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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 17.1 坐標(biāo)系教案 理 新人教A版
高考導(dǎo)航
考試要求
重難點(diǎn)擊
命題展望
一、坐標(biāo)系
1.了解在平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方法,理解坐標(biāo)系的作用.
2.了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.
3.能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置,體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別,能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.
4.能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形(如過(guò)極點(diǎn)的直線、過(guò)極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓)的方程.通過(guò)比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程,體會(huì)在用方程刻畫平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義.
5.了解在柱坐標(biāo)系、
2、球坐標(biāo)系中刻畫空間點(diǎn)的位置的方法,并與空間直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方法相比較,體會(huì)它們的區(qū)別.
二、參數(shù)方程
1.了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義.
2.分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質(zhì),選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程.
3.了解平擺線和漸開(kāi)線的生成過(guò)程,并能寫出它們的參數(shù)方程.
4.了解其他擺線的生成過(guò)程;了解擺線在實(shí)際中應(yīng)用的實(shí)例;了解擺線在刻畫行星運(yùn)動(dòng)軌道中的作用.
本章重點(diǎn):
1.根據(jù)問(wèn)題的幾何特征選擇坐標(biāo)系;坐標(biāo)法思想;平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換;極坐標(biāo)系;直線和圓的極坐標(biāo)方程.
2.根據(jù)問(wèn)題的條件引進(jìn)適當(dāng)?shù)膮?shù),寫出參數(shù)方程,體會(huì)參數(shù)的意義;分析直線、圓和圓錐曲
3、線的幾何性質(zhì),選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程.
本章難點(diǎn):
1.對(duì)伸縮變換中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解;極坐標(biāo)的不唯一性;曲線的極坐標(biāo)方程.
2.根據(jù)幾何性質(zhì)選取恰當(dāng)?shù)膮?shù),建立曲線的參數(shù)方程.
坐標(biāo)系是解析幾何的基礎(chǔ),為便于用代數(shù)的方法研究幾何圖形,常需建立不同的坐標(biāo)系,以便使建立的方程更加簡(jiǎn)單,參數(shù)方程是曲線在同一坐標(biāo)系下不同于普通方程的又一種表現(xiàn)形式.某些曲線用參數(shù)方程表示比用普通方程表示更加方便.
本專題要求通過(guò)坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識(shí)的學(xué)習(xí),使學(xué)生更全面地理解坐標(biāo)法思想;能根據(jù)曲線的特點(diǎn),選取適當(dāng)?shù)那€方程表示形式,體會(huì)解決問(wèn)題中數(shù)學(xué)方法的靈活性.
高考中,參數(shù)方程和極坐標(biāo)是本
4、專題的重點(diǎn)考查內(nèi)容.對(duì)于柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系,只要求了解即可.
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
17.1 坐標(biāo)系
典例精析
題型一 極坐標(biāo)的有關(guān)概念
【例1】已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A(5,),B(5,),C(-4,),試判斷△ABC的形狀,并求出它的面積.
【解析】在極坐標(biāo)系中,設(shè)極點(diǎn)為O,由已知得∠AOB=,∠BOC=,∠AOC=.
又|OA|=|OB|=5,|OC|=4,由余弦定理得
|AC|2=|OA|2+|OC|2-2|OA|·|OC|·cos∠AOC=52+(4)2-2×5×4·cos=133,
所以|AC|=.同理,|BC|=.
所以
5、|AC|=|BC|,所以△ABC為等腰三角形.
又|AB|=|OA|=|OB|=5,
所以AB邊上的高h(yuǎn)==,
所以S△ABC=××5=.
【點(diǎn)撥】判斷△ABC的形狀,就需要計(jì)算三角形的邊長(zhǎng)或角,在本題中計(jì)算邊長(zhǎng)較為容易,所以先計(jì)算邊長(zhǎng).
【變式訓(xùn)練1】(1)點(diǎn)A(5,)在條件:①ρ>0,θ∈(-2π,0)下極坐標(biāo)為 ,②ρ<0,θ∈(2π,4π)下極坐標(biāo)為 ;
(2)點(diǎn)P(-,)與曲線C:ρ=cos 的位置關(guān)系是 .
【解析】(1)(5,-);(-5,).(2)點(diǎn)P在曲線C上.
題型二 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化
【例2】⊙O1和⊙O2的極坐
6、標(biāo)方程分別為ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)求經(jīng)過(guò)⊙O1和⊙O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程.
【解析】(1)以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸正半軸,建立直角坐標(biāo)系,且兩坐標(biāo)系取相同單位長(zhǎng).
因?yàn)閤=ρcos θ,y=ρsin θ,由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ,
所以x2+y2=4x,即x2+y2-4x=0為⊙O1的直角坐標(biāo)方程.
同理,x2+y2+4y=0為⊙O2的直角坐標(biāo)方程.
(2) 由解得或
即⊙O1,⊙O2的交點(diǎn)為(0,0)和(2,-2)兩點(diǎn),
故過(guò)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為x+y=0.
【點(diǎn)撥
7、】 互化的前提條件:原點(diǎn)對(duì)應(yīng)著極點(diǎn),x軸正向?qū)?yīng)著極軸.將互化公式代入,整理可以得到.
【變式訓(xùn)練2】在極坐標(biāo)系中,設(shè)圓ρ=3上的點(diǎn)到直線ρ(cos θ+sin θ)=2的距離為d,求d的最大值.
【解析】將極坐標(biāo)方程ρ=3化為普通方程x2+y2=9,
ρ(cos θ+sin θ)=2可化為x+y=2.
在x2+y2=9上任取一點(diǎn)A(3cos α,3sin α),
則點(diǎn)A到直線的距離為d==,它的最大值為4.
題型三 極坐標(biāo)的應(yīng)用
【例3】過(guò)原點(diǎn)的一動(dòng)直線交圓x2+(y-1)2=1于點(diǎn)Q,在直線OQ上取一點(diǎn)P,使P到直線y=2的距離等于|PQ|,用極坐標(biāo)法求動(dòng)直線繞原點(diǎn)一周時(shí)點(diǎn)P
8、的軌跡方程.
【解析】以O(shè)為極點(diǎn),Ox為極軸,建立極坐標(biāo)系,如右圖所示,過(guò)P作PR垂直于直線y=2,則有|PQ|=|PR|.設(shè)P(ρ,θ),Q(ρ0,θ),則有ρ0=2sin θ.因?yàn)閨PR|=|PQ|,所以|2-ρsin θ|=|ρ-2sin θ|,所以
ρ=±2或sin θ=±1,即為點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程,化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4或x=0.
【點(diǎn)撥】用極坐標(biāo)法可使幾何中的一些問(wèn)題得到很直接、簡(jiǎn)單的解法,但在解題時(shí)關(guān)鍵是極坐標(biāo)要選取適當(dāng),這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程,轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)時(shí)也容易一些.
【變式訓(xùn)練3】如圖,點(diǎn)A在直線x=5上移動(dòng),等腰△OPA的頂角∠OPA為120°(O,
9、P,A按順時(shí)針?lè)较蚺帕?,求點(diǎn)P的軌跡方程.
【解析】取O為極點(diǎn),x正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,
則直線x=5的極坐標(biāo)方程為ρcos θ=5.
設(shè)A(ρ0,θ0),P(ρ,θ),
因?yàn)辄c(diǎn)A在直線ρcos θ=5上,所以ρ0cos θ0=5.①
因?yàn)椤鱋PA為等腰三角形,且∠OPA=120°,而|OP|=ρ,|OA|=ρ0以及∠POA=30°,
所以ρ0=ρ,且θ0=θ-30°.②
把②代入①,得點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-30°)=5.
題型四 平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)的伸縮變換
【例4】定義變換T:可把平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)P(x,y)變換成點(diǎn)P′(x′,y′).特
10、別地,若曲線M上一點(diǎn)P經(jīng)變換公式T變換后得到的點(diǎn)P′與點(diǎn)P重合,則稱點(diǎn)P是曲線M在變換T下的不動(dòng)點(diǎn).
(1)若橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,且焦距為2,長(zhǎng)軸頂點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)間的距離為2.求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程,并求出當(dāng)tan θ=時(shí),其兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2經(jīng)變換公式T變換后得到的點(diǎn)F1′和F2′的坐標(biāo);
(2)當(dāng)tan θ=時(shí),求(1)中的橢圓C在變換T下的所有不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo).
【解析】(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0),
由橢圓定義知焦距2c=2?c=,即a2-b2=2.①
又由已知得a2+b2=4,②
故由①、②可解得a2=3,b2=1.
即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2
11、=1,
且橢圓C兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F1(-,0)和F2(,0).
對(duì)于變換T:當(dāng)tanθ=時(shí),可得
設(shè)F1′(x1,y1)和F2′(x2,y2)分別是由F1(-,0)和F2(,0)的坐標(biāo)經(jīng)變換公式T變換得到.
于是
即F1′的坐標(biāo)為(-,-);
又
即F2′的坐標(biāo)為(,).
(2)設(shè)P(x,y)是橢圓C在變換T下的不動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)tan θ=時(shí),
有?x=3y,由點(diǎn)P(x,y)∈C,即P(3y,y)∈C,得+y2=1
?因而橢圓C的不動(dòng)點(diǎn)共有兩個(gè),分別為(,)和(-,-).
【變式訓(xùn)練4】在直角坐標(biāo)系中,直線x-2y=2經(jīng)過(guò)伸縮變換 后變成直線2x′-y′=4.
【解析】
總結(jié)提高
1.平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無(wú)數(shù)種表示方法.
如果規(guī)定ρ>0,0≤θ<2π,那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)(ρ,θ)表示;反之也成立.
2.熟練掌握幾種常用的極坐標(biāo)方程,特別是直線和圓的極坐標(biāo)方程.