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1、2022年高考數(shù)學第二輪復習 復數(shù)教學案
考綱指要：
了解引進復數(shù)的必要性，理解復數(shù)的有關(guān)概念；掌握復數(shù)的代數(shù)表示及向量表示．掌握復數(shù)代數(shù)形式的運算法則，能進行復數(shù)代數(shù)形式的加法、減法、乘法、除法運算．
考點掃描：
1.數(shù)的概念的發(fā)展;復數(shù)的有關(guān)概念.
2.復數(shù)的向量表示.
3.復數(shù)的加法與減法，乘法與除法.
考題先知：
例1 。 設(shè)，求的值。
分析：將所求式子變形為
，顯然它是
的展開式的部分之和，即復數(shù)的實部。不妨取展開式的其余的項的和為A的對偶式。
則，所以.
例2．復平面內(nèi)點A對應的復數(shù)是1,過點A作虛軸的平行線l,設(shè)l上的點對應的復數(shù)為z,求所對
2、應的點的軌跡.
分析:本題考查復平面上點的軌跡方程.因為在復平面內(nèi)點A的坐標為(1,0),l過點A且平行于虛軸,所以直線l上的點對應的復數(shù)z的實部為1,可設(shè)為z=1+bi(b∈R),然后再求所對應的點的集合.
解:如下圖.因為點A對應的復數(shù)為1,直線l過點A且平行于虛軸,所以可設(shè)直線l上的點對應的復數(shù)為z=1+bi(b∈R).
因此.
設(shè)=x+yi(x、y∈R),于是
x+yi=i.
根據(jù)復數(shù)相等的條件,有
消去b,有x2+y2=
===x.
所以x2+y2=x(x≠0),
即(x－)2+y2=(x≠0).
所以所對應的點的集合是以(,0)為圓心,為半徑的圓,但不包括
3、原點O(0,0).
評注:一般說來,求哪個動點的軌跡方程就設(shè)哪個動點的坐標為(x,y).所謂動點的軌跡方程就是動點坐標(x,y)所滿足的等量關(guān)系.常見求曲線方程的方法有:軌跡法、待定系數(shù)法、代入法、參數(shù)法等.若把參數(shù)方程中的參數(shù)消去,就可把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成普通方程.無論用什么方法求得曲線的方程,都要注意檢驗以方程的解為坐標的點是否都在曲線上.對此,常從以下兩個方面入手:一是看對方程的化簡是否采用了非同解變形的手法;二是看是否符合題目的實際意義.其中,用參數(shù)法求得的曲線方程中的x、y的范圍可由參數(shù)函數(shù)的值域來確定.
復習智略：
例3．對任意復數(shù)，定義。
(1) 若，求相應的復數(shù)
4、；
（2）若中的為常數(shù)，則令，對任意，是否一定有常數(shù)使得？這樣的是否唯一？說明理由。
（3）計算，并設(shè)立它們之間的一個等式。由此發(fā)現(xiàn)一個一般的等式，并證明之。
解：（1）由，得則故
（2） ，得即
∴，所以是不唯一的。
（3），，；
∴
一般地，對任意復數(shù)，有。
證明：設(shè)，
，
∴。
檢測評估：
1,若非零復數(shù)滿足,則的值是
A,1 B, C, D,
2,設(shè)復數(shù)的共軛復數(shù)是,且,又與為定點,則函數(shù)︱
︱取最大值時在復平面上以,A,B三點為頂點的圖形是
5、A,等邊三角形 B,直角三角形 C,等腰直角三角形 D,等腰三角形
3．已知且則的最小值 （ ）
A．等于 -2 B．等于 0 C．等于 -4 D．不存在
4．設(shè)復數(shù)，則滿足等式的復數(shù)對應的點的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
5.設(shè)f(n)=()n+()n,n∈N,如果A{f(n)},則滿足條件的集合A有
A.8個 B.7個 C.3個 D.無窮多個
6．若的展開式為，則
6、
= 。
7.復平面內(nèi)，已知復數(shù)z=x－i所對應的點都在單位圓內(nèi)，則實數(shù)x的取值范圍是__________.
8．已知關(guān)于x的方程x2+(1+2i)x－(3m－1)i=0有實根,則純虛數(shù)m的值為 .
9,在復平面內(nèi),設(shè)點A,P所對應的復數(shù)分別為2,,則當由
變到時,向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是 .
10.定義運算=ad－bc,則對復數(shù)z=x+yi(x、y∈R)符合條件=3+2i的復數(shù)z等于__________.
11．若復數(shù)x+yi=(1+cosθ)+(t－cos2θ)i(其中x、y、θ
7、∈R),且點(x,y)在拋物線y=x2上,試求實數(shù)t的最大值與最小值.
7．已知復數(shù)，
（1）當時，求的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出的值；若不存在，說明理由。
點撥與全解：
1. ,得或.
(1)當時,原式=
==;
(2)當時,同理可得:原式=1. 故選A。
2, 因為,可設(shè),則
,當時,,此時,則
,,
所以=,得為等腰三角形. 故選D
3．解：不妨設(shè)，則
，故選C
4．解：由條件得，化簡得，故選D。
5．解:∵f(n)=( )n+()n=in+(－
8、i)n(n∈N)=
∴{f(n)}={0,2,－2}.∵A{f(n)}={0,2,－2},∴A的個數(shù)是23=8. 故選: A
6．解：令可得；
令可得（其中，則且）；
令可得。
以上三式相加可得，
所以
7．解:∵z對應的點z(x,－)都在單位圓內(nèi)，∴|Oz|<1,即<1.
∴x2+<1.∴x2<.∴－.答: －
8．解:設(shè)此方程的實根為x0,純虛數(shù)m=ai(a∈R且a≠0),則原方程可化為
x02+(1+2i)x0－(3ai－1)i=0. 整理得(x02+x0+3a)+(2x0+1)i=0.
由復數(shù)相等的定義,得方程組 解得所以m=.
9, 因為,
當時
9、,在單位圓上的點為,當時,在單位圓上的點為,A(2,0),,三點圍成的曲邊形面積易求得.
10．解法一:由定義運算，得=2zi－z=3+2i.
設(shè)z=x+yi(x、y∈R),則2(x+yi)i－(x+yi)=3+2i,
即－(x+2y)+(2x－y)i=3+2i.
由復數(shù)相等，得
解得 ∴z=i.
解法二:由定義運算,得=2zi－z=3+2i,
則z=i.
答案:i
11．解:根據(jù)兩個復數(shù)相等的條件,得
因為點(x,y)在拋物線上,所以t－cos2θ=(1+cosθ)2.
故t=(1+cosθ)2+cos2θ=1+2cosθ+cos2θ+2cos2θ－1=3cos2θ+2cosθ=3(cosθ+)2－.
由于cosθ∈［－1,1］,所以當cosθ=－時,t有最小值－;當cosθ=1時,t有最大值5.
12．解：（1）∵，
∴ 。
（2）∵，∴為純虛數(shù)，∴
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