓C的方程為=1.
8.y=±x 解析:由已知得|OA|=
8、a.
∵|AF|=c,
∴|OF|==b,
∴b=.
∴拋物線的準(zhǔn)線y=-=-b.
把y=-b代入雙曲線=1得x2=2a2,
∴直線y=-被雙曲線截得的線段長為2a,
從而2a=2c.
∴c=a,∴a2+b2=2a2,∴a=b,
∴漸近線方程為y=±x.
9.解:(1)由點(diǎn)F(-ae,0),點(diǎn)A(0,b),及b=,得直線FA的方程為=1,
即x-ey+ae=0.
∵原點(diǎn)O到直線FA的距離為b=ae,
∴·a=ae,
解得e=.
(2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)F關(guān)于直線l:2x+y=0的對稱點(diǎn)為P(x0,y0),
則有
解得x0=a,y0=a.
∵點(diǎn)P在圓x2+y
9、2=4上,
∴=4.
∴a2=8,b2=(1-e2)a2=4.
故橢圓C的方程為=1,
點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
10.解法一:(1)設(shè)S(x,y)為曲線Γ上任意一點(diǎn),
依題意,點(diǎn)S到F(0,1)的距離與它到直線y=-1的距離相等,
所以曲線Γ是以點(diǎn)F(0,1)為焦點(diǎn)、直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線,
所以曲線Γ的方程為x2=4y.
(2)當(dāng)點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動時(shí),線段AB的長度不變.證明如下:
由(1)知拋物線Γ的方程為y=x2,
設(shè)P(x0,y0)(x0≠0),則y0=,
由y'=x,得切線l的斜率k=y'x0,
所以切線l的方程為y-y0=x0(x-x0),
即y=x0x
10、-.
由得A.
由
得M.
又N(0,3),所以圓心C,
半徑r=|MN|=,
|AB|=
=
=.
所以點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動時(shí),
線段AB的長度不變.
解法二:(1)設(shè)S(x,y)為曲線Γ上任意一點(diǎn),
則|y-(-3)|-=2,
依題意,點(diǎn)S(x,y)只能在直線y=-3的上方,
所以y>-3,
所以=y+1,
化簡得,曲線Γ的方程為x2=4y.
(2)同解法一.
11.解:(1)由題意可知A(-a,0),
設(shè)直線方程為y=2(x+a),B(x1,y1).
令x=0,得y=2a,∴C(0,2a).
∴=(x1+a,y1),
=(-x1,2a-y1).
11、
∵,
∴x1+a=(-x1),y1=(2a-y1),
整理得x1=-a,y1=a.
∵B點(diǎn)在橢圓上,
∴=1.
∴.∴,即1-e2=,∴e=.
(2)∵,可設(shè)b2=3t,a2=4t(t>0),
∴橢圓的方程為3x2+4y2-12t=0,
由
得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12t=0.
∵動直線y=kx+m與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,
∴Δ=0,即64k2m2-4(3+4m2)(4m2-12t)=0,整理得m2=3t+4k2t.
設(shè)P(x1,y1),則有x1=-=-,
y1=kx1+m=,
∴P.
又M(1,0),Q(4,4k+m),
若x軸上存在一定點(diǎn)M(1,0),
使得PM⊥QM,
則=0,
即·(-3,-(4k+m))=0恒成立,
整理得3+4k2=m2,
∴3+4k2=3t+4k2t恒成立.
∴t=1,故所求橢圓方程為=1.
2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題能力訓(xùn)練15 橢圓、雙曲線與拋物線 文
