2022年高中數(shù)學(xué) 2-4-1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 活頁規(guī)范訓(xùn)練 新人教A版選修2-1

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 2-4-1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 活頁規(guī)范訓(xùn)練 新人教A版選修2-1 1.拋物線y2=-8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 (  ). A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) D.(-4,0) 解析 依題意,拋物線開口向左,焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上,由2p=8得=2,故焦點(diǎn)坐 標(biāo)為(-2,0),故選B. 答案 B 2.若拋物線y2=8x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離為10,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (  ). A.(

2、8,8) B.(8,-8) C.(8,±8) D.(-8,±8) 解析 設(shè)P(xP,yP),∵點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線x=-2的距離,∴xP=8,yP=±8, 故選C. 答案 C 3.以雙曲線-=1的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (  ). A.y2=16x B.y2=-16x C.y2=8x D.y

3、2=-8x 解析 由雙曲線方程-=1,可知其焦點(diǎn)在x軸上,由a2=16,得a=4,∴該雙曲 線右頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(4,0),∴拋物線的焦點(diǎn)為F(4,0).設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2= 2px(p>0),則由=4,得p=8,故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=16x. 答案 A 4.設(shè)拋物線y2=8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4,則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是________. 解析 由拋物線的方程得==2,再根據(jù)拋物線的定義,可知所求距離為4+2=6. 答案 6 5.若直線ax-y+1=0經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn),則實(shí)數(shù)a=________. 解析 拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為(1,0),代入a

4、x-y+1=0,解得a=-1. 答案 -1 6.根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程: (1)準(zhǔn)線方程是y=3; (2)過點(diǎn)P(-2,4); (3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為. 解 (1)由準(zhǔn)線方程為y=3知拋物線的焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上,且=3,則p=6,故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-12y. (2)∵點(diǎn)P(-2,4)在第二象限,∴設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-2px(p>0)或x2=2py(p>0),將點(diǎn)P(-2,4)代入y2=-2px,得p=2;代入x2=2py,得p=1. ∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-4x或x2=2y. (3)由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,得p=,故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方

5、程為y2=2x,y2= -2x,x2=2y或x2=-2y. 7.動點(diǎn)到點(diǎn)(3,0)的距離比它到直線x=-2的距離大1,則動點(diǎn)的軌跡是 (  ). A.橢圓 B.雙曲線 C.雙曲線的一支 D.拋物線 解析 已知條件可等價(jià)于“動點(diǎn)到點(diǎn)(3,0)的距離等于它到直線x=-3的距離”,由拋 物線的定義可判斷,動點(diǎn)的軌跡為拋物線,故選D. 答案 D 8.已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-1,拋物線y2=4x上一動點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是

6、 (  ). A.2 B.3 C. D. 解析 直線l2:x=-1為拋物線y2=4x的準(zhǔn)線,由拋物線的定義 知,P到l2的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)的距離,故本題 化為在拋物線y2=4x上找一個(gè)點(diǎn)P使得P到點(diǎn)F(1,0)和直線l1 的距離之和最小,最小值為F(1,0)到直線l1:4x-3y+6=0的距 離,即dmin==2,故選擇A. 答案 A 9.已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓(x-3)2+

7、y2=16相切,則p的值為________. 解析 由拋物線方程y2=2px(p>0),得其準(zhǔn)線方程為x=-,又圓的方程為(x-3)2+y2 =16,∴圓心為(3,0),半徑為4.依題意,得3-(-)=4,解得p=2. 答案 2 10.拋物線y=-x2上的動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F(0,-1),E(1,-3)的距離之和的最小值為________. 解析 將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-4y,可知焦點(diǎn)坐 標(biāo)為(0,-1),-3<-,所以點(diǎn)E(1,-3)在拋物線的內(nèi)部, 如圖所示,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l,過M點(diǎn)作MP⊥l于點(diǎn)P, 過點(diǎn)E作EQ⊥l于點(diǎn)Q,由拋物線的定義可知,|MF|+|ME|

8、 =|MP|+|ME|≥|EQ|,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M在EQ上時(shí)取等號,又 |EQ|=1-(-3)=4,故距離之和的最小值為4. 答案 4 11.已知動圓M經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),且與直線l:x=-3相切,求動圓圓心M的軌跡方程. 解 法一 設(shè)動點(diǎn)M(x,y),設(shè)⊙M與直線l:x=-3的切點(diǎn)為N,則|MA|=|MN|,即動點(diǎn)M到定點(diǎn)A和定直線l:x=-3的距離相等,所以點(diǎn)M的軌跡是拋物線,且以A(3,0)為焦點(diǎn),以直線l:x=-3為準(zhǔn)線, ∴=3,∴p=6. ∴圓心M的軌跡方程是y2=12x. 法二 設(shè)動點(diǎn)M(x,y),則點(diǎn)M的軌跡是集合P={M||MA|=|MN|}, 即=|x+3|,化

9、簡,得y2=12x. ∴圓心M的軌跡方程為y2=12x. 12.(創(chuàng)新拓展)設(shè)F(1,0),點(diǎn)M在x軸上,點(diǎn)P在y軸上,且 (1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動時(shí),求點(diǎn)N的軌跡C的方程; (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲線C上除去原點(diǎn)外的不同三點(diǎn),且成等差數(shù)列,當(dāng)線段AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E(3,0)時(shí),求點(diǎn)B的坐標(biāo). 解 (1)設(shè)N(x,y),由得點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn),∴P(0,), M(-x,0), ∴=(-x,-),=(1,-). 由=-x+=0,得y2=4x. 即點(diǎn)N的軌跡方程為y2=4x. (2)由拋物線的定義,知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,|DF|=x3+1, ∵成等差數(shù)列, ∴2x2+2=x1+1+x3+1,即x2=. ∵線段AD的中點(diǎn)為(,),且線段AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E(3,0), ∴線段AD的垂直平分線的斜率為k=. 又kAD=,∴·=-1, 即=-1. ∵x1≠x3,∴x1+x3=2,又x2=,∴x2=1. ∵點(diǎn)B在拋物線上,∴B(1,2)或(1,-2).

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