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1、2022年高考數(shù)學二輪復習 專題九 三角恒等變換與解三角形練習 理
基礎(chǔ)演練夯知識
1. 在鈍角三角形ABC中,AB=,AC=1,B=30°,則△ABC的面積為( )
A. B. C. D.
2.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=,A=45°,B=105°,則c= ( )
A. B. 1
C. D.
3. 函數(shù)f(x)=sin 2x-sin的最小值為( )
2、 A.0 B.-1
C.- D.-2
4.已知α,β都是銳角,且cos α=,sin(α+β)=,則tan β為( )
A.2 B.-
C.-或2 D.或-2
5.在△ABC中,已知2acos B=c,sin Asin B(2-cos C)=sin2+,則△ABC為( )
A.等邊三角形
B.等腰直角三角形
C.銳角非等邊三角形
D. 鈍角三角形
提升訓練強能力
6. 已知sin 2α=,則cos2 =( )
A. B.-
C. D
3、.-
7.已知△ABC的外接圓O的半徑為1,且·=-,C=.從圓O內(nèi)隨機取一點M,若點M在△ABC內(nèi)的概率恰為,則△ABC為( )
A. 直角三角形 B.等邊三角形
C.鈍角三角形 D. 等腰直角三角形
8.已知A,B,C是△ABC的三個內(nèi)角,其對邊分別為a,b,c.若(sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin C(sin A-sin C),則B=( )
A. B.
C. D.
9. 在△ABC中,若·=7,=6,則△ABC的面積的最大值為( )
A.24 B.16
C.12 D
4、.8
10.已知△ABC的重心為G,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a+b+c=0,則A等于( )
A. B.
C. D.
11. 已知α∈,cos(π-α)=-,則tan 2α=______ .
12.在△ABC中,C=60°,AB=,AB邊上的高為,則AC+BC=________.
13.已知∠MON=60°,由此角內(nèi)一點A 向角的兩邊引垂線,垂足分別為B,C,AB=a,AC=b,若a+b=2,則△ABC外接圓的直徑的最小值是________.
14.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已
5、知平面向量m=(sin C,cos C),n=(cos B,sin B),且m·n=sin 2A.
(1)求sin A的值;
(2)若a=1,cos B+cos C=1,求邊c的值.
15. 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且cos=.
(1)若a=3,b=,求c的值;
(2)若f(A)=sin A(cos A-sin A),求f(A)的取值范圍.
16. 如圖9-1所示,已知OPQ是半徑為,圓心角為的扇形,C是扇形弧上的動點(不與P,Q重合),ABCD是扇形的內(nèi)接矩形,記∠COP=x,矩形ABCD的面積為f(x).
6、
(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并寫出其定義域;
(2)求函數(shù)y=f(x)+f的最大值及相應(yīng)的x值.
圖9-1
專題限時集訓(九)
【基礎(chǔ)演練】
1.C [解析] 由=,即=,得sin C=,所以C=120°(C=60°舍去).又B=30°,所以A=30°,所以S△ABC=AB·AC sin A=.
2.B [解析] 易知C=30°.由正弦定理得=,所以c=1.
3.B [解析] f(x)=sin 2x-sin 2x-cos 2x=sin 2x- cos 2x=sin,易知f(x)的最小值為-1.
4.A [解析] 由cos α=,且α是銳角知
7、sin α=>=sin(α+β),又β是銳角,因此α+β是鈍角,從而cos(α+β)=-.于是cos β=cos[(α+β)-α]=,所以sin β=,tan β=2.
5.B [解析] 由2acos B=c得2sin Acos B=sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,即sin(A-B)=0,因為-180°<A-B<180°,因此A=B.又由sin Asin B(2-cos C)=sin2+得sin Asin B(2-cos C)=+=,從而sin Asin B=sin2A=,A=B=45°, 為等腰直角三角形.
【提升訓練】
6.C [解析] co
8、s2====.
7.B [解析] 由題意得=,所以CA·CB=3.在△AOB中,由OA=OB=1,·=-,得∠AOB=,所以AB=.由余弦定理得AB2=CA2+CB2-2CA·CBcos,即CA2+CB2=6,結(jié)合CA·CB=3,得CA=CB=,所以△ABC為等邊三角形.
8.A [解析] 依題意得sin2A-sin2B=sin Asin C-sin2 C,
∴由正弦定理可得a2-b2=ac-c2,∴a2+c2-b2=ac,
∴cos B==,∴B=.
9.C [解析] 設(shè)內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則由已知條件可知bccos A=7,a=6.根據(jù)余弦定理可得36=b2+
9、c2-14,所以b2+c2=50,所以bc≤25.S△ABC=bcsin A=bc=bc=≤=12,當且僅當b=c=5時等號成立,故所求最大值為12.
10.A [解析] 由于G為△ABC的重心,所以++=0,即=--,所以+=0,所以a=b=c,所以cos A===.又0<A<π,所以A=.
11.- [解析] 因為α∈,cos(π-α)=-,所以sin α=-,tan α =-,所以tan 2α==-.
12. [解析] △ABC的面積S=××=,又S=AC·BC·sin C=AC·BC,所 以AC·BC=.根據(jù)余弦定理有AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C=(AC+BC
10、)2-3AC·BC,所以(AC+BC)2=3+3×=11,所以AC+BC=.
13.2 [解析] 設(shè)△ABC外接圓的半徑為R,則2R===≥=2,當且僅當a=b=1時等號成立.
14.解: (1)由題意,sin 2A=sin Ccos B+cos Csin B,
得2sin Acos A=sin(B+C)=sin A.
由于△ABC中,sin A>0,∴2cos A=1,cos A=,A=,
∴sin A=.
(2)由cos B+cos C=1得-cos(A+C)+cos C=1,
即sin Asin C-cos Acos C+cos C=1,∴sin C+cos C=1.
得
11、sin=1,∵0<C<,<C+<,
∴C=,所以△ABC為正三角形,故c=1.
15.解: (1)在△ABC中,A+B+C=π.所以cos=cos=sin=.
=,所以B=.
由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,
得c2-3c+2=0.解得c=1或c=2.
(2)f(A)=sin A(cos A-sin A)=sin 2A-=
sin-.
由(1)得B=,所以A+C=,A∈,則2A+∈.
∴sin∈(-1,1].∴f(A)∈.
∴f(A)的取值范圍是.
16.解:(1)∵在Rt△COB中,CB=sin x,OB=cos x,
∴OA=DAtan =CBtan =sin x,AB=OB-OA=cos x-sin x,
∴f(x)=AB·BC=(cos x-sin x)·sin x=3sin x·cos x- sin2x=sin 2x-(1-cos 2x)=sin-,x∈.
(2)y=f(x)+f
=sin-+sin-
=-
=sin-.
由0<x<,0<x+<,得0<x<,
∴<2x+<,
∴當2x+=,即x=時,ymax=-.