4、楊輝三角形中,從上往下數(shù)共有n(n∈N*)行,在這些數(shù)中非1的數(shù)字之和是________________.
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
…
解析 所有數(shù)字之和Sn=20+2+22+…+2n-1=2n-1,除掉1的和為2n-1-(2n-1)=2n-2n.
答案 2n-2n
三、解答題(共25分)
7.(12分)已知Sn=1+++…+(n>1,n∈N*),求證:S2n>1+(n≥2,n∈N*).
證明 (1)當(dāng)n=2時(shí),S2n=S4=1+++=>1+,即n=2時(shí)命題成立;
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N*)時(shí)命題
5、成立,即S2k=1+++…+>1+,
則當(dāng)n=k+1時(shí),S2k+1=1+++…+++…+>1++++…+>1++=1++=1+,
故當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.
由(1)和(2)可知,對n≥2,n∈N*.不等式S2n>1+都成立.
8.(13分)已知數(shù)列{an}:a1=1,a2=2,a3=r,an+3=an+2(n∈N*),與數(shù)列{bn}:b1=1,b2=0,b3=-1,b4=0,bn+4=bn(n∈N*).記Tn=b1a1+b2a2+b3a3+…+bnan.
(1)若a1+a2+a3+…+a12=64,求r的值;
(2)求證:T12n=-4n(n∈N*).
(1)解 a1+a2+
6、a3+…+a12=1+2+r+3+4+(r+2)+5+6+(r+4)+7+8+(r+6)=48+4r.
∵48+4r=64,∴r=4.
(2)證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n∈N*時(shí),T12n=-4n.
①當(dāng)n=1時(shí),T12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4,故等式成立.
②假設(shè)n=k時(shí)等式成立,即T12k=-4k,那么當(dāng)n=k+1時(shí),
T12(k+1)=T12k+a12k+1-a12k+3+a12k+5-a12k+7+a12k+9-a12k+11=-4k+(8k+1)-(8k+r)+(8k+4)-(8k+5)+(8k+r+4)-(8k+8)=-4k-4=-4(k+1),等式也
7、成立.
根據(jù)①和②可以斷定:當(dāng)n∈N*時(shí),T12n=-4n.
B級 能力突破
(時(shí)間:30分鐘 滿分:45分)
一、選擇題(每小題5分,共10分)
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+n2=,則當(dāng)n=k+1時(shí)左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上 ( ).
A.k2+1
B.(k+1)2
C.
D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2
解析 ∵當(dāng)n=k時(shí),左側(cè)=1+2+3+…+k2,當(dāng)n=k+1時(shí),左側(cè)=1+2+3+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2
∴當(dāng)n=k+1時(shí),左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上(k2+1)+(k2+2)+
8、(k2+3)+…+(k+1)2.
答案 D
2.(xx·廣州一模)已知1+2×3+3×32+4+33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c對一切n∈N*都成立,則a、b、c的值為 ( ).
A.a(chǎn)=,b=c= B.a(chǎn)=b=c=
C.a(chǎn)=0,b=c= D.不存在這樣的a、b、c
解析 ∵等式對一切n∈N*均成立,∴n=1,2,3時(shí)等式成立,即
整理得
解得a=,b=c=.
答案 A
二、填空題(每小題5分,共10分)
3.已知整數(shù)對的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(
9、3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,則第60個(gè)數(shù)對是________.
解析 本題規(guī)律:2=1+1;3=1+2=2+1;
4=1+3=2+2=3+1;
5=1+4=2+3=3+2=4+1;
…;
一個(gè)整數(shù)n所擁有數(shù)對為(n-1)對.
設(shè)1+2+3+…+(n-1)=60,∴=60,
∴n=11時(shí)還多5對數(shù),且這5對數(shù)和都為12,
12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7,
∴第60個(gè)數(shù)對為(5,7).
答案 (5,7)
4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=(n∈N*),f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an),試通過計(jì)算f(1),f(2),f(
10、3)的值,推測出f(n)的值是________.
解析 f(1)=1-a1=1-=,f(2)=(1-a1)(1-a2)=f(1)·=×==,f(3)=(1-a1)·(1-a2)(1-a3)=f(2)·=×=,由此猜想,f(n)=(n∈N*).
答案 (n∈N*)
三、解答題(共25分)
5.(12分)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=a-2nan+2,n=1,2,3,…
(1)求a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(不需證明);
(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,試求使得Sn<2n成立的最小正整數(shù)n,并給出證明.
解 (1)a2=5,a3=7,a4=9,猜想
11、an=2n+1.
(2)Sn==n2+2n,使得Sn<2n成立的最小正整數(shù)n=6.
下證:n≥6(n∈N*)時(shí)都有2n>n2+2n.
①n=6時(shí),26>62+2×6,即64>48成立;
②假設(shè)n=k(k≥6,k∈N*)時(shí),2k>k2+2k成立,那么2k+1=2·2k>2(k2+2k)=k2+2k+k2+2k>k2+2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1),即n=k+1時(shí),不等式成立;
由①、②可得,對于所有的n≥6(n∈N*)
都有2n>n2+2n成立.
6.(13分)(xx·安徽)數(shù)列{xn}滿足x1=0,xn+1=-x+xn+c(n∈N*).
(1)證明:{xn}是遞減數(shù)
12、列的充分必要條件是c<0;
(2)求c的取值范圍,使{xn}是遞增數(shù)列.
(1)證明 先證充分性,若c<0,由于xn+1=-x+xn+c≤xn+c0,即xn<1-.
由②式和xn≥0還可得,
13、對任意n≥1都有-xn+1≤(1-)(-xn).③
反復(fù)運(yùn)用③式,得
-xn≤(1-)n-1(-x1)<(1-)n-1,
xn<1-和 -xn<(1-)n-1兩式相加,知
2-1<(1-)n-1對任意n≥1成立.
根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=(1-)n的性質(zhì),得
2-1≤0,c≤,故00,即證xn<對任意n≥1成立.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)0xn,即{xn}是遞增數(shù)列.
由①②知,使得數(shù)列{xn}單調(diào)遞增的c的范圍是.
特別提醒:教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.