2021高考數(shù)學一輪復習 第1章 集合與常用邏輯用語 第1節(jié) 集合教學案 理 北師大版

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1、第1章 集合與常用邏輯用語 全國卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 說明：“Ⅰ1”指全國卷Ⅰ第1題，“Ⅱ1”指全國卷Ⅱ第1題，“Ⅲ1”指全國卷Ⅲ第1題. 1.考查形式 本章在高考中一般考查1或2個小題，主要以選擇題為主，很少以填空題的形式出現(xiàn)． 2.考查內容 從考查內容來看，集合主要有三方面考查：一是集合中元素的特性；二是集合間的關系；三是集合的運算，包含集合的交、并、補集運算；常用邏輯用語主要從四個方面考查：分別為命題及其關系、充分必要條件的判斷、邏輯聯(lián)結詞“且”“或”“非”以及全稱量詞與存在量詞． 3.備考策略 (1)熟練掌握解決以下問題的方法和規(guī)律 ①集合的交、并、

2、補集運算問題； ②充分條件、必要條件的判斷問題； ③含有“且”“或”“非”的命題的真假性的判斷問題； ④含有一個量詞的命題的否定問題． (2)重視數(shù)形結合、分類討論、轉化與化歸思想的應用. 第一節(jié)　集合 [最新考綱]　1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在具體情境中，了解全集與空集的含義.3.(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集．(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．(3)能使用Venn圖表達

3、集合間的基本關系及集合的基本運算． 1．集合與元素 (1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性． (2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，用符號∈和?表示． (3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法． (4)常見數(shù)集的記法 集合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集 符號 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合間的基本關系 關系 自然語言 符號語言 Venn圖 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，則x∈B) A?B或(B?A) 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不在集

4、合A中 AB或BA 集合 相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互為子集 A＝B 3．集合的基本運算 運算 自然語言 符號語言 Venn圖 交集 由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集 由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 補集 由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合 ?UA＝{x|x∈U且x?A} 1．集合子集的個數(shù) 對于有限集合A，其元素個數(shù)為n，則集合A的子集個數(shù)為2n，真子集個數(shù)為2n－1，非空真子集個數(shù)為2n－2. 2．集合

5、的運算性質 (1)并集的性質：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. (2)交集的性質：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. (3)補集的性質：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?； ?U(?UA)＝A；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；?U(A∪B)＝(?UA)∩ (?UB)． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)任何一個集合都至少有兩個子集．(　　) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．(　　) (3)若{x2,1}＝{0,1}，則x＝0,1.(　　) (4)直線

6、y＝x＋3與y＝－2x＋6的交點組成的集合是{1,4}．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．若集合A＝{x∈N|x≤2}，a＝，則下列結論正確的是(　　) A．{a}?A　　　　　 B．a?A C．{a}∈A D．a?A D　[由題意知A＝{0,1,2}，由a＝，知a?A.] 2．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，則集合M∪N的子集的個數(shù)為________． 64　[∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}， ∴M∪N＝{0,1,2,3,4,5}， ∴M∪N的子集有26＝64個．] 3．已知U＝{α|

7、0°＜α＜180°}，A＝{x|x是銳角}，B＝{x|x是鈍角}，則?U(A∪B)＝________. [答案]　{x|x是直角} 4．方程組的解集為________． 　[由得 故方程組的解集為.] 5．已知集合A＝{x|x2－x－6＜0}，集合B＝{x|x－1＜0}，則A∩B＝________，A∪B＝________. (－2,1)　(－∞，3)　[∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}， ∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}，A∪B＝{x|x＜3}．] 考點1　集合的概念 　與集合中的元素有關的問題的求解思路 (1)確定集合的元素是什么，

8、即集合是數(shù)集還是點集． (2)看清元素的限制條件． (3)根據(jù)限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)． 　1.(2018·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為(　　) A．9　　 B．8　　　　 C．5　　 D．4 A　[由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的個數(shù)為CC＝9，故選A.] 2．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________． －　[由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3， 則m＝1或m＝－. 當m＝1

9、時，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意； 當m＝－時，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合題意， 故m＝－.] 3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝________. 0或　[當a＝0時，顯然成立；當a≠0時，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.] 4．已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，則a2 020＋b2 020＝________. 1　[由已知得a≠0，則＝0， 所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應舍去，因此a＝－1，故a2 020＋b2 020＝(－1)2 020

10、＋02 020＝1.] 　(1)求解此類問題時，要特別注意集合中元素的互異性，如T2，T4.(2)常用分類討論的思想方法求解集合問題，如T3. 考點2　集合的基本關系 　判斷兩集合關系的方法 (1)列舉法：用列舉法表示集合，再從元素中尋求關系． (2)化簡集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表達式比較復雜，往往需化簡表達式，再尋求兩個集合的關系． 　(1)(2019·沈陽模擬)已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，則(　　) A．AB B．BA C．A?B D．B＝A (2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜

11、5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (3)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍為________． (1)B　(2)D　(3)(－∞，3]　[(1)由題意知A＝{x|y＝，x∈R}， 所以A＝{x|－1≤x≤1}． 所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}， 所以BA，故選B. (2)因為A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，A?C?B，則集合C可以為：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4個． (3)因為B?A，

12、 所以①若B＝?，則2m－1＜m＋1，此時m＜2. ②若B≠?，則解得2≤m≤3. 由①②可得，符合題意的實數(shù)m的取值范圍為(－∞，3]．] [母題探究] 1．(變問法)本例(3)中，若BA，求m的取值范圍． [解]　因為BA， ①若B＝?，成立，此時m＜2. ②若B≠?，則且邊界點不能同時取得，解得2≤m≤3. 綜合①②，m的取值范圍為(－∞，3]． 2．(變問法)本例(3)中，若A?B，求m的取值范圍． [解]　若A?B，則即所以m的取值范圍為?. 3．(變條件)若將本例(3)中的集合A改為A＝{x|x＜－2或x＞5}，試求m的取值范圍． [解]　因為B?A，

13、 所以①當B＝?時，2m－1＜m＋1，即m＜2，符合題意． ②當B≠?時，或 解得或即m＞4. 綜上可知，實數(shù)m的取值范圍為(－∞，2)∪(4，＋∞)． 　(1)已知兩個集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將條件轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉化為參數(shù)所滿足的關系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題． (2)空集是任何集合的子集，當題目條件中有B?A時，應分B＝?和B≠?兩種情況討論． 　1.設M為非空的數(shù)集，M?{1,2,3}，且M中至少含有一個奇數(shù)元素，則這樣的集合M共有(　　) A．6個　 B．5個　　　 C．4個　 D．3個 A　[由題意知，M＝{1}，{3}，{

14、1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6個．] 2．若集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B?A，則實數(shù)m的取值范圍為________． [－2,2)　[①若B＝?，則Δ＝m2－4＜0， 解得－2＜m＜2，符合題意； ②若1∈B，則12＋m＋1＝0， 解得m＝－2，此時B＝{1}，符合題意； ③若2∈B，則22＋2m＋1＝0， 解得m＝－，此時B＝，不合題意． 綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為[－2,2)．] 考點3　集合的基本運算 　集合運算三步驟 　集合的運算 　(1)(2019·全國卷Ⅰ)已知集合M＝{

15、x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，則M∩N＝(　　) A．{x|－4＜x＜3}　　 B．{x|－4＜x＜－2} C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} (2)(2019·浙江高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，則(?UA)∩B＝(　　) A．{－1} B．{0,1} C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3} (3)設集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，則A∪B等于(　　) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞) (1)C　(2)A　(3

16、)C　[(1)∵N＝{x|x2－x－6＜0}＝{x|－2＜x＜3}，M＝{x|－4＜x＜2}， ∴M∩N＝{x|－2＜x＜2}，故選C. (2)∵?UA＝{－1,3}，∴(?UA)∩B＝{－1}，故選A. (3)∵A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}， ∴A∪B＝(－1，＋∞)，故選C.] [逆向問題]　已知A，B均為集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，則A＝(　　) A．{1,3}　 B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9} D　[法一：(直接法)因為A∩B＝{3}，所以3∈A，又(?UB)∩A＝{9}，所以9

17、∈A.若5∈A，則5?B(否則5∈A∩B)，從而5∈?UB，則(?UB)∩A＝{5,9}，與題中條件矛盾，故5?A.同理，1?A,7?A，故A＝{3,9}． 法二：(Venn圖)如圖所示． ] 　集合運算的常用方法 (1)若集合中的元素是離散的，常用Venn圖求解． (2)若集合中的元素是連續(xù)的實數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況． 　利用集合的運算求參數(shù) 　(1)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，則a的值為(　　) A．0　　 B．1 C．2　　 D．4 (2)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，

18、若A∩B＝B，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．a＜1 B．a≤1 C．a＞2 D．a≥2 (1)D　(2)D　[(1)根據(jù)并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，故只能是a＝4. (2)B＝{x|x2－3x＋2＜0}＝{x|1＜x＜2}， 又A∩B＝B，故B?A. 又A＝{x|x＜a}，結合數(shù)軸，可知a≥2.] 　利用集合的運算求參數(shù)的值或取值范圍的方法 (1)若集合中的元素能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關系，再列方程(組)求解．如T(1)． (2)與不等式有關的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值能否取到，如T(2)． 提醒：在求出參數(shù)后，

19、注意結果的驗證(滿足互異性)． [教師備選例題] 1．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定義集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，則A⊕B中元素的個數(shù)為(　　) A．77　　 B．49　　　　 C．45　　 D．30 C　[如圖，集合A表示如圖所示的所有圓點“”，集合B表示如圖所示的所有圓點“”＋所有圓點“”，集合A⊕B顯然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四個點{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整點

20、(即橫坐標與縱坐標都為整數(shù)的點)，則集合A⊕B表示如圖所示的所有圓點“”＋所有圓點“”＋所有圓點“”，共45個．故A⊕B中元素的個數(shù)為45.故選C. ] 2．設集合A＝{x|x2＋2x－3＞0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a＞0}，若A∩B中恰含有一個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B． C. D．(1，＋∞) B　[A＝{x|x2＋2x－3＞0}＝{x|x＞1或x＜－3}，設函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1，因為函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1圖像的對稱軸為直線x＝a(a＞0)，f(0)＝－1＜0，根據(jù)對稱性可知若A∩B中恰有一個整數(shù)，則這個整數(shù)為2， 所以有即所

21、以 即≤a＜.故選B.] 　1.(2019·全國卷Ⅱ)設集合A＝{x|x2－5x＋6＞0}，B＝{x|x－1＜0}，則A∩B＝(　　) A．(－∞，1)　 B．(－2,1) C．(－3，－1) D．(3，＋∞) A　[由題意得A＝{x|x＜2或x＞3}，B＝{x|x＜1}， ∴A∩B＝{x|x＜1}．] 2．(2019·洛陽模擬)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|－2≤x≤2}，則如圖所示陰影部分所表示的集合為(　　) A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤2或x≥4} C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2} D　[依題意得A＝{x|x＜－1或x＞4}，因此?RA＝{x|－1≤x≤4}，題中的陰影部分所表示的集合為(?RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}，故選D.] 3．已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}．若A∩B＝{4}，則a＝________. 3　[因為A∩B＝{4}，所以a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，則a＝3，此時B＝{4,6}，符合題意；若2a＝4，則a＝2，此時B＝{3,4}，不符合題意．綜上，a＝3.] 9