2022年高考數學一輪總復習 5.6 函數y＝Asin(ωx＋ )的圖象和性質教案 理 新人教A版

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1、2022年高考數學一輪總復習 5.6 函數y＝Asin(ωx＋ )的圖象和性質教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　“五點法”作函數圖象 【例1】設函數f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的周期為π. (1)求它的振幅、初相； (2)用五點法作出它在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象； (3)說明函數f(x)的圖象可由y＝sin x的圖象經過怎樣的變換得到. 【解析】(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2(sin ωx＋cos ωx)＝2sin(ωx＋)， 又因為T＝π，所以＝π，即ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋)， 所以函數f(x)＝sin ωx

2、＋cos ωx(ω＞0)的振幅為2，初相為. (2)列出下表，并描點畫出圖象如圖所示. 　　(3)把y＝sin x圖象上的所有點向左平移個單位，得到y(tǒng)＝sin(x＋)的圖象，再把 y＝sin(x＋)的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)，得到y(tǒng)＝sin(2x＋)的圖象，然后把y＝sin(2x＋)的圖象上的所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，即可得到y(tǒng)＝2sin(2x＋)的圖象. 【點撥】用“五點法”作圖，先將原函數化為y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)形式，再令ωx＋φ＝0，，π，，2π求出相應的x值及相應的y值，就可以得到函數圖象上一個周期內的五

3、個點，用平滑的曲線連接五個點，再向兩端延伸即可得到函數在整個定義域上的圖象. 【變式訓練1】函數 的圖象如圖所示，則(　　) A.k＝，ω＝，φ＝ B.k＝，ω＝，φ＝ C.k＝，ω＝2，φ＝ D.k＝－2，ω＝，φ＝ 【解析】本題的函數是一個分段函數，其中一個是一次函數，其圖象是一條直線，由圖象可判斷該直線的斜率k＝.另一個函數是三角函數，三角函數解析式中的參數ω由三角函數的周期決定，由圖象可知函數的周期為T＝4×(－)＝4π，故ω＝.將點(，0)代入解析式y(tǒng)＝2sin(x＋φ)，得×＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z.結合各選項可知，選項A正確. 題型二　三

4、角函數的單調性與值域 【例2】已知函數f(x)＝sin2ωx＋sin ωxsin(ωx＋)＋2cos2ωx，x∈R(ω＞0)在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為. (1)求ω的值； (2)若將函數f(x)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數y＝g(x)的圖象，求函數g(x)的最大值及單調遞減區(qū)間. 【解析】(1)f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋＝sin(2ωx＋)＋. 令2ωx＋＝，將x＝代入可得ω＝1. (2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋)＋，經過題設的變化得到函數g(x)＝sin(x－)＋， 當x＝4kπ＋π，

5、k∈Z時，函數g(x)取得最大值. 令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π， 即[4kπ＋，4kπ＋π](k∈Z)為函數的單調遞減區(qū)間. 【點撥】本題考查三角函數恒等變換公式的應用、三角函數圖象性質及變換. 【變式訓練2】若將函數y＝2sin(3x＋φ)的圖象向右平移個單位后得到的圖象關于點(，0)對稱，則|φ|的最小值是(　　) A. B. C. D. 【解析】將函數y＝2sin(3x＋φ)的圖象向右平移個單位后得到y(tǒng)＝2sin[3(x－)＋φ]＝2sin(3x－＋φ)的圖象. 因為該函數的圖象關于點(，0)對稱，所以2sin(3×－＋φ)＝2sin(＋φ)＝0，

6、 故有＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－(k∈Z). 當k＝0時，|φ|取得最小值，故選A. 題型三　三角函數的綜合應用 【例3】已知函數y＝f(x)＝Asin2(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜)的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，并過點(1,2). (1)求φ的值； (2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008). 【解析】(1)y＝Asin2(ωx＋φ)＝－cos(2ωx＋2φ)， 因為y＝f(x)的最大值為2，又A＞0， 所以＋＝2，所以A＝2， 又因為其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，ω＞0， 所以×＝2，所以ω＝. 所以f(x)＝－cos(

7、x＋2φ)＝1－cos(x＋2φ)， 因為y＝f(x)過點(1,2)，所以cos(＋2φ)＝－1. 所以＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)， 解得φ＝kπ＋(k∈Z)， 又因為0＜φ＜，所以φ＝. (2)方法一：因為φ＝， 所以y＝1－cos(x＋)＝1＋sin x， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋1＋0＋1＝4， 又因為y＝f(x)的周期為4,2 008＝4×502. 所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008. 方法二：因為f(x)＝2sin2(x＋φ)， 所以f(1)＋f(3)＝2sin2(＋φ)＋2sin2(＋φ)＝2， f

8、(2)＋f(4)＝2sin2(＋φ)＋2sin2(π＋φ)＝2， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4， 又因為y＝f(x)的周期為4,2 008＝4×502. 所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008. 【點撥】函數y＝Acos(ωx＋φ)的對稱軸由ωx＋φ＝kπ，可得x＝，兩相鄰對稱軸間的距離為周期的一半，解決該類問題可畫出相應的三角函數的圖象，借助數形結合的思想解決. 【變式訓練3】已知函數f(x)＝Acos2ωx＋2(A＞0，ω＞0)的最大值為6，其相鄰兩條對稱軸間的距離為4，則f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(20)＝　　　　.

9、【解析】f(x)＝Acos2ωx＋2＝A×＋2＝＋＋2，則由題意知A＋2＝6，＝8，所以A＝4，ω＝，所以f(x)＝2cos x＋4，所以f(2)＝4，f(4)＝2，f(6)＝4，f(8)＝6，f(10)＝4，…觀察周期性規(guī)律可知f(2)＋f(4)＋…＋f(20)＝2×(4＋2＋4＋6)＋4＋2＝38. 總結提高 1.用“五點法”作y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，關鍵是五個點的選取，一般令ωx＋φ＝0，，π，，2π，即可得到作圖所需的五個點的坐標，同時，若要求畫出給定區(qū)間上的函數圖象時，應適當調整ωx＋φ的取值，以便列表時能使x在給定的區(qū)間內取值. 2.在圖象變換時，要注意相位變換與周期變換的先后順序改變后，圖象平移的長度單位是不同的，這是因為變換總是對字母x本身而言的，無論沿x軸平移還是伸縮，變化的總是x. 3.在解決y＝Asin(ωx＋φ)的有關性質時，應將ωx＋φ視為一個整體x后再與基本函數 y＝sin x的性質對應求解.