2022年高中數(shù)學 模塊綜合測試 新人教A版必修4

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1、2022年高中數(shù)學 模塊綜合測試 新人教A版必修4 一、選擇題(每小題5分，共60分) 1．若α，β的終邊關于y軸對稱，則下列等式正確的是(　　) A．sinα＝sinβ B．cosα＝cosβ C．tanα＝tanβ D．sinα＝cosβ 解析：因為α，β的終邊關于y軸對稱，所以β＝2kπ＋π－α，k∈Z，sinβ＝sin(2kπ＋π－α)＝sinα. 答案：A 2．已知sinα＝，則cos(π－2α)等于(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－. 答案：B

2、3．設θ是第二象限角，則點P(sin(cosθ)，cos(cosθ))在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：θ是第二象限角，－10，故選B. 答案：B 4．對于函數(shù)f(x)＝2sinxcosx，下列選項中正確的是(　　) A．f(x)在上是遞增的 B．f(x)的圖象關于原點對稱 C．f(x)的最小正周期為2π D．f(x)的最大值為2 解析：f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，它在(，)上是遞減的，圖象關于原點對稱，最小正周期是π，最大值為1，故B是正確的．

3、 答案：B 5．已知?ABCD中，＝(－3,7)，＝(4,3)，對角線AC、BD交于點O，則的坐標為(　　) A. B. C. D. 解析：由＋＝(－3,7)＋(4,3)＝(1,10)． ∵＋＝.∴＝(1,10)． ∴＝－＝.故應選C. 答案：C 6．已知向量a，b均為單位向量，它們的夾角為60°，則|a－3b|等于(　　) A. B. C. D．4 解析：|a－3b|2＝a2－6a·b＋9b2＝1－3＋9＝7，則 |a－3b|＝. 答案：A 7．要得到函數(shù)y＝3cos的圖象，可以將函數(shù)y＝3sin2x的圖象(　　) A．沿x軸向左平移個單位

4、B．沿x軸向右平移個單位 C．沿x軸向左平移個單位 D．沿x軸向右平移個單位 解析：y＝3sin2x＝3cos＝3cos， 要得到y(tǒng)＝3cos的圖象， 常將y＝3cos的圖象，向左平移得 y＝3cos＝3cos的圖象， ∴選A. 答案：A 8．已知向量a的同向的單位向量為a0＝(－，)，若向量a的起點坐標為(1，－2)，模為4，則a的終點坐標是(　　) A．(－5,2－2) B．(1－2，4) C．(－5,2－2)或(7，－2－2) D．(1－2，4)或(1＋2，－6) 解析：設a的終點B的坐標為(x，y)，則a＝(x－1，y＋2)．又a＝4a0＝(－6,2)，∴B

5、(－5,2－2)． 答案：A 9．在△ABC中，若sinB·sinC＝cos2，則此三角形為(　　) A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：由sinBsinC＝cos2＝?2sinBsinC＝1＋cosA?2sinBsinC＝1＋cos[π－(B＋C)]＝1－cos(B＋C)，∴cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，∴B＝C. 答案：B 10．已知sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，且α－β∈(，π)，α＋β∈(，π)，則cos2β的值為(　　) A．1 B．－1 C. D．－ 解析：由題意知cos(α－β)＝－，si

6、n(α＋β)＝， 所以cos2β＝cos[α＋β－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝(－)×(－)＋×＝. 答案：C 11．若α∈(0，π)，且cosα＋sinα＝－，則cos2α＝(　　) A. B．± C．－ D. 解析：(cosα＋sinα)2＝，sinαcosα＝－， 故sinα>0，cosα<0， 所以cosα－sinα＝－ ＝－，cos2α＝cos2α－sin2α ＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα) ＝－×(－)＝. 答案：A 12．函數(shù)f(x)＝的最大值為(　　) A．－－1

7、 B. C. D. 解析：設sinx＋cosx＝t，則t∈[－，]， sinxcosx＝， ∴f(x)＝μ(t)＝＝(t≠－1)， ∴μ(t)max＝. 答案：B 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上) 13．若函數(shù)f(x)＝asin2x＋btanx＋1，且f(－3)＝5，則f(π＋3)＝________. 解析：顯然T＝π，f(π＋3)＝f(3)． F(x)＝f(x)－1＝asin2x＋btanx為奇函數(shù)， 則F(－3)＝f(－3)－1＝4，F(xiàn)(3)＝f(3)－1＝－4，f(3)＝－3. 答案：－3 14．已知e1，e2是夾角

8、為的兩個單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，則實數(shù)k的值為________． 解析：由題意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即ke＋e1e2－2ke1e2－2e＝0，即k＋cos－2kcos－2＝0，化簡可求得k＝. 答案： 15．已知點P(cosα，sinα)在直線y＝2x上，則＝________. 解析：由點P(cosα，sinα)在直線y＝2x上可知，tanα＝2. 則＝ ＝ ＝＝－3. 答案：－3 16．給出下列四個命題：①函數(shù)y＝tanx的圖象關于點(kπ＋，0)(k∈Z)對稱；②函數(shù)f(x)＝sin|x|是最小正周期為π的

9、周期函數(shù)；③設θ為第二象限的角，則tan>cos，且sin>cos；④函數(shù)y＝cos2x＋sinx的最小值為－1. 其中正確的命題是________． 解析：①由正切曲線，知點(kπ，0)，(kπ＋，0)是正切函數(shù)圖象的對稱中心，∴①對； ②f(x)＝sin|x|不是周期函數(shù)，②錯； ③∵θ∈(2kπ＋，2kπ＋π)，k∈Z， ∴∈(kπ＋，kπ＋)，k∈Z. 當k＝2n＋1，n∈Z時，sin

10、大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(10分)已知tan(π＋α)＝3， 求的值． 解：∵tan(π＋α)＝3，∴tanα＝3. ∴＝ ＝＝＝＝7. 18．(12分)已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b的方向上的投影為－1，求： (1)a與b的夾角θ； (2)(a－2b)·b. 解：(1)由題意知，|a|＝2，|b|＝1，|a|cosθ＝－1， ∴a·b＝|a||b|cosθ＝－|b|＝－1， ∴cosθ＝＝－. 由于θ∈[0，π]，∴θ＝即為所求． (2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3. 19．(12分)

11、已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段圖象如圖所示． (1)求函數(shù)的解析式； (2)求這個函數(shù)的單調遞增區(qū)間． 解：(1)由圖象可知 A＝2，＝－(－)＝， ∴T＝π，ω＝2， ∴y＝2sin(2x＋φ)，將點(－，2)代入得 －＋φ＝2kπ＋，|φ|<π，∴φ＝π. ∴函數(shù)的解析式為y＝2sin(2x＋)． (2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋， 得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)． ∴函數(shù)y＝2sin(2x＋)的單調遞增區(qū)間為 [kπ－，kπ－](k∈Z)． 20．(12分)已知A、B、C為△ABC的三個內角，a＝(sinB＋cosB，

12、cosC)，b＝(sinC，sinB－cosB)． (1)若a·b＝0，求角A； (2)若a·b＝－，求tan2A. 解：(1)由已知a·b＝0， 得(sinB＋cosB)sinC＋cosC(sinB－cosB)＝0， 化簡得sin(B＋C)－cos(B＋C)＝0， 即sinA＋cosA＝0，tanA＝－1，而A∈(0，π)，∴A＝π. (2)a·b＝－，即sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－， ∴sinA＋cosA＝－① 平方得2sinAcosA＝－， ∵－<0，∴A∈(，π)， sinA－cosA＝＝② 聯(lián)立①②得，sinA＝，cosA＝－， ∴tanA＝－，∴

13、tan2A＝＝－. 21．(12分)已知向量a＝(cosx，－)，b＝(sinx，cos2x)，x∈R，設函數(shù)f(x)＝a·b. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在[0，]上的最大值和最小值． 解：f(x)＝(cosx，－)·(sinx，cos2x) ＝cosxsinx－cos2x ＝sin2x－cos2x ＝cossin2x－sincos2x ＝sin(2x－)． (1)f(x)的最小正周期為T＝＝＝π， 即函數(shù)f(x)的最小正周期為π. (2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤. 由正弦函數(shù)的性質知， 當2x－＝，即x＝時，f(x)取得最大值1. 當2x

14、－＝－，即x＝0時，f(x)取得最小值－， 因此，f(x)在[0，]上的最大值是1，最小值是－. 22．(12分)已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,2cosωx)，設函數(shù)f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的圖象關于直線x＝π對稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈(，1) (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)若y＝f(x)的圖象經過點(，0)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍． 解：(1)因為f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ ＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ ＝2sin(2ωx－)＋λ. 由直線x＝π是y＝f(x)圖象的一條對稱軸， 可得sin(2ωπ－)＝±1， 所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)， 即ω＝＋(k∈Z)． 又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝. 所以f(x)的最小正周期是. (2)由y＝f(x)的圖象過點(，0)，得f()＝0， 即λ＝－2sin(×－) ＝－2sin＝－， 即λ＝－. 故f(x)＝2sin(x－)－， 由0≤x≤，有－≤x－≤， 所以－≤sin(x－)≤1， 得－1－≤2sin(x－)－≤2－， 故函數(shù)f(x)在[0，]上的取值范圍為[－1－，2－]．