2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第1節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算教學(xué)案 文 北師大版

《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第1節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算教學(xué)案 文 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第1節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算教學(xué)案 文 北師大版（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第5章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 全國(guó)卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 1.考查形式 本章在備考中一般為2個(gè)客觀題. 2.考查內(nèi)容 (1)對(duì)向量的考查，主要考查平面向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、向量的平行與垂直、向量的數(shù)量積及應(yīng)用，難度為容易或中檔. (2)高考主要考查復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)相等的充要條件以及復(fù)數(shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算，其中復(fù)數(shù)的運(yùn)算是高考的熱點(diǎn)，一般為選擇題. 3.備考策略 (1)深刻理解并掌握向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積、向量的模及夾角的運(yùn)算. (2)掌握復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義及四則運(yùn)算. 第一節(jié)　平面向量的概念及線性運(yùn)

2、算 [最新考綱]　1.了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和兩個(gè)向量相等的含義，理解向量的幾何表示.2.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，理解其幾何意義.3.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.4.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第82頁(yè)) 1．向量的有關(guān)概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模)． (2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的． (3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量． (4)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量． (5)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．規(guī)定零向量的相反向量仍是零

3、向量． (6)向量平行或共線：如果表示兩個(gè)向量的有向線段所在的直線平行或重合，則稱這兩個(gè)向量平行或共線，規(guī)定零向量與任一向量平行． 2．向量的線性運(yùn)算 向量 運(yùn)算 定義 法則 (或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a； (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<

4、0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ) a； (λ＋μ)a＝λa＋μ a； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.向量共線的判定定理和性質(zhì)定理 (1)判定定理：a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則向量b與非零向量a共線． (2)性質(zhì)定理：若向量b與非零向量a共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa. 1．若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則＝(＋)． 2.＝λ＋μ(λ，μ為實(shí)數(shù))O不在直線AB上，若點(diǎn)A，B，C共線，則λ＋μ＝1. 3．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即＋＋＋

5、…＋An－1An＝，特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量． 4．與非零向量a共線的單位向量為±. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)若兩個(gè)向量共線，則其方向必定相同或相反． (　　) (2)若向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上． (　　) (3)若a∥b，b∥c，則a∥c. (　　) (4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立． (　　) [答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教材改編 1．如圖， ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)M，若＝a，＝b，用a，b表示為(　　) A.a＋b

6、 B.a－b C．－a－b D．－a＋b D　[由題意可知＝－＝b－a，又＝2， ∴＝(b－a)＝b－a，故選D.] 2．對(duì)于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b. 若a∥b，則a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件．] 3．已知ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且＝a，＝b，則＝________，＝________.(用a，b表示) b－a　－a－b　[如圖，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.] 4．在平行

7、四邊形ABCD中，若|＋|＝|－|，則四邊形ABCD的形狀為________． 矩形　[如圖，因?yàn)椋?，－＝，所以||＝||. 由對(duì)角線長(zhǎng)相等的平行四邊形是矩形可知，四邊形ABCD是矩形．] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第83頁(yè)) ⊙考點(diǎn)1　平面向量的概念 　辨析向量有關(guān)概念的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長(zhǎng)度． (2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制． (3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長(zhǎng)度相等． (4)單位向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度． (5)零向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線． 　1.給出下列命題： ①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量一定是共

8、線向量； ②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小； ③若λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零； ④已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 A　[①錯(cuò)誤．兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)與終點(diǎn)．②正確．因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大?。坼e(cuò)誤．當(dāng)a＝0時(shí)，無(wú)論λ為何值，λa＝0.④錯(cuò)誤．當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，λa＝μb，此時(shí)，a與b可以是任意向量．] 2．給出下列命題： ①若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同； ②若|a|＝|b|，則a＝b或

9、a＝－b； ③若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且＝，則ABCD為平行四邊形； ④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b； 其中真命題的序號(hào)是________． ③　[①錯(cuò)誤．兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)． ②錯(cuò)誤．|a|＝|b|，但a，b方向不確定，所以a，b不一定相等或相反． ③正確．因?yàn)椋?，所以||＝||且∥； 又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形． ④錯(cuò)誤．當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．]

10、(1)只要不改變向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量與a相等． (2)在研究向量的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，一定要結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷、求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧． ⊙考點(diǎn)2　平面向量的線性運(yùn)算 　向量線性運(yùn)算的解題策略 (1)向量的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則． (2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解． 　向量的線性運(yùn)算 (1)(2018·全國(guó)卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則＝(　

11、　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ (2) (2019·皖南八校聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點(diǎn)，＝3，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則＝(　　) A．－ B．－＋ C．－＋ D．－ (1)A　(2)B　[(1)＝－＝－＝－×(＋)＝－，故選A. (2)根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則得＝＋， ＝，＝－. 因?yàn)椋剑?，＝? 所以＝－＋＝－＋，故選B.] 　平面向量的線性運(yùn)算技巧 (1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解． (2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用

12、已知向量表示出來(lái)求解． 　根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù) 　(2019·山西師大附中模擬)在△ABC中，＝，P是直線BN上一點(diǎn)，若＝m＋，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A．－4 B．－1 C．1 D．4 B　[∵＝，∴＝5. 又＝m＋， ∴＝m＋2， 由B，P，N三點(diǎn)共線可知，m＋2＝1， ∴m＝－1.] 　與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過(guò)建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值． 　1.(2019·西寧模擬)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD＝2DB，點(diǎn)E在AD邊上，且AD＝3AE，則用向量，表示為(　　) A

13、.＋ B.－ C.＋ D.－ B　[由平面向量的三角形法則及向量共線的性質(zhì)可得＝－＝－＝(＋)－ ＝－ ＝－.] 2．(2019·棗莊模擬)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，則λ＝(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 D　[由＝λ可知－＝λ(－)， ∴＝＋， 又＝－＋， ∴ 解得λ＝－3，故選D.] 3．在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝________；y＝________. 　－　[＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝－ ＝x＋y， ∴x＝，y＝－.] ⊙考點(diǎn)3　共線向量定理的應(yīng)用 　共線向量定理的三個(gè)應(yīng)用

14、 證明向量共線 對(duì)于向量a，b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb(b≠0)，則a與b共線 證明三點(diǎn)共線 若存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，則A，B，C三點(diǎn)共線 求參數(shù)的值 利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值 　設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線， (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線； (2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線． [解](1)證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5. ∴，共線， 又∵它們有公共點(diǎn)B， ∴A，B，D三點(diǎn)共線． (2)

15、∵ka＋b和a＋kb共線， ∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b是兩個(gè)不共線的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0， ∴k2－1＝0，∴k＝±1. [母題探究] 若將本例(1)中“＝2a＋8b”改為“＝a＋mb”，則m為何值時(shí)，A，B，D三點(diǎn)共線？ [解]?。?a＋mb)＋3(a－b) ＝4a＋(m－3)b， 即＝4a＋(m－3)b. 若A，B，D三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ. 即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)． ∴解得m＝7. 故當(dāng)m＝7時(shí)，A，B，D三點(diǎn)共線． 　利用向量共線定理解

16、決問(wèn)題應(yīng)注意兩點(diǎn) (1)向量共線的充要條件中，當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用． (2)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線． 　1.在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是(　　) A．矩形 B．平行四邊形 C．梯形 D．以上都不對(duì) C　[由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因?yàn)榕c不平行，所以四邊形ABCD是梯形．] 2．已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a與向量b共線，則(　　) A．λ＝0 B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0 D　[因?yàn)橄蛄縠1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，又因?yàn)橄蛄縜和b共線，存在實(shí)數(shù)k，使得a＝kb，所以e1＋λe2＝2ke1，所以λe2＝(2k－1)e1，所以e1∥e2或λ＝0.] 3．已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且＝(＋)，＝t，若B，O，D三點(diǎn)共線，則t＝(　　) A. B. C. D. B　[設(shè)E是BC邊的中點(diǎn)，則(＋)＝，由題意得＝，所以＝＝(＋)＝＋，又因?yàn)锽，O，D三點(diǎn)共線，所以＋＝1，解得t＝，故選B.] - 10 -