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1、2022年高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理(IV)
一．選擇題（共12小題，每題5分共60分。）
1．已知集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{x|log2x<2}，則A∩B＝( )
A．(－1,3) B．(0,4) C．(0,3) D．(－1,4)
2．設(shè)a>0且a≠1，則“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
3．已知a＝0.7，b＝0.6，c＝log2.11.5，則a，b，c的大小關(guān)系是( )
A．c
2、
3、△ABP的面積之比為( )
A．3 B．6 C．2 D.
7． 一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為（ ）
A． B． C． D．
8．如圖所示，正四棱錐P—ABCD的底面積為3，體積為，
E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，則PA與BE所成的角為( )
A. B. C. D.
9．已知函數(shù)y＝anx2(an≠0，n∈N*)的圖象在x＝1處的切線斜率為2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，且當(dāng)n＝1時(shí)其圖象過點(diǎn)(2,8)，則a7的值為( )
A. B．
4、7 C．5 D．6
10．設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)使得則該雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.3
11.偶函數(shù)滿足,且在時(shí), , ，則函數(shù)與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
12．設(shè)函數(shù)f1(x)＝x，f2(x)＝log2 015x，ai＝(i＝1,2，…，2 015)，記Ik＝|fk(a2)－fk(a1)|＋|fk(a3)－fk(a2)|＋…＋|fk(a2 015)－fk(a2 014)|，k＝1,2，
5、則( )
A．I1I2 D．I1與I2的大小關(guān)系無法確定
二．填空題（共4小題，每小題5分，共20分，請把答案寫在答題卷上）
13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線(為常數(shù))過點(diǎn)，且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線平行，則的值是 ．
14．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(1,2)，點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足約束條件
則z＝·的最大值為________．
15．如圖，正方形的邊長分別為，原點(diǎn)為的中點(diǎn)，拋物線經(jīng)過
16．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且各項(xiàng)均不為，為其前項(xiàng)和，，，若不等式對任意的正整數(shù)恒成立，則的
6、取值集合為
三．解答題（6題，共70分，要求寫出解答過程或者推理步驟）
17．(10分)己知函數(shù),
(1) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值和最大值；
(2) 設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為、、，且，f(C)=2，
若向量與向量共線，求，的值．
18．(12分)過點(diǎn)Q(－2，)作圓O：x2＋y2＝r2(r>0)的切線，切點(diǎn)為D，且|QD|＝4.
(1)求r的值；
(2)設(shè)P是圓O上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O的切線l，
且l交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，設(shè)＝＋，求||的最小值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．
7、 19．(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝＋(x>0)，數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝f，n∈N*，且n≥2.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)對n∈N*，設(shè)Sn＝＋＋＋…＋，若Sn≥恒成立，
求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
20．(12分)如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB.
(1)求證：AB⊥DE；
(2)求直線EC與平面ABE所成角的正弦值；
(3)線段EA上是否存在點(diǎn)F，使EC∥平面FBD？
若存在，求出；若不存在，請說明理由．
21．(12分) 如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，長軸在軸上，
8、離心率，過左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于、兩點(diǎn)，．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）取垂直于軸的直線與橢圓相較于不同的兩點(diǎn)、，
過、作圓心為的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓外．
若⊥，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
22．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋ln(x＋1)(a∈R)．
(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上恒有f′(x)>x，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)已知a<1，c1>0，且cn＋1＝f′(cn)(n＝1,2，…)，證明：數(shù)列{cn}是單調(diào)遞增數(shù)列．
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．
9、 14．
15． 16
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17、（10分）
18（12分）
19、（12分）
20．(12分)
21．（12分）
10、
22.
12月考理科數(shù)學(xué)答案
1 C 2 A 3 A 4 D 5 B 6 A 7 A 8 C 9 C 10 C 11 B 12 A
12解析：依題意，f1(ai＋1)－f1(ai)＝ai＋1－ai＝－＝，因此I1＝|f1(a2)－f1(a1)|＋|f1(a3)－f1(a2)|＋…＋|f1(a2 015)－f1(a2 014)|＝， f2(ai＋1)－f2(ai)＝log2 015ai＋1－log2 015ai＝log2 015－log2 015>0，I2＝|f2(a2)
11、－f2(a1)|＋|f2(a3)－f2(a2)|＋…＋|f2(a2 015)－f2(a2 014)|＝(log2 015－log2 015)＋(log2 015－log2 015)＋…＋(log2 015－log2 015)＝1，因此I1
12、(1)圓O：x2＋y2＝r2(r>0)的圓心為O(0,0)，
于是|QO|2＝(－2)2＋()2＝25，
由題設(shè)知，△QDO是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
故有r＝|OD|＝＝＝3.
(2)設(shè)直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，即bx＋ay－ab＝0，則A(a,0)，B(0，b)，∴＝(a，b)，
∴||＝.
∵直線l與圓O相切，
∴＝3?a2b2＝9(a2＋b2)≤2，
∴a2＋b2≥36，∴||≥6，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)取到“＝”．
∴||取得最小值為6.
19 解：(1)由an＝f可得，an－an－1＝，n∈N*，n≥2.所以{an}是等差數(shù)列，
又因?yàn)閍1
13、＝1，所以an＝1＋(n－1)×＝，n∈N*.
(2)Sn＝＋＋＋…＋，n∈N*.因?yàn)閍n＝，所以an＋1＝，
所以＝＝.
所以Sn＝＝，n∈N*.
Sn≥?≥?t≤(n∈N*)恒成立．令g(n)＝(n∈N*)，
g(n)＝＝＝2n＋3＋－6(n∈N*)．令p＝2n＋3，則p≥5，p∈N*.
g(n)＝p＋－6(n∈N*)，易知p＝5時(shí)，g(n)min＝.
所以t≤，即t的取值范圍是.
20． (1)證明：取AB的中點(diǎn)O，連接EO，DO.
因?yàn)镋B＝EA，所以EO⊥AB.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形．AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC，
所以四邊形OBCD為正方形，所以A
14、B⊥OD.
因?yàn)镋O∩DO＝0.所以AB⊥平面EOD，所以AB⊥ED.
(2)因?yàn)槠矫鍭BE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，
所以EO⊥平面ABCD，所以EO⊥OD.
由OB，OD，OE兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O—xyz.
因?yàn)槿切蜤AB為等腰直角三角形，所以O(shè)A＝OB＝OD＝OE，設(shè)OB＝1，
所以O(shè)(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，E(0,0,1)．
所以＝(1,1，－1)，
平面ABE的一個(gè)法向量為＝(0,1,0)．設(shè)直線EC與平面ABE所成的角為θ，
所以sinθ＝|cos〈，〉＝＝，
即直線EC
15、與平面ABE所成角的正弦值為.
(3)存在點(diǎn)F，且＝時(shí)，有EC∥平面FBD.
證明如下：由＝＝，
F，所以＝，＝(－1,1,0)．
設(shè)平面FBD的法向量為v＝(a，b，c)，
則有所以取a＝1，得v＝(1,1,2)．
因?yàn)椤＝(1,1，－1)·(1,1,2)＝0，且EC?平面FBD，所以EC∥平面FBD，
即點(diǎn)F滿足＝時(shí)，有EC∥平面FBD.
21解：21、解：（I）由題意知點(diǎn)A在橢圓上，則.從而.
由得，從而.故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（II）由橢圓的對稱性，可設(shè).又設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，則
.
設(shè)，由題意，P是橢圓上到Q的距離最小的點(diǎn)，因此，上式當(dāng)時(shí)取最小值，又因，所
16、以上式當(dāng)時(shí)取最小值，從而，且.
因?yàn)?且，所以，
即.由橢圓方程及得，
解得，.從而.
故這樣的圓有兩個(gè)，其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為
，.
22解：(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x2－2x＋ln(x＋1)，
f′(x)＝2x－2＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝±.
又x>－1，且x∈(－1，－)∪(，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，x∈(－，)時(shí)，f′(x)<0，
∴函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為x＝－，極小值點(diǎn)為x＝.
(2)∵f′(x)＝2x－a＋，由f′(x)>x，得2x－a＋>x，即a1，∴a≤1.
(3)①當(dāng)n＝1時(shí)，c2＝f′(c1)＝2c1－a＋，
∵c1>0，∴c1＋1>1，又a<1，
∴c2－c1＝c1－a＋＝c1＋1＋－(a＋1)>2－(a＋1)＝1－a>0，
∴c2>c1，即當(dāng)n＝1時(shí)結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，有ck＋1>ck>0.
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ck＋2－ck＋1＝ck＋1－a＋＝ck＋1＋1＋－(a＋1)>2－(a＋1)＝1－a>0.
∴ck＋2>ck＋1，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立．
由①，②知數(shù)列{cn}是單調(diào)遞增數(shù)列．
2022年高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理(IV)
