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1、2022年高考數學一輪總復習 2.3 函數的奇偶性教案 理 新人教A版
典例精析
題型一 函數奇偶性的判斷
【例1】判斷下列函數的奇偶性.
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝
【解析】(1)由得定義域為(－1,0)∪(0,1)，
這時f(x)＝＝－，
因為f(－x)＝－＝－＝f(x)，所以f(x)為偶函數.
(2)當x＜0時，－x＞0，則
f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，
當x＞0時，－x＜0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)，
所以對任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數.
2、
【點撥】判斷函數的奇偶性時，應先確定函數的定義域是否關于原點對稱，再分析
f(－x)與f(x)的關系，必要時可對函數的解析式進行化簡變形.
【變式訓練1】(xx廣東)若函數f(x)＝3x＋與g(x)＝3x－的定義域均為R，則( )
A. f (x)與g(x)均為偶函數 B. f (x)為偶函數，g(x)為奇函數
C. f (x)與g(x)均為奇函數 D. f (x)為奇函數，g(x)為偶函數
【解析】B.
題型二 由奇偶性的條件求函數的解析式
【例2】若函數f(x)＝是定義在(－1,1)上的奇函數，求f(x)的解析式.
【解析】因為函數f(x)＝是定義在(－
3、1,1)上的奇函數，
所以f(0)＝0，從而得m＝0. 又f()＋f(－)＝0，解得n＝0.
所以f(x)＝(－1＜x＜1).
【變式訓練2】已知定義域為R的函數f(x)＝是奇函數，求a，b的值.
【解析】因為f(x)是奇函數，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)，所以＝－，解得a＝2. 故a＝2，b＝1.
題型三 函數奇偶性的應用
【例3】設函數f(x)的定義域為R，對于任意實數x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當x＞0時，f(x)＞0且f(2)＝6.
(1)求證：函數f(x)為奇函數；
(2)求證：函數f(x)在R上
4、是增函數；
(3)在區(qū)間[－4,4]上，求f(x)的最值.
【解析】(1)證明：令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，
令y＝－x，有f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以函數f(x)為奇函數.
(2)證明：設x1，x2∈R，且x1＜x2，則f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，
又x＞0時，f(x)＞0，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，
所以函數f(x)在R上是增函數.
(3)因為函數f(x)在R上是增函數，
所以f(x)在區(qū)間[－4,4]上也是增函數
5、，
所以函數f(x)的最大值為f(4)，最小值為f(－4)，
因為f(2)＝6，所以f(4)＝f(2)＋f(2)＝12，
又f(x)為奇函數，所以f(－4)＝－f(4)＝－12，
故函數f(x)在區(qū)間[－4,4]上的最大值為12，最小值為－12.
【點撥】函數的最值問題，可先通過判斷函數的奇偶性、單調性，再求區(qū)間上的最值.
【變式訓練3】定義在R上的函數f(x)滿足f(x)＝
則f(－1)＝ ，f(33)＝ .
【解析】4；－2.
總結提高
1.判定函數的奇偶性時，應先確定函數的定義域是否關于原點對稱，再看f(－x)與f(x)的關系，必要時可對函數解析式進行化簡變形.
2.判定函數的奇偶性時，有時可通過其等價形式：f(－x)±f(x)＝0或＝±1 (f(x)≠0)進行處理.[:網]
3.奇偶性與單調性、不等式相結合的問題，要注意數形結合求解.
2022年高考數學一輪總復習 2.3函數的奇偶性教案 理 新人教A版
