2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 2.7 冪函數(shù)與函數(shù)的圖象教案 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 2.7 冪函數(shù)與函數(shù)的圖象教案 理 新人教A版 典例精析 題型一 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【例1】點(diǎn)(,2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上,點(diǎn)(-2,)在冪函數(shù)g(x)的圖象上. (1)求f(x)、g(x)的解析式; (2)問當(dāng)x為何值時,有:①g(x)<f(x);②f(x)=g(x);③f(x)<g(x). 【解析】(1)設(shè)f(x)=xa,因?yàn)辄c(diǎn)(,2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上,將(,2)代入f(x)=xa中,得2=()a,解得a=2,即f(x)=x2. 設(shè)g(x)=xb,因?yàn)辄c(diǎn)(-2,)在冪函數(shù)g(x)的圖象上,將(-2,)代入g(x)=xb中,得=(

2、-2)b,解得b=-2,即g(x)=x-2. (2)在同一坐標(biāo)系中作出f(x)和g(x)的圖象,如圖所示,由圖象可知: ①當(dāng)x>1或x<-1時,g(x)<f(x); ②當(dāng)x=±1時,f(x)=g(x); ③當(dāng)-1<x<1且x≠0時,f(x)<g(x). 【點(diǎn)撥】(1)求冪函數(shù)解析式的步驟: ①設(shè)出冪函數(shù)的一般形式y(tǒng)=xa(a為常數(shù)); ②根據(jù)已知條件求出a的值; ③寫出冪函數(shù)的解析式. 本題的第(2)問采用了數(shù)形結(jié)合的思想,即在同一坐標(biāo)系下畫出兩函數(shù)的圖象,借助圖象求出不等式和方程的解.這一問也可用分類討論的思想.x2=,即x4=1,x=±1,以x=1,-1為分界點(diǎn)分x>1,

3、-1<x<1,x<-1,x=±1五種情況進(jìn)行討論,也能得到同樣的結(jié)果. 【變式訓(xùn)練1】函數(shù)f(x)=(m2-m-1) 是冪函數(shù),且當(dāng)x∈(0,+∞)時是減函數(shù),求實(shí)數(shù)m. 【解析】因?yàn)閒(x)為冪函數(shù), 所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1. 當(dāng)m=2時,f(x)=x-3在(0,+∞)上是減函數(shù); 當(dāng)m=-1時,f(x)=x0在(0,+∞)上不是減函數(shù). 所以m=2. 題型二 作函數(shù)圖象 【例2】作下列函數(shù)圖象: (1)y=1+log2x; (2)y=2|x|-1; (3)y=|x2-4|. 【解析】(1)y=1+log2x的圖象是: (2)y=2|x|-1

4、的圖象是: (3)y=|x2-4|的圖象是: 【變式訓(xùn)練2】在下列圖象中,二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=()x的圖象只可能是(  ) 【解析】A. 題型三 用數(shù)形結(jié)合思想解題 【例3】已知f(x)=|x2-4x+3|. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)求m的取值范圍,使方程f(x)=mx有4個不同實(shí)根. 【解析】 遞增區(qū)間為[1,2],[3,+∞); 遞減區(qū)間為(-∞,1),(2,3). (2)設(shè)y=mx與y=f(x)有四個公共點(diǎn),過原點(diǎn)的直線l與y=f(x)有三個公共點(diǎn),如圖所示.令它的斜率為k,則0<m<k. 由 ?x2+(k-4)x+

5、3=0.① 令Δ=(k-4)2-12=0?k=4±2. 當(dāng)k=4+2時,方程①的根x1=x2=-?(1,3),舍去;當(dāng)k=4-2時,方程①的根x1=x2=∈(1,3),符合題意.故0<m<4-2. 【點(diǎn)撥】(1)作出f(x)的圖象;(2)利用(1)的圖象,研究函數(shù)y=mx與y=f(x)的交點(diǎn)情況. 【變式訓(xùn)練3】若不等式x2-logax<0對x∈(0,)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  ) A.0<a<1 B.≤a<1 C.a>1 D.0<a≤ 【解析】原不等式為x2<logax,設(shè)f(x)=x2,g(x)=logax,因?yàn)?<x<<1,而l

6、ogax>x2>0,所以0<a<1,作出f(x)在x∈(0,)內(nèi)的圖象,如圖所示. 因?yàn)閒()=,所以A(,),當(dāng)g(x)圖象經(jīng)過點(diǎn)A時,=loga?a=,因?yàn)楫?dāng)x∈(0,)時,logax>x2,g(x)圖象按如圖虛線位置變化,所以≤a<1,故答案為B. 題型四 有關(guān)圖象的對稱問題 【例4】設(shè)函數(shù)f(x)=x+,x∈(-∞,0)∪(0,+∞)的圖象為C1,C1關(guān)于點(diǎn)A(2,1)對稱的圖象為C2,C2對應(yīng)的函數(shù)為g(x). (1)求函數(shù)y=g(x)的解析式,并確定其定義域; (2)若直線y=b與C2只有一個交點(diǎn),求b的值,并求出交點(diǎn)的坐標(biāo). 【解析】(1)設(shè)P(u,v)是y=x+上任

7、意一點(diǎn),所以v=u+.① 設(shè)P關(guān)于A(2,1)對稱的點(diǎn)為Q(x,y), 所以? 代入①得2-y=4-x+?y=x-2+. 所以g(x)=x-2+,其定義域?yàn)?-∞,4)∪(4,+∞). (2)聯(lián)立方程得 ?x2-(b+6)x+4b+9=0, 所以Δ=(b+6)2-4×(4b+9)=b2-4b=0?b=0或b=4.所以,當(dāng)b=0時,交點(diǎn)為(3,0);當(dāng)b=4時,交點(diǎn)為(5,4). 【變式訓(xùn)練4】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足:f(x)是偶函數(shù),f(x-1)是奇函數(shù).若f(0.5)=9,則f(8.5)等于(  ) A.-9 B.9 C.-3 D.0

8、【解析】因?yàn)閒(-x)=f(x),f(-x-1)=-f(x-1),所以f(-2+x)=-f(-x)=-f(x),則f(4+x)=-f(x+2)=f(x),即4是函數(shù)f(x)的一個周期,所以f(8.5)=f(0.5)=9,故應(yīng)選B.本題考查了抽象函數(shù)周期性的判斷及其函數(shù)值的求解問題,合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵. 總結(jié)提高 掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法——描點(diǎn)法和圖象變換法.函數(shù)圖象為研究函數(shù)的性質(zhì),解決方程、不等式中的問題提供了一種直觀方法,用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問題.函數(shù)的圖象是溝通“數(shù)”與“形”的一個重要橋梁.應(yīng)用函數(shù)圖象法解數(shù)學(xué)問題往往具有直觀易懂、運(yùn)算量小的優(yōu)點(diǎn),但用圖象法求變量的取值范圍時,要特別注意端點(diǎn)值的取舍和特殊情況.

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