2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專(zhuān)題一 集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專(zhuān)題跟蹤訓(xùn)練6 文

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專(zhuān)題一 集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專(zhuān)題跟蹤訓(xùn)練6 文 1.(xx·安徽卷)已知函數(shù)f(x)=(a>0,r>0). (1)求f(x)的定義域,并討論f(x)的單調(diào)性; (2)若=400,求f(x)在(0,+∞)內(nèi)的極值. [解] (1)由題意知x≠-r,所求的定義域?yàn)?-∞,-r)∪(-r,+∞). f(x)==, f ′(x)= =, 所以當(dāng)x<-r或x>r時(shí), f ′(x)<0,當(dāng)-r0, 因此, f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-r),(r,+∞); f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-r,r). (

2、2)由(1)的解答可知f ′(r)=0,f(x)在(0,r)上單調(diào)遞增,在(r,+∞)上單調(diào)遞減. 因此,x=r是f(x)的極大值點(diǎn), 所以f(x)在(0,+∞)內(nèi)的極大值為f(r)====100. 2.(xx·濟(jì)南模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=x+ax2+bln x,曲線y=f(x)過(guò)P(1,0),且在P點(diǎn)處的切線斜率為2. (1)求a,b的值; (2)證明:f(x)≤2x-2. [解] (1)f ′(x)=1+2ax+. 由已知條件得 即解得 (2)證明:因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?0,+∞), 由(1)知f(x)=x-x2+3ln x. 設(shè)g(x)=f(x)-(2x-2)=2-

3、x-x2+3ln x, 則g′(x)=-1-2x+=-. 當(dāng)00, 當(dāng)x>1時(shí),g′(x)<0. 所以g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增, 在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減. 而g(1)=0,故當(dāng)x>0時(shí),g(x)≤0, 即f(x)≤2x-2. 3.(xx·東北三校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)=x--aln x(a∈R). (1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與y軸垂直,求函數(shù)f(x)的極值; (2)當(dāng)a≤4時(shí),若不等式f(x)≥1在區(qū)間[1,4]上有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. [解] 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞). (1)f′(x)=1+-=,

4、 所以f′(1)=5-a,故曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率等于5-a. 由題意可得5-a=0,解得a=5. 此時(shí),f′(x)==. 由f′(x)=0解得x=1或4. f(x)、f′(x)隨x的變化情況如下表: x (0,1) 1 (1,4) 4 (4,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 極小值為f(4)=4--5ln 4=3-10ln 2. (2)由不等式f(x)≥1在區(qū)間[1,4]上有解可知,f(x)在區(qū)間[1,4]上的最大值不小于1. 由(1)知f′(x)=,

5、對(duì)于方程x2-ax+4=0,Δ=(-a)2-4×1×4=a2-16, ①當(dāng)a∈[-4,4]時(shí),Δ≤0,故f′(x)≥0恒成立,f(x)在[1,4]上單調(diào)遞增,故f(x)在[1,4]上的最大值為f(4)=4--aln 4=3-2aln 2, 故由f(4)≥1,得3-2aln 2≥1,解得a≤. 又a∈[-4,4],所以a∈. ②當(dāng)a<-4時(shí),Δ>0,f′(x)=0的兩根為 x1=,x2=. 此時(shí)x1<0,x2<0,故f(x)在[1,4]上單調(diào)遞增, 故①知,a≤,又a<-4, 故a<-4. 綜上所述,a的取值范圍為. 4.(xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-aln

6、 x. (1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù); (2)證明:當(dāng)a>0時(shí), f(x)≥2a+aln . [解] (1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞), f ′(x)=2e2x-(x>0). 當(dāng)a≤0時(shí), f ′(x)>0, f ′(x)沒(méi)有零點(diǎn); 當(dāng)a>0時(shí),因?yàn)閥=e2x單調(diào)遞增,y=-單調(diào)遞增,所以f ′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又f ′(a)>0,當(dāng)b滿足00時(shí), f ′(x)存在唯一零點(diǎn). (2)證明:由(1),可設(shè)f′(x)在(0,+∞)上的唯一零點(diǎn)為x0,當(dāng)x∈(0,x0)時(shí), f ′(x)<0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí), f ′(x)>0. 故f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=x0時(shí), f(x)取得最小值,最小值為f(x0). 由于2e2x0-=0,所以f(x0)=+2ax0+aln ≥2a+aln . 故當(dāng)a>0時(shí), f(x)≥2a+aln .

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