2021高考數(shù)學一輪復習 第3章 導數(shù)及其應用 第1節(jié) 導數(shù)的概念及運算教學案 理 北師大版

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1、第3章 導數(shù)及其應用 全國卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 1.考查形式 本章內容在高考中一般是“一大一小”． 2．考查內容 (1)導數(shù)的幾何意義一般在選擇題或填空題中考查，有時與函數(shù)的性質相結合出現(xiàn)在壓軸小題中． (2)解答題一般都是兩問的題目，第一問考查曲線的切線方程、函數(shù)的單調區(qū)間、函數(shù)的極值點等，屬于基礎問題．第二問利用導數(shù)證明不等式，已知單調區(qū)間或極值求參數(shù)的取值范圍，函數(shù)的零點等問題． 3．備考策略 (1)熟練掌握導數(shù)的運算公式，重點研究導數(shù)的幾何意義、導數(shù)與函數(shù)的單調性、導數(shù)與極(最)值、導數(shù)與不等式、導數(shù)與函數(shù)的零點等問題． (2)加強數(shù)形結合、分類討論

2、等數(shù)學思想的應用. 第一節(jié)　導數(shù)的概念及運算 [最新考綱]　1.了解導數(shù)概念的實際背景，理解導數(shù)的幾何意義.2.能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)y＝C(C為常數(shù))，y＝x ，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的導數(shù).3.能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)．能求簡單的復合函數(shù)(僅限于形如f(ax＋b)的復合函數(shù))的導數(shù)． 1．導數(shù)與導函數(shù)的概念 (1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù) 函數(shù)y＝f(x)在x0點的瞬時變化率為函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)，用f′(x0)表示，記作f′(x0)＝ ＝ . (2)導函數(shù) 如果一個函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的每一點

3、x處都有導數(shù)，導數(shù)值記為f′(x)：f′(x)＝ ，則f′(x)是關于x的函數(shù)，稱f′(x)為f(x)的導函數(shù)，通常也簡稱為導數(shù)． 2．導數(shù)的幾何意義 函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線斜率．相應地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 原函數(shù) 導函數(shù) f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a(a＞0) f(x)＝

4、ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4．導數(shù)的運算法則 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 5．復合函數(shù)的導數(shù) 復合函數(shù)y＝f(φ(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝φ(x)的導數(shù)間的關系為yx′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)·φ′(x)． 1．奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導數(shù)還是周期函數(shù)． 2．[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)

5、． 3．函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率．(　　) (2)f′(x0)與[f(x0)]′表示的意義相同．(　　) (3)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線．(　　) (4)函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導數(shù)是f′(x)＝cos x．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．函

6、數(shù)y＝xcos x－sin x的導數(shù)為(　　) A．xsin x　　　　　　　 B．－xsin x C．xcos x D．－xcos x B　[y′ ＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x．] 2．曲線y＝x3＋11在點P(1,12)處的切線與y軸交點的縱坐標是(　　) A．－9 B．－3 C．9 D．15 C　[因為y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲線y＝x3＋11在點P(1,12)處的切線方程為y－12＝3(x－1)．令x＝0，得y＝9.故選C.] 3．函數(shù)y＝f(

7、x)的圖像如圖，則導函數(shù)f′(x)的大致圖像為 (　　) A　　　　 B　　 　　C　　　　D B　[由導數(shù)的幾何意義可知，f′(x)為常數(shù)，且f′(x)＜0.] 4．在高臺跳水運動中，t s時運動員相對于水面的高度(單位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，則運動員的速度v＝________m/s，加速度a＝________m/s2. －9.8t＋6.5?。?.8　[v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.] 考點1　導數(shù)的計算 　(1)求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)分解為基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導數(shù)． (2)

8、在求導過程中，要仔細分析函數(shù)解析式的結構特征，緊扣法則，記準公式，避免運算錯誤． 　已知函數(shù)解析式求函數(shù)的導數(shù) 　求下列各函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝x；(2)y＝tan x； (3)y＝2sin2－1. [解]　(1)先變形：y＝x，再求導：y′＝(x)′＝x. (2)先變形：y＝，再求導： y′＝′＝＝. (3)先變形：y＝－cos x， 再求導：y′＝－(cos x)′＝－(－sin x)＝sin x. [逆向問題]　已知f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，則x0＝________. 1　[因為f(x)＝x(2 017＋ln x)， 所以

9、f′(x)＝2 017＋ln x＋1＝2 018＋ln x， 又f′(x0)＝2 018， 所以2 018＋ln x0＝2 018，所以x0＝1.] 　求導之前先對函數(shù)進行化簡減少運算量．如本例(1)(3)． 　抽象函數(shù)求導 　已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)＝________. －4　[∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)， ∴f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(－2)＝－4.] 　賦值法是求解此類問題的關鍵，求解時先視f′(1)為常數(shù)，然后借助導數(shù)運算法則計算f′(x)，最后分別令x＝1，x＝0代入f′(x)求解即

10、可． 　1.已知函數(shù)f(x)＝exln x，f′(x)為f(x)的導函數(shù)，則f′(1)的值為________． e　[由題意得f′(x)＝exln x＋ex·，則f′(1)＝e.] 2．已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足關系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，則f′(2)＝________. －　[因為f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋，所以f′(2)＝－.] 3．求下列函數(shù)的導數(shù) (1)y＝3xex－2x＋e； (2)y＝； (3)y＝ln . [解]　(1)y

11、′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xexln 3＋3xex－2xln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2. (2)y′＝ ＝＝. (3)y′＝′＝[ln(2x－1)－ln(2x＋1)]′ ＝[ln(2x－1)]′－[ln(2x＋1)]′ ＝·(2x－1)′－·(2x＋1)′ ＝－＝. 考點2　導數(shù)的幾何意義 　導數(shù)幾何意義的應用類型及求解思路 (1)已知切點A(x0，f(x0))求斜率k，即求該點處的導數(shù)值：k＝ f′(x0)． (2)若求過點P(x0，y0)的切線方程，可設切點為(x1，y1)，由求解即

12、可． (3)處理與切線有關的參數(shù)問題，通常根據(jù)曲線、切線、切點的三個關系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：①切點處的導數(shù)是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上． 　求切線方程 　(1)(2019·全國卷Ⅰ)曲線y＝3(x2＋x)ex在點(0,0)處的切線方程為________． (2)已知函數(shù)f(x)＝xln x，若直線l過點(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為________． (1)3x－y＝0　(2)x－y－1＝0　[(1)∵y′＝3(x2＋3x＋1)ex，∴曲線在點(0,0)處的切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝0＝3，∴曲線在點(0,0)處的切線方程為y＝3x.

13、(2)∵點(0，－1)不在曲線f(x)＝xln x上， ∴設切點為(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋ln x， ∴直線l的方程為y＋1＝(1＋ln x0)x. ∴由解得x0＝1，y0＝0. ∴直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0.] 　(1)求解曲線切線問題的關鍵是求切點的橫坐標，在使用切點橫坐標求切線方程時應注意其取值范圍；(2)注意曲線過某點的切線和曲線在某點處的切線的區(qū)別．如本例(1)是“在點(0,0)”，本例(2)是“過點(0，－1)”，要注意二者的區(qū)別． 　求切點坐標 　(2019·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，點A在曲線y＝ln x上，且該曲線在點A處的

14、切線經(jīng)過點(－e，－1)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點A的坐標是________． (e,1)　[設A(x0，y0)，由y′＝，得k＝， 所以在點A處的切線方程為y－ln x0＝(x－x0)． 因為切線經(jīng)過點(－e，－1)， 所以－1－ln x0＝(－e－x0)． 所以ln x0＝， 令g(x)＝ln x－(x＞0)， 則g′(x)＝＋，則g′(x)＞0， ∴g(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)． 又g(e)＝0，∴l(xiāng)n x＝有唯一解x＝e. ∴x0＝e.∴點A的坐標為(e,1)．] 　f′(x)＝k(k為切線斜率)的解即為切點的橫坐標，抓住切點既在曲線上也在切線上，是求解此類

15、問題的關鍵． 　求參數(shù)的值 　(1)(2019·全國卷Ⅲ)已知曲線y＝aex＋xln x在點(1，ae)處的切線方程為y＝2x＋b，則(　　) A．a＝e，b＝－1　　　 B．a＝e，b＝1 C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1 (2)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖像都相切，與f(x)圖像的切點為(1，f(1))，則m＝________. (1)D　(2)－2　[(1)∵y′＝aex＋ln x＋1，∴y′|x＝1＝ae＋1，∴2＝ae＋1，∴a＝e－1.∴切點為(1,1)， 將(1,1)代入y＝2x＋b

16、，得1＝2＋b， ∴b＝－1，故選D. (2)∵f′(x)＝， ∴直線l的斜率k＝f′(1)＝1. 又f(1)＝0，∴切線l的方程為y＝x－1. g′(x)＝x＋m， 設直線l與g(x)的圖像的切點為(x0，y0)， 則有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m＜0， ∴m＝－2.] 　已知切線方程(或斜率)求參數(shù)值的關鍵就是列出函數(shù)的導數(shù)等于切線斜率的方程，同時注意曲線上點的橫坐標的取值范圍． 　導數(shù)與函數(shù)圖像 　(1)已知函數(shù)y＝f(x)的圖像是下列四個圖像之一，且其導函數(shù)y＝f′(x)的圖像如圖所示，則該函數(shù)的圖像是(　　) A　　　　　　　　

17、 　B C　　　　　　　　 　D (2)已知y＝f(x)是可導函數(shù)，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導函數(shù)，則g′(3)＝________. (1)B　(2)0　[(1)由y＝f′(x)的圖像是先上升后下降可知，函數(shù)y＝f(x)圖像的切線的斜率先增大后減小，故選B. (2)由題圖可知曲線y＝f(x)在x＝3處切線的斜率等于－，∴f′(3)＝－. ∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)， ∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)， 又由題圖可知f(3)＝1， ∴g′(3)＝1＋3×＝

18、0.] 　函數(shù)圖像在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖像在相應點處的變化情況，由切線的傾斜程度可以判斷出圖像升降的快慢． 　1.曲線f(x)＝在x＝0處的切線方程為________． 2x＋y＋1＝0　[根據(jù)題意可知切點坐標為(0，－1)， f′(x)＝＝， 故切線的斜率k＝f′(0)＝＝－2， 則直線的方程為y－(－1)＝－2(x－0)， 即2x＋y＋1＝0.] 2．(2019·大同模擬)已知f(x)＝x2，則曲線y＝f(x)過點P(－1,0)的切線方程是________． y＝0或4x＋y＋4＝0　[設切點坐標為(x0，x)， ∵f′(x)＝2x，∴切線方程為y－0＝2x0(x＋1)， ∴x＝2x0(x0＋1)， 解得x0＝0或x0＝－2， ∴所求切線方程為y＝0或y＝－4(x＋1)， 即y＝0或4x＋y＋4＝0.] 3．直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b相切于點A(1,3)，則2a＋b＝________. 1　[由題意知，y＝x3＋ax＋b的導數(shù)y′＝3x2＋a， 則 由此解得k＝2，a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.] 8