2022年高考數(shù)學二輪復習 專題8 選修專題 第一講 幾何證明選講 理

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1、2022年高考數(shù)學二輪復習 專題8 選修專題 第一講 幾何證明選講 理 1．平行線等分線段定理． 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等，即若l1∥l2∥l3，l分別交直線l1，l2，l3于A1，A2，A3，l′分別交直線l1，l2，l3于B1，B2，B3，A1A2＝A2A3，則B1B2＝B2B3. 推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊，即在△ABC中，若AD＝DB，DE∥BC，則AE＝EC. 推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點且與底邊平行的直線平分另一腰，即在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝EB，EF∥AD，則DF＝

2、FC. 2．平行線分線段成比例定理． 三條平行線截任意兩條直線，所截出的對應線段成比例，即若l1∥l2∥l3，l分別交直線l1，l2，l3于A，B，C，l′分別交直線l1，l2，l3于D，E，F(xiàn)，則＝. 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例，即在△ABC，DE∥BC，則＝. 3．相似三角形的定義． 對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形，解題時常常把對應點寫在對應的位置上． 4．相似三角形的判定方法． (1)兩對對應角相等的兩個三角形相似；(2)三邊對應成比例的兩個三角形相似；(3)兩邊對應成比例，并且

3、夾角相等的兩個三角形相似． 5．相似三角形的性質(zhì)． (1)相似三角形對應邊上的高的比、對應中線的比、對應角平分線的比和它們周長的比都等于相似比(對應邊的比)；(2)相似三角形的面積比等于相似比(對應邊的比)的平方． 6．射影定理． 直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項；斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項． 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，則BD2＝AD·CD，AB2＝AD·AC，BC2＝CD·CA. 7．與圓有關的角的概念． (1)圓心角：頂點在圓心，兩邊和圓相交的角叫做圓心角．如圖1中的∠AOB.

4、 (2)圓周角：頂點在圓上，兩邊和圓相交的角叫做圓周角．如圖2中的∠DEF. (3)弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．如圖3中的∠MPN. 8．與圓有關的角的性質(zhì)． (1)圓周角定理：圓上的一條弧所對的圓周角大小等于它所對的圓心角的一半．如圖4，∠ACB＝∠AOB. (2)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)． 推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等，同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧也相等． 推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，圓周角為90°時所對的弦是直徑．如圖5，∠DEF＝90°. (3)弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角

5、． 如圖6，∠MPN＝∠PQM. 9．圓的切線的判定和性質(zhì)． (1)圓的切線的定義：與圓只有一個公共點的直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點． (2)圓的切線的判定：①若圓心到直線的距離等于半徑，則該直線是圓的切線；②經(jīng)過直徑的一端，并且垂直 于這條直徑的直線是圓的切線． (3)圓的切線的性質(zhì)：①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點；③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心． 10．與圓有關的比例線段． (1)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段的積相等．如圖7，PA·PB＝PC·PD． (2)割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線

6、，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等．如圖8，PA·PB＝PC·PD． (3)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓的交點的兩條線段長的比例中項．如圖9，PA2＝PC·PD． (4)切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．如圖10，PA＝PC，∠APO＝∠CPO. 11．圓內(nèi)接四邊形． (1)圓內(nèi)接四邊形的判定：①如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點在同一個圓上；②如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角，那么這個四邊形的四個頂點在同一個圓上． (2)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊

7、形的對角互補；②圓內(nèi)接四邊形的外角等于與它相鄰的內(nèi)角的對角． 12．直線與圓的位置關系． (1)直線與圓的位置關系有三種：相交、相切、相離． ①相交——直線與圓有兩個公共點； ②相切——直線與圓有一個公共點； ③相離——直線與圓沒有公共點． (2)判定直線與圓的位置關系的方法：直線與圓的位置決定于圓心到直線的距離d和圓的半徑r之間的大小關系． ①直線與圓相交?dr． 判定直線與圓的位置關系時，先看：看看題目中有沒有告訴我們直線和圓有幾個公共點；再算：算算圓心到直線的距離d和圓的半徑為r之間的大小關系；后斷：然后根據(jù)上述關

8、系作出判斷． 13．圓與圓的位置關系． (1)平面內(nèi)兩圓的位置關系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含． (2)判定兩個圓的位置關系的方法：設兩圓的圓心距為d，兩圓的半徑分別為R和r，則 ①兩圓外離?d>R＋r，有4條公切線； ②兩圓外切?d＝R＋r，有3條公切線； ③兩圓相交?R－rr)，有2條公切線； ④兩圓內(nèi)切?d＝R－r(R>r)，有1條公切線； ⑤兩圓內(nèi)含?dr)，沒有公切線． 14．常用的輔助線的作法． 出現(xiàn)切線就連接切點和圓心的半徑為輔助線，求弦長就作弦心距解直角三角形． 　　　　　　　　　　　　　　　　

9、 1．如下圖所示，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)G為梯形BCED的中位線，若DE＝4，則FG等于(A) A．6 B．8 C．10 D．12 2．如下圖所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，AE⊥AD交CB的延長線于E，則下列結論正確的是(C) A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACD C．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC 3．直線MN切⊙O于點C，AB是⊙O的直徑且∠CAB＝53°，則∠BOC＝106°，∠ACB＝90°，∠ACM＝37°，∠BCN＝53°． 4．如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦且BD∥A

10、C，過點A做圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，則線段CF的長為． 解析：由切割線定理，可知AE2＝EB·ED＝EB(EB＋BD)，即62＝EB(EB＋5)，所以EB＝4，由AE為圓的切線，AB＝AC，可得∠EAB＝∠ACB＝∠ABC.所以AE∥BC.又AC∥BD，則AC∥BE，可得四邊形AEBC是平行四邊形．所以AC＝AB＝EB＝4，BC＝AE＝6.由BD∥AC，可得△AFC∽△DFB，則＝，即＝，所以CF＝. 一、選擇題 1．△ABC的三邊長分別為，，2，△A′B′C′的兩邊長分別為1和，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A

11、′B′C′的第三邊長為(A) A. B. C. D. 解析：∵△ABC∽△A′B′C′，則＝，則△A′B′C′的第三邊長為＝. 2．點E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上的一點，AE與CD相交于點G，則圖中的相似三角形共有(C) A．2對 B．3對 C．4對 D．5對 3．如圖所示，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，M，N分別是邊AB，AD的中點，連接OM，ON，MN.則下列敘述正確的是(C) A．△AOM和△AON都是等邊三角形 B．四邊形MBON和四邊形MODN都是菱形 C．四邊形AMON和四邊形ABCD是相似形 D．四邊形MBCO和四邊形

12、OCDN都是等腰梯形 4．如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是半圓上的兩點，半圓O的切線PC交AB的延長線于點P，∠PCB＝25°，則∠ADC為(B) A．105° B．115° C．120° D．125° 5．如圖，AB是⊙O的直徑，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，則AC的長為(C) A．2 B．3 C．2 D．4 6．如圖，直線BC切⊙O于點A，則圖中的弦切角共有(D) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 二、填空題 7．如圖所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFC內(nèi)接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝

13、1，BC＝2，則AF∶FC＝1∶2． 8．如圖，在△ABC中，已知DE∥BC，△ADE的面積是a2，梯形DBCE的面積是8a2，則＝． 解析：∵S梯形DBCE＝8S△ADE，∴S△ABC＝9S△ADE，∴S△ADE∶S△ABC＝1∶9.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴＝＝.∴＝. 9．如圖所示，已知△ABC內(nèi)接于圓O，點D在OC的延長線上，AD是圓的切線，若∠B＝30°，AC＝2，則OD的長為4． 解析：連接OA，則∠COA＝2∠CBA＝60°.又OC＝OA，故△COA為正三角形，所以OA＝2.又因為AD是⊙O的切線，即OA⊥AD，所OD＝2OA＝4. 10．如圖所

14、示，PT切⊙O于點T，PA交⊙O于A，B兩點且與直徑CT交于點D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，則PB＝15． 三、解答題 11．如圖，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上位于AB異側的兩點．證明：∠OCB＝∠D. 證明：因為B，C是圓O上的兩點，所以OB＝OC. 故∠OCB＝∠B. 因為C，D是圓O上位于AB異側的兩點， 故∠B，∠D為同弧所對的兩個圓周角， 所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D. 12．如圖，AB是圓O的一條直徑，C，D是圓O上不同于A，B的兩點，過點B作圓O的切線與AD的延長線相交于點M，AD與BC相交于N點，BN＝BM.求證： (1)∠NBD＝∠DB

15、M； (2)AM是∠BAC的角平分線． 證明：(1)∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB＝90°. 而BN＝BM，∴△BNM為等腰三角形． ∴BD為∠NBM的角平分線，即∠NBD＝∠DBM. (2)BM是圓O的切線， ?∠DAB＝∠DAC?AM是∠CAB的角平分線． 13．已知點C在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點，∠ACB的角平分線分別交AE，AB于點F，D. (1)求∠ADF的度數(shù)； (2)若AB＝AC，求的值． 解析：(1)∵AC為圓O的切線， ∴∠B＝∠EAC. 又DC是∠ACB的平分線， ∴∠ACD＝∠DCB. ∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，即∠ADF＝∠AFD. 又BE為圓O的直徑，∴∠BAE＝90°. ∴∠ADF＝(180°－∠BAE)＝45°. (2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ECA， ∴△EAC∽△ABC，又∵AB＝BC，∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠ACB＝∠EAC， 由∠BAE＝90°及三角形內(nèi)角和知∠B＝30°， ∴在Rt△ABE中，＝tan ∠B＝.