2022年高考數(shù)學一輪總復習 3.3 導數(shù)的應用 (二)教案 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學一輪總復習 3.3 導數(shù)的應用 (二)教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　利用導數(shù)證明不等式 【例1】已知函數(shù)f(x)＝x2＋ln x. (1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的值域； (2)求證：x＞1時，f(x)＜x3. 【解析】(1)由已知f′(x)＝x＋， 當x∈[1，e]時，f′(x)＞0，因此f(x)在 [1，e]上為增函數(shù). 故f(x)max＝f(e)＝＋1，f(x)min＝f(1)＝， 因而f(x)在區(qū)間[1，e]上的值域為[，＋1]. (2)證明：令F(x)＝f(x)－x3＝－x3＋x2＋ln x，則F′(x)＝x＋－2x2＝，

2、 因為x＞1，所以F′(x)＜0， 故F(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù). 又F(1)＝－＜0， 故x＞1時，F(xiàn)(x)＜0恒成立， 即f(x)＜x3. 【點撥】有關“超越性不等式”的證明，構造函數(shù)，應用導數(shù)確定所構造函數(shù)的單調性是常用的證明方法. 【變式訓練1】已知對任意實數(shù)x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0時，f′(x)＞0，g′(x)＞0，則x＜0時(　　) A.f′(x)＞0，g′(x)＞0 B.f′(x)＞0，g′(x)＜0 C.f′(x)＜0，g′(x)＞0 D.f′(x)＜0，g′(x)＜0 【解析】選B. 題型二　優(yōu)

3、化問題 【例2】 (xx湖南模擬)某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩個橋墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測算，一個橋墩的工程費用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2＋)x萬元.假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素.記余下工程的費用為y萬元. (1)試寫出y關于x的函數(shù)關系式； (2)當m＝640米時，需新建多少個橋墩才能使y最??？ 【解析】(1)設需新建n個橋墩，則(n＋1)x＝m， 即n＝－1. 所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x ＝256(－1)＋(2＋)x ＝＋m＋2m－256. (2)由(1

4、)知f′(x)＝－＋mx＝(x－512). 令f′(x)＝0，得x＝512.所以x＝64. 當0＜x＜64時，f′(x)＜0，f(x)在區(qū)間(0,64)內為減函數(shù)；當64＜x＜640時，f′(x)＞0，f(x)在區(qū)間(64,640)內為增函數(shù). 所以f(x)在x＝64處取得最小值. 此時n＝－1＝－1＝9. 故需新建9個橋墩才能使y最小. 【變式訓練2】(xx上海質檢)如圖所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9.6米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圓柱的側面和下底面(不安裝上底面).當圓柱底面半徑r取何值時，S取得最大值？并求出該最大

5、值(結果精確到0.01平方米). 【解析】設圓柱底面半徑為r，高為h， 則由已知可得4(4r＋2h)＝9.6，所以2r＋h＝1.2. S＝2.4πr－3πr2，h＝1.2－2r＞0，所以r＜0.6. 所以S＝2.4πr－3πr2(0＜r＜0.6). 令f(r)＝2.4πr－3πr2，則f′(r)＝2.4π－6πr. 令f′(r)＝0得r＝0.4.所以當0＜r＜0.4，f′(r)＞0； 當0.4＜r＜0.6，f′(r)＜0. 所以r＝0.4時S最大，Smax＝1.51. 題型三　導數(shù)與函數(shù)零點問題 【例3】 設函數(shù)f(x)＝x3－mx2＋(m2－4)x，x∈R. (1)當m

6、＝3時，求曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程； (2)已知函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點0，α，β，且α＜β.若對任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍. 【解析】(1)當m＝3時，f(x)＝x3－3x2＋5x，f′(x)＝x2－6x＋5. 因為f(2)＝，f′(2)＝－3，所以切點坐標為(2，)，切線的斜率為－3， 則所求的切線方程為y－＝－3(x－2)，即9x＋3y－20＝0. (2)f′(x)＝x2－2mx＋(m2－4). 令f′(x)＝0，得x＝m－2或x＝m＋2. 當x∈(－∞，m－2)時，f′(x)＞0，f(x)在(－∞

7、，m－2)上是增函數(shù)； 當x∈(m－2，m＋2)時，f′(x)＜0，f(x)在(m－2，m＋2)上是減函數(shù)； 當x∈(m＋2，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)在(m＋2，＋∞)上是增函數(shù). 因為函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點0，α，β，且f(x)＝x[x2－3mx＋3(m2－4)]， 所以 解得m∈(－4，－2)∪(－2,2)∪(2,4). 當m∈(－4，－2)時，m－2＜m＋2＜0， 所以α＜m－2＜β＜m＋2＜0. 此時f(α)＝0，f(1)＞f(0)＝0，與題意不合，故舍去. 當m∈(－2,2)時，m－2＜0＜m＋2， 所以α＜m－2＜0＜m＋2＜β. 因為對任

8、意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立， 所以α＜1＜β. 所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α，β]上的最小值. 因為當x＝m＋2時，函數(shù)f(x)在[α，β]上取最小值， 所以m＋2＝1，即m＝－1. 當m∈(2,4)時，0＜m－2＜m＋2， 所以0＜m－2＜α＜m＋2＜β. 因為對任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立， 所以α＜1＜β. 所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α，β]上的最小值. 因為當x＝m＋2時，函數(shù)f(x)在[α，β]上取最小值， 所以m＋2＝1，即m＝－1(舍去). 綜上可知，m的取值范圍是{－1}. 【變式訓練3】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x. (1)討論函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的單調性； (2)若方程f(x)＝g(x)在區(qū)間[，e]上有兩個不等解，求a的取值范圍. 【解析】(1)當a＞0時，F(xiàn)(x)的遞增區(qū)間為(，＋∞)，遞減區(qū)間為(0，)； 當a≤0時，F(xiàn)(x)的遞減區(qū)間為(0，＋∞). (2)[ln 2，). 總結提高 在應用導數(shù)處理方程、不等式有關問題時，首先應熟練地將方程、不等式問題直接轉化為函數(shù)問題，再利用導數(shù)確定函數(shù)單調性、極值或最值.