九年級數(shù)學(xué)下冊 第二章 二次函數(shù)試題 （新版）北師大版

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1、九年級數(shù)學(xué)下冊 第二章 二次函數(shù)試題 （新版）北師大版 　　1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的配方步驟 (1)提:提取二次項系數(shù),把二次項系數(shù)化為1. (2)配:把括號內(nèi)配成完全平方公式. (3)化:把函數(shù)關(guān)系式化成頂點式. 【例】配方:y=4x2-8x. 【標準解答】y=4x2-8x =4(x2-2x) =4(x2-2x+1-1)=4(x-1)2-4. 1.二次函數(shù)y=-x2+2x+4的最大值為(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 2.將二次函數(shù)y=x2-4x+5化為y=(x-h)2+k的形式,則y=　　　　. 3.二次函數(shù)y=x2+2x的頂點坐標為

2、　　　,對稱軸是直線　　　. 　　2.確定二次函數(shù)解析式的方法 　　(1)一般式:若已知條件是圖象上的三點,則用y=ax2+bx+c,將已知三個點的坐標代入,求出a,b,c的值. 【例1】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0,1),(2,1)和(3,4),求該二次函數(shù)的解析式. 【標準解答】設(shè)函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c, 則解得 ∴y=x2-2x+1. 　　(2)頂點式:若已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸方程與最大值(或最小值),設(shè)所求二次函數(shù)為y=a(x-h)2+k,將已知條件代入,求出待定系數(shù). 【例2】根據(jù)函數(shù)圖象寫出二次函數(shù)的解析式. 【標準解答】由圖象知拋物線對稱

3、軸x=-1,頂點坐標為(-1,2),過原點(0,0),點(-2,0). 設(shè)解析式為y=a(x+1)2+2, ∵過原點(0,0),∴a+2=0,a=-2. 故解析式為y=-2(x+1)2+2,即y=-2x2-4x. 　　(3)交點式:若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的坐標為(x1,0),(x2,0),設(shè)所求二次函數(shù)為y=a(x-x1)(x-x2),將第三點(m,n)的坐標(其中m,n為已知數(shù))或其他已知條件代入,求出待定系數(shù)a. 【例3】已知函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖,那么函數(shù)解析式為　(　　) A.y=-x2+2x+3 B.y=x2-2x-3 C.y=-x2-2

4、x+3 D.y=-x2-2x-3 【標準解答】選A.運用二次函數(shù)交點式:y=a(x-x1)(x-x2),則y=a(x+1)(x-3),把(0,3)代入,則a=-1,整理,得y=-x2+2x+3. (4)根據(jù)平移確定解析式:先把拋物線化成頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,然后根據(jù)h值左加右減,k值上加下減來進行. 【例4】拋物線y=(x+2)2-3可以由拋物線y=x2平移得到,則下列平移過程正確的是　(　　) A.先向左平移2個單位,再向上平移3個單位 B.先向左平移2個單位,再向下平移3個單位 C.先向右平移2個單位,再向下平移3個單位 D.先向右平移2個單位,再向上平移3個單位

5、 【標準解答】選B.y=(x+2)2-3的頂點為(-2,-3),拋物線y=x2的頂點為(0,0),所以平移的過程是先向左平移2個單位,再向下平移3個單位. 1.將拋物線y=-2x2+1向右平移1個單位長度,再向上平移1個單位長度所得的拋物線解析式為　(　　) A.y=-2(x+1)2 B.y=-2(x+1)2+2 C.y=-2(x-1)2+2 D.y=-2(x-1)2+1 2.將拋物線y=x2的圖象向上平移1個單位,則平移后的拋物線的解析式為　　　　. 3.設(shè)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過A(0,2),B(4,3),C三點,其中點C在直線x=2上,且點C到拋物線

6、的對稱軸的距離等于1,則拋物線的函數(shù)解析式為　　　　. 4.科學(xué)家為了推測最適合某種珍奇植物生長的溫度,將這種植物分別放在不同溫度的環(huán)境中,經(jīng)過一定時間后,測試出這種植物高度的增長情況,部分數(shù)據(jù)如表: 溫度t/℃ -4 -2 0 1 4 植物高度增 長量l/mm 41 49 49 46 25 經(jīng)過猜想、推測出l與t之間是二次函數(shù)關(guān)系.由此可以推測最適合這種植物生長的溫度為　　　　℃. 　　3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c中的系數(shù)值對拋物線的影響 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象特征與a,b,c的符號有密切聯(lián)系,它們的關(guān)系如下: 　　(1)二次項系數(shù)a決

7、定拋物線的開口方向、函數(shù)最值情況. 　?、賏>0?開口向上,函數(shù)有最小值; 　　②a<0?開口向下,函數(shù)有最大值. 　 　(2)常數(shù)項c決定拋物線與y軸的交點,交點坐標為(0,c). 　　 ①c>0?交點在y軸正半軸上; 　　 ②c=0?拋物線過原點; 　　 ③c<0?交點在y軸負半軸上. 　　 (3)代數(shù)式-決定拋物線對稱軸的位置 　　 ①ab>0?對稱軸在y軸的左側(cè); 　 ?、赽=0?對稱軸是y軸; 　　 ③ab<0?對稱軸在y軸的右側(cè). 　　 (4)代數(shù)式b2-4ac決定拋物線與x軸交點的情況 　

8、 　①b2-4ac>0?拋物線與x軸有兩個交點; 　　 ②b2-4ac=0?拋物線與x軸有一個交點; 　　 ③b2-4ac<0?拋物線與x軸沒有交點. 【例】如圖所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象中,劉星同學(xué)觀察得出了下面四條信息:(1)b2-4ac>0;(2)c>1;(3)2a-b<0;(4)a+b+c<0.你認為其中錯誤的有　(　　) A.2個　　 B.3個　 　C.4個　　 D.1個 【標準解答】選D.圖象與x軸有兩個交點,得(1)正確; 圖象與y軸交點在點(0,1)下方得c<1,所以(2)錯誤; 對稱軸x=-在點(-1,0)右側(cè),得->-1并

9、考慮a<0,去分母得-b<-2a,2a-b<0,所以(3)正確; a+b+c是x=1時的函數(shù)值,從圖象上看,橫坐標為1時圖象上的點在x軸下方,故a+b+c<0,所以(4)正確.綜上只有一條信息錯誤. 1.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則下列敘述正確的是　(　　) A.abc<0 B.-3a+c<0 C.b2-4ac≥0 D.將該函數(shù)圖象向左平移2個單位后所得拋物線的解析式為y=ax2+c 1題圖 2題圖 2.如圖,已知經(jīng)過原點的拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸是直線x=-1,下列結(jié)論中: ①ab>0, ②a+b+c>0, ③

10、當-20?拋物線與x軸相交; 　?、谟幸粋€交點(頂點在x軸上)?b2-4ac=0?拋物線與x軸相切; 　?、蹧]有交點?b2-4ac<0?拋物線與x軸相離. 【例】已知拋物線y=-x2+mx-m+2. (1)若拋物線與x軸的兩個交點

11、A,B分別在原點的兩側(cè),并且AB=,試求m的值. (2)設(shè)C為拋物線與y軸的交點,若拋物線上存在關(guān)于原點對稱的兩點M,N,并且△MNC的面積等于27,試求m的值. 【標準解答】(1)設(shè)A(x1,0),B(x2,0),則x1,x2是方程x2-mx+m-2=0的兩根. ∴x1+x2=m,x1·x2=m-2<0即m<2; 又AB=∣x1-x2∣= =,∴m2-4m+3=0. 解得:m=1或m=3(舍去), ∴m的值為1. (2)設(shè)M(a,b),則N(-a,-b). ∵M,N是拋物線上的兩點, ∴ ①+②得:-2a2-2m+4=0. ∴a2=-m+2. ∴當m<2時,才存

12、在滿足條件中的兩點M,N.∴a=±. 這時M,N到y(tǒng)軸的距離均為, 又點C坐標為(0,2-m),而S△MNC=27, ∴2××(2-m)×=27. ∴解得m=-7. 1.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象,下列結(jié)論: ①二次三項式ax2+bx+c的最大值為4; ②4a+2b+c<0; ③一元二次方程ax2+bx+c=1的兩根之和為-2; ④使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0. 其中正確的個數(shù)有　(　　) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 1題圖 2題圖 2.如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點A(-1,0),B(3

13、,0),那么一元二次方程ax2+bx=0的根是　　　　. 3.已知拋物線的表達式為y=-x2+6x+c. (1)若拋物線與x軸有交點,求c的取值范圍. (2)設(shè)拋物線與x軸兩個交點的橫坐標分別為x1,x2,若+=26,求c的值. (3)若P,Q是拋物線上位于第一象限的不同兩點,PA,QB都垂直于x軸,垂足分別為A,B,且△OPA與△OQB全等,求證:c>-. 　　5.二次函數(shù)解決實際問題時的方法 思考問題的基本思路是: 　　(1)理解問題. 　　(2)分析問題中的變量和常量. 　　(3)用函數(shù)表達式表示出它們之間的關(guān)系. 　　(4)利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)

14、進行求解. 　　(5)檢驗結(jié)果的合理性,對問題加以拓展等. 【例】利達經(jīng)銷店為某工廠代銷一種建筑材料(這里的代銷是指廠家先免費提供貨源,待貨物售出后再進行結(jié)算,未售出的由廠家負責(zé)處理).當每噸售價為260元時,月銷售量為45噸.該經(jīng)銷店為提高經(jīng)營利潤,準備采取降價的方式進行促銷.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):當每噸售價每下降10元時,月銷售量就會增加7.5噸.綜合考慮各種因素,每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其他費用100元.設(shè)每噸材料售價為x(元),該經(jīng)銷店的月利潤為y(元). (1)當每噸售價是240元時,計算此時的月銷售量. (2)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出x的取值范圍). (3)該

15、經(jīng)銷店要獲得最大月利潤,售價應(yīng)定為每噸多少元? (4)小靜說:“當月利潤最大時,月銷售額也最大.”你認為對嗎?請說明理由. 【標準解答】(1)45+×7.5=60(噸). (2)y=(x-100),化簡得:y=-x2+315x-24000. (3)y=-x2+315x-24000=-(x-210)2+9075. 利達經(jīng)銷店要獲得最大月利潤,材料的售價應(yīng)定為每噸210元. (4)小靜說的不對.理由:當月利潤最大時,x為210元,而對于月銷售額W=x=-(x-160)2+19200來說,當x為160元時,月銷售額W最大. ∴當x為210元時,月銷售額W不是最大.∴小靜說的不對.

16、 1.某廣告公司要為客戶設(shè)計一幅周長為12m的矩形廣告牌,廣告牌的設(shè)計費為每平方米1000元. 請你設(shè)計一個廣告牌邊長的方案,使得根據(jù)這個方案所確定的廣告牌的長和寬能使獲得的設(shè)計費最多,設(shè)計費最多為多少元? 2.九年級數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查,得到某種運動服每月的銷量與售價的相關(guān)信息如表: 售價(元/件) 100 110 120 130 … 月銷量(件) 200 180 160 140 … 已知該運動服的進價為每件60元,設(shè)售價為x元. (1)請用含x的式子表示:①銷售該運動服每件的利潤是　　　　元;②月銷量是　　　　件.(直接寫出結(jié)果)

17、 (2)設(shè)銷售該運動服的月利潤為y元,那么售價為多少時,當月的利潤最大,最大利潤是多少? 　　6.拋物線上是否存在點的探究方法 　　(1)虛擬檢驗法:欲探究拋物線是否存在滿足條件A,B的點,先虛擬出符合條件A的點,然后再檢驗點是否滿足條件B.滿足即存在,反之不存在. 　　(2)分類探究法:欲探究拋物線上符合某條件的P點是否存在,可借助圖形特殊點位置進行分類討論. 　　(3)求解探索法:欲探索拋物線上滿足條件A,B的點P是否存在,根據(jù)條件A,B列出關(guān)于P點坐標的方程(組),有解則存在,反之則不存在. 【例】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過

18、點M(-2,),頂點坐標為N,且與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點. (1)求拋物線的解析式. (2)點P為拋物線對稱軸上的動點,當△PBC為等腰三角形時,求點P的坐標. (3)在直線AC上是否存在一點Q,使△QBM的周長最小?若存在,求出Q點坐標;若不存在,請說明理由. 【標準解答】(1)由拋物線頂點坐標為N,可設(shè)其解析式為y=a(x+1)2+, 將M(-2,)代入,得=a(-2+1)2+,解得a=-, 故所求拋物線的解析式為 y=-x2-x+. (2)∵y=-x2-x+, ∴x=0時,y=,∴C(0,). y=0時,-x2-x+=0,解得x=1或x=-3, ∴A

19、(1,0),B(-3,0), ∴BC==2. 設(shè)P(-1,m),顯然PB≠PC,所以 當CP=CB時,有CP==2,解得m=±; 當BP=BC時,有BP==2,解得m=±2. 綜上,當△PBC為等腰三角形時,點P的坐標為(-1,+),(-1,-),(-1,2),(-1,-2). (3)由(2)知BC=2,AC=2,AB=4, 所以BC2+AC2=AB2,即BC⊥AC. 連接BC并延長至B',使B'C=BC,連接B'M,交直線AC于點Q, ∵B,B'關(guān)于直線AC對稱, ∴QB=QB', ∴QB+QM=QB'+QM=MB', 又BM=2,所以此時△QBM的周長最小. 由B

20、(-3,0),C(0,),易得B'(3,2). 設(shè)直線MB'的解析式為y=kx+n, 將M(-2,),B'(3,2)代入,得解得 即直線MB'的解析式為y=x+. 同理可求得直線AC的解析式為 y=-x+. 由解得 即Q, 所以在直線AC上存在一點 Q,使△QBM的周長最小. 1.如圖,直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A和B(4,m),點P是線段AB上異于A,B的動點,過點P作PC⊥x軸于點D,交拋物線于點C. (1)求拋物線的解析式. (2)是否存在這樣的P點,使線段PC的長有最大值,若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由.

21、(3)求△PAC為直角三角形時點P的坐標. 2.如圖1,關(guān)于x的二次函數(shù)y=-x2+bx+c經(jīng)過點A(-3,0),點C(0,3),點D為二次函數(shù)的頂點,DE為二次函數(shù)的對稱軸,E在x軸上. (1)求拋物線的解析式. (2)DE上是否存在點P到AD的距離與到x軸的距離相等,若存在求出點P,若不存在,請說明理由. (3)如圖2,DE的左側(cè)拋物線上是否存在點F,使2S△FBC=3S△EBC,若存在,求出點F的坐標,若不存在,請說明理由. 跟蹤訓(xùn)練答案解析 1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的配方步驟 【跟蹤訓(xùn)練】

22、1.【解析】選C.y=-x2+2x+4=-(x-1)2+5,所以當x=1時,取得最大值5. 2.【解析】y=x2-4x+5=x2-4x+4-4+5=(x-2)2+1. 答案:(x-2)2+1 3.【解析】∵y=x2+2x=(x+1)2-1, ∴二次函數(shù)y=x2+2x的頂點坐標是:(-1,-1),對稱軸是直線x=-1. 答案:(-1,-1)　x=-1 2.確定二次函數(shù)解析式的方法 【跟蹤訓(xùn)練】 1.【解析】選C.因為此拋物線的頂點為(0,1),向右平移1個單位,再向上平移1個單位長度后的頂點為(1,2),所以所得拋物線為y=-2(x-1)2+2. 2.【解析】因為拋物線y=x2

23、的圖象向上平移1個單位,根據(jù)圖象移動與關(guān)系式的變化規(guī)律可得y=x2+1. 答案:y=x2+1 3.【解析】∵點C在直線x=2上,且到拋物線的對稱軸的距離等于1, ∴拋物線的對稱軸為直線x=1或x=3, 當對稱軸為直線x=1時,設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)2+k, 則解得 所以,y=(x-1)2+=x2-x+2, 當對稱軸為直線x=3時,設(shè)拋物線解析式為y=a(x-3)2+k, 則解得 所以,y=-(x-3)2+=-x2+x+2, 綜上所述,拋物線的函數(shù)解析式為 y=x2-x+2或y=-x2+x+2. 答案:y=x2-x+2或y=-x2+x+2 4.【解析】設(shè)二次函

24、數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c,把(0,49),(1,46),(4,25)代入函數(shù)解析式可得解得 ∴函數(shù)的解析式為y=-x2-2x+49. 此函數(shù)的解析式的頂點橫坐標-1即為最適合的溫度. 答案:-1 3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c中的系數(shù)值對拋物線的影響 【跟蹤訓(xùn)練】 1.【解析】選B.A.由開口向下,可得a<0;又由拋物線與y軸交于負半軸,可得c<0,然后由對稱軸在y軸右側(cè),得到b與a異號,則可得b>0,故得abc>0,故本選項錯誤;B.根據(jù)圖知對稱軸為直線x=2,即-=2,得b=-4a,再根據(jù)圖象知當x=1時,y=a+b+c=a-4a+c=-3a+c<0,故本選項正確;C

25、.由拋物線與x軸有兩個交點,可得b2-4ac>0,故本選項錯誤;D.y=ax2+bx+c=a+, ∵-=2,∴原式=a(x-2)2+,向左平移2個單位后所得到拋物線的解析式為y=ax2+,故本選項錯誤. 2.【解析】選D.①∵拋物線的開口向上, ∴a>0, ∵對稱軸在y軸的左側(cè),∴b>0 ∴ab>0,故①正確; ②∵觀察圖象知, 當x=1時y=a+b+c>0,∴②正確; ③∵拋物線的對稱軸為x=-1,與x軸交于(0,0),∴另一個交點為(-2,0), ∴當-2

26、1,4), ∴二次三項式ax2+bx+c的最大值為4,①正確; ∵x=2時,y<0,∴4a+2b+c<0,②正確; 根據(jù)拋物線的對稱性可知,一元二次方程ax2+bx+c=1的兩根之和為-2,③正確; 使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0或x≤-2,④不正確. 2.【解析】因為點A(-1,0),B(3,0)在二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象上, 所以有解得 所以一元二次方程ax2+bx=0為-x2+2x=0.解得x1=0,x2=2. 答案:x1=0,x2=2 3.【解析】(1)利用二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,直接用判別式解答. ∵y=-x2+6x+c與x軸有交點, ∴-x

27、2+6x+c=0有實數(shù)根, ∴Δ=b2-4ac≥0, 即62-4×(-1)×c≥0,解得c≥-9. (2)∵-x2+6x+c=0有解, 且+=26, ∴c≥-9,(x1+x2)2-2x1x2=26, 即-2×=26,解得c=-5. (3)設(shè)P的坐標為(m,n),則Q點坐標為(n,m),且m>0,n>0,m≠n, 將這兩個點的坐標代入函數(shù)表達式得 ①-②得:n2-m2+7(m-n)=0, (n-m)(m+n-7)=0, 故可得:m+n=7,故可得n=7-m, 代入方程②得:-m2+7m+(c-7)=0. 因為存在這樣的點,所以上述方程有解,所以判別式b2-4ac≥0,

28、 即72-4×(-1)×(c-7)≥0,故c≥-. 而當c=-時,m=,此時n=, 故c>-. 5.二次函數(shù)解決實際問題時的方法 【跟蹤訓(xùn)練】 1.【解析】設(shè)矩形一邊長為xm,面積為Sm2,則另一邊長為m, 則其面積S=x·=x(6-x)=-x2+6x,∵0<2x<12,∴0

29、意得,解得 ∴W=-2x+400. (2)由題意得,y=(x-60)(-2x+400) =-2x2+520x-24000 =-2(x-130)2+9800, ∴售價為130元時,當月的利潤最大,最大利潤是9800元. 6.拋物線上是否存在點的探究方法 【跟蹤訓(xùn)練】 1.【解析】(1)∵B(4,m)在直線y=x+2上, ∴m=4+2=6,∴B(4,6), ∵A,B(4,6)在拋物線y=ax2+bx+6上, ∴ ∴a=2,b=-8,∴y=2x2-8x+6. (2)設(shè)動點P的坐標為(n,n+2),則C點的坐標為(n,2n2-8n+6), ∴PC=(n+2)-(2n2-8n

30、+6), =-2n2+9n-4=-2+, ∵PC>0,∴當n=時,線段PC最大且為. (3)∵△PAC為直角三角形, (i)若點P為直角頂點,則∠APC=90°, 由題意易知,PC∥y軸,∠APC=45°,因此這種情形不存在; (ii)若點A為直角頂點,則∠PAC=90°, 如圖1,過點A作AN⊥x軸于點N,則ON=,AN=,過點A作AM⊥直線AB,交x軸于點M,則由題意易知,△AMN為等腰直角三角形, ∴MN=AN=,∴OM=ON+MN=+=3,∴M(3,0), 設(shè)直線AM的解析式為:y=kx+b, 則:解得 ∴直線AM的解析式為:y=-x+3①, 又拋物線的解析式為

31、:y=2x2-8x+6②, 聯(lián)立①②式,解得:x=3或x=(與點A重合,舍去),∴C(3,0),即點C,M重合. 當x=3時,y=x+2=5.∴P1(3,5). (ⅲ)若點C為直角頂點,則∠ACP=90°. ∵y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2, ∴拋物線的對稱軸為直線x=2, 如圖2,作點A關(guān)于對稱軸x=2的對稱點C, 則點C在拋物線上,且C. 當x=時,y=x+2=,∴P2. ∵點P1(3,5),P2均在線段AB上, ∴綜上所述,△PAC為直角三角形時,點P的坐標為(3,5)或. 2.【解析】(1)將A(-3,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c得:

32、 解得:∴y=-x2-2x+3. (2)存在. 當點P在∠DAB的角平分線上時,作PM⊥AD,設(shè)P(-1,y0),則PM=PD·sin∠ADE=(4-y0),PE=y0, ∵PM=PE,∴(4-y0)=y0, 解得:y0=-1, 當點P在∠DAB的外角平分線上時,作PN⊥AD,設(shè)P(-1,y0), 則PN=PD·sin∠ADE=(4-y0), PE=-y0, ∵PN=PE,∴(4-y0)=-y0, 解得:y0=--1, ∴點P的坐標為P1(-1,-1),P2(-1,--1). (3)S△EBC=3又2S△BCF=3S△EBC, ∴S△BCF=, 過F作FQ⊥x軸交BC的延長線于Q, 則S△FBC=S△FBQ-S△FCQ=FQ·OB= ∵BC的解析式為:y=-3x+3, 設(shè)F(x0,--2x0+3)則Q(x0,-3x0+3) ∴-3x0+3++2x0-3=9, ∴-x0-9=0, ∴x0=,, ∴點F的坐標為.