2022年高中數(shù)學 第2章 第23課時 平面向量應(yīng)用舉例課時作業(yè)(含解析)新人教A版必修4

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1、2022年高中數(shù)學 第2章 第23課時 平面向量應(yīng)用舉例課時作業(yè)(含解析)新人教A版必修4 1.在△ABC中,已知A(4,1)、B(7,5)、C(-4,7),則BC邊的中線AD的長是(  ) A.2  B. C.3 D. 解析:BC中點為D,=, ∴||=,故選B. 答案:B 2.兩個大小相等的共點力F1,F(xiàn)2,當它們夾角為90°時,合力大小為20 N,則當它們的夾角為120°時,合力大小為(  ) A.40 N B.10 N C.20 N D.10 N 解析:|F1|=|F2|=|F|cos45°=10,當θ=120°,由平行四邊形法則知:|F合|=|F1

2、|=|F2|=10 N,故選B. 答案:B 3.共點力F1=(lg2,lg2),F(xiàn)2=(lg5,lg2)作用在物體M上,產(chǎn)生位移s=(2lg5,1),則共點力對物體做的功W為(  ) A.lg2 B.lg5 C.1 D.2 解析:∵F1+F2=(1,2lg2),∴W=(F1+F2)·s=(1,2lg2)·(2lg5,1)=2lg5+2lg2=2,故選D. 答案:D 4.已知點G是△ABC的重心,=λ+μ(λ,μ∈R),若∠A=120°,·=-2,則||的最小值是(  ) A. B. C. D. 解析:由向量加法的三角形法則及三角形重心的性質(zhì)可得,==(+)

3、 ∵∠A=120°,·=-2,則根據(jù)向量的數(shù)量積的定義可得, ·=||||cos120°=-2 設(shè)||=x,||=y(tǒng) ∴||||=4即xy=4. ||=|+|=== x2+y2≥2xy=8(當且僅當x=y(tǒng)時取等號) ∴||≥即||的最小值為. 故選C. 答案:C 5.已知作用在點A的三個力f1=(3,4),f2=(2,-5),f3=(3,1)且A(1,1),則合力f=f1+f2+f3的終點坐標為(  ) A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0) D.(0,9) 解析:f=f1+f2+f3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),設(shè)合力f的終點為

4、P(x,y),則=+f=(1,1)+(8,0)=(9,1),故選A. 答案:A 6.在△ABC中,·=7,|-|=6,則△ABC面積的最大值為(  ) A.24 B.16 C.12 D.8 解析:設(shè)A、B、C所對邊分別為a,b,c, 由·=7,|-|=6,得bccosA=7,a=6①, S△ABC=bcsinA=bc=bc=, 由余弦定理可得b2+c2-2bccosA=36②, 由①②消掉cosA得b2+c2=50,所以b2+c2≥2bc, 所以bc≤25,當且僅當b=c=5時取等號, 所以S△ABC=≤12, 故△ABC的面積的最大值為12. 故選C. 答案:

5、C 7.若O是△ABC所在平面內(nèi)一點,且滿足|-|=|+-2|,則△ABC的形狀是(  ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形 解析:∵|-|=||=|-|,|+-2|=|+|, ∴|-|=|+|,∴四邊形ABDC是矩形,且∠BAC=90°, ∴△ABC是直角三角形,故選B. 答案:B 8.一船向正北方向勻速行駛,看見正西方向兩座相距5海里的燈塔恰好與該船在同一直線上,繼續(xù)航行半小時后,看見其中一座燈塔在南偏西30°方向上,另一燈塔在南偏西60°方向上,則該船的速度是________海里/小時. 解析:根據(jù)題意得:AB=5海里,∠A

6、DC=60°,∠BDC=30°,DC⊥AC, ∴∠DBC=60°,∠BDA=∠A=30°,∴BD=AB=5海里, ∵DC⊥AC,∴在Rt△BDC中,DC=BD×sin∠DBC=5×=, ∵從C到D行駛了半小時,∴速度為÷=10海里/小時. 故答案為15. 答案:15 9.設(shè)平面上有四個互異的點A、B、C、D,已知(+-2)·(-)=0,則△ABC的形狀一定是__________. 解析:∵(+-2)·(-) =[(-)+(-)]·(-) =(+)·(-)=2-2 =||2-||2=0, ∴||=||,∴△ABC是等腰三角形. 答案:等腰三角形 10.已知向量a=(

7、2,0),b=(1,4). (1)求|a+b|的值; (2)若向量ka+b與a+2b平行,求k的值; (3)若向量ka+b與a+2b的夾角為銳角,求k的取值范圍. 解析:(1)依題意得a+b=(3,4),∴|a+b|==5. (2)依題意得ka+b=(2k+1,4),a+2b=(4,8), ∵向量ka+b與a+2b平行 ∴8×(2k+1)-4×4=0,解得k=. (3)由(2)得ka+b=(2k+1,4),a+2b=(4,8) ∵向量ka+b與a+2b的夾角為銳角, ∴4×(2k+1)+4×8>0,且8×(2k+1)≠4×4 ∴k>-且k≠. B組 能力提升 11.已

8、知非零向量與滿足·=0且·=,則△ABC的形狀是(  ) A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰(非等邊)三角形 D.等邊三角形 解析:由·=0,得角A的平分線垂直于BC.∴AB=AC,而·=cos〈,〉=,又〈,〉∈[0°,180°], ∴∠BAC=60°,故△ABC為正三角形,故選D. 答案:D 12.已知點O,N,P在△ABC所在平面內(nèi),且||=||=||,++=0,·=·=·,則點O,N,P依次是△ABC的(  ) A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、內(nèi)心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、內(nèi)心 解析:如圖,∵++=0,∴

9、+=-.依向量加法的平行四邊形法則,知||=2||,故點N為△ABC的重心. ∵·=·, ∴(-)·=·=0. 同理·=0,·=0, ∴點P為△ABC的垂心. 由||=||=||,知點O為△ABC的外心,故選C. 答案:C 13.質(zhì)點P在平面上作勻速直線運動,速度向量v=(4,-3)(即點P的運動方向與v相同,且每秒移動的距離為|v|個單位).設(shè)開始時點P的坐標為(-10,10),則5秒后點P的坐標為(  ) A.(-2,4) B.(-30,25) C.(10,-5) D.(5,-10) 解析:設(shè)(-10,10)為A,設(shè)5秒后P點的坐標為A1(x,y),則=(x+

10、10,y-10),由題意有=5v.即(x+10,y-10)=(20,-15)??故選C. 答案:C 14.如圖,用兩條同樣長的繩子拉一物體,物體受到重力為G.兩繩受到的拉力分別為F1、F2,夾角為θ. (1)求其中一根繩子受的拉力|F1|與G的關(guān)系式,用數(shù)學觀點分析F1的大小與夾角θ的關(guān)系; (2)求F1的最小值; (3)如果每根繩子的最大承受拉力為|G|,求θ的取值范圍. 解析:(1)由力的平衡得F1+F2+G=0,設(shè)F1,F(xiàn)2的合力為F,則F=-G,由F1+F2=F且|F1|=|F2|,|F|=|G|,解直角三角形得cos==, ∴|F1|=,θ∈[0°,180°],

11、由于函數(shù)y=cosθ在θ∈[0°,180°]上為減函數(shù), ∴θ逐漸增大時,cos逐漸減小,即逐漸增大. ∴θ增大時,|F1|也增大. (2)由上述可知,當θ=0°時,|F1|有最小值為. (3)由題意,≤|F1|≤|G|, ∴≤≤1,即≤cos≤1. 由于y=cosθ在[0°,180°]上為減函數(shù), ∴0°≤≤60°,∴θ∈[0°,120°]. 15. 若a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且|ka+b|=|a-kb|(k>0). (1)用k表示數(shù)量積a·b. (2)求a·b的最小值,并求出此時a與b的夾角θ. 解析:(1)由|ka+b|=|a-kb|得 (ka+b)2=3(a-kb)2, ∴k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2, ∴(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0. ∵|a|=1,|b|=1,∴k2-3+8ka·b+1-3k2=0, ∴a·b==. (2)a·b==. 由函數(shù)單調(diào)性的定義容易證明f(k)=在(0,1]上單調(diào)遞減,在[1,+∞)上單調(diào)遞增. ∴當k=1時,f(k)min=f(1)=(1+1)=,此時a與b的夾角為θ,cosθ===, ∴θ=60°.

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