2022年高考數(shù)學一輪總復(fù)習 10.2 空間幾何體的表面積與體積教案 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學一輪總復(fù)習 10.2 空間幾何體的表面積與體積教案 理 新人教A版 典例精析 題型一 表面積問題 【例1】 圓錐的高和底面半徑相等,它的一個內(nèi)接圓柱的高和圓柱底面半徑也相等,求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比. 【解析】設(shè)圓錐的半徑為R,母線長為l,圓柱的半徑為r,軸截面如圖, S圓錐=π(R+l)R =π(R+R)R=(π+π)R2, S圓柱=2πr(r+r)=4πr2, 又=,所以=, 所以=. 【點撥】 軸截面是解決內(nèi)接、外切問題的一種常用方法. 【變式訓練1】一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位:m). (1)試畫出它的直觀圖; (2)求

2、它的表面積和體積. 【解析】(1)直觀圖如圖所示. (2)該幾何體的表面積為(7+) m2,體積為 m3. 題型二 體積問題 【例2】 某人有一容積為V,高為a且裝滿了油的直三棱柱形容器,不小心將該容器掉在地上,有兩處破損并發(fā)生滲漏,其位置分別在兩條棱上且距下底面高度分別為b、c的地方,且容器蓋也被摔開了(蓋為上底面),為減少油的損失,該人采用破口朝上,傾斜容器的方式拿回家,估計容器內(nèi)的油最理想的剩余量是多少? 【解析】 如圖,破損處為D、E,且AD=b,EC=c,BB1=a, 則容器內(nèi)所剩油的最大值為幾何體ABC-DB1E的體積. 因為=,而=, 由三棱柱幾何性質(zhì)知

3、=V, =, 所以=V, 又因為=,所以 VD-ABC=·=, 所以=+VD-ABC=V. 故油最理想的剩余量為V. 【點撥】將不規(guī)則的幾何體分割為若干個規(guī)則的幾何體,然后求出這些規(guī)則幾何體的體積,這是求幾何體體積的一種常用的思想方法. 【變式訓練2】一個母線長與底面圓直徑相等的圓錐形容器,里面裝滿水,一鐵球沉入水內(nèi),有水溢出,容器蓋上一平板,恰與球相切,問容器內(nèi)剩下的水是原來的幾分之幾? 【解析】設(shè)球的半徑為R,則圓錐的高h=3R,底面半徑r=R, V圓錐=·(R)2·3R=3πR3;V球=πR3. 所以==, 所以剩下的水量是原來的1-=. 【點撥】本題關(guān)鍵是求圓錐

4、與球的體積之比,作出軸截面,找出球半徑和圓錐高、底面半徑的關(guān)系即可. 題型三 組合體的面積、體積的關(guān)系 【例3】底面直徑為2,高為1的圓柱截成橫截面為長方形的棱柱,設(shè)這個長方形截面的一條邊長為x,對角線長為2,截面的面積為A,如圖所示: (1)求面積A以x為自變量的函數(shù)式; (2)求截得棱柱的體積的最大值. 【解析】 (1)A=x·(0<x<2). (2)V=x··1= =. 因為0<x<2,所以當x=時,Vmax=2. 【點撥】關(guān)鍵是理解截面,并且注意x的范圍從而求體積,在求第(2)求體積時還可利用不等式. 【變式訓練3】(xx山東檢測)把一個周長為12 cm的長方形圍

5、成一個圓柱,當圓柱的體積最大時,該圓柱的底面周長與高的比為(  ) A.1∶2 B.1∶π C.2∶1 D.2∶π 【解析】設(shè)長方形的一條邊長為x cm,則另一條邊長為(6-x) cm,且0<x<6,以長為(6-x) cm的邊作為圍成的圓柱的高h,若設(shè)圓柱的底面半徑為r,則有2πr=x,所以r=,因此圓柱的體積V=π·()2(6-x)=(6x2-x3),由于V′=·(12x-3x2),令V′=0,得 x=4,容易推出當x=4時圓柱的體積取得最大值,此時圓柱的底面周長是4 cm,圓柱的高是2 cm,所以圓柱的底面周長與高的比為2∶1,選C. 總結(jié)提高 表面積包含側(cè)面積和底面積;直棱柱的側(cè)棱長即側(cè)面展開圖矩形的一邊;對于正棱柱、正棱錐、正棱臺,其所有側(cè)面多邊形均全等,故可先求一個的側(cè)面積,再乘以側(cè)面多邊形的個數(shù). 求體積時,常常需要“轉(zhuǎn)變”底面,使底面面積和高易求;另外,對于三棱錐的幾何體選擇不同的底面時,利用同一個幾何體體積相等,再求出幾何體的高,即等體積法.

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