2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次模擬考試試題 理（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次模擬考試試題 理（含解析）新人教A版 【試卷綜述】全面覆蓋了中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的知識(shí)模塊，試卷突出了學(xué)科的主干內(nèi)容，集合與函數(shù)、不等式、數(shù)列、概率統(tǒng)計(jì)、立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等重點(diǎn)內(nèi)容在試卷中占有較高的比例，也達(dá)到了必要的考查深度．注重了能力的考查，特別是運(yùn)算能力，邏輯思維能力和空間想象能力的強(qiáng)調(diào)比較突出．至于實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)方面也在努力體現(xiàn). 一．選擇題（本題共十二小題，每題5分，共60分） 【題文】1.集合則等于（ ）

2、 【知識(shí)點(diǎn)】集合.A1 【答案】【解析】B 解析：因?yàn)樗谡_選項(xiàng)為B. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)集合的概念可知兩個(gè)集合的交集，注意自變量的取值. 【典例剖析】集合問題關(guān)鍵要注意代表元素的取值范圍. 【題文】2.若,其中則（ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的概念.L4 【答案】【解析】C 解析：根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，可知實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等所以，所以 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求出實(shí)部與虛部，再求出復(fù)數(shù)的模. 【題文】3.若，則有（ ） A. B. C.

3、D. 【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)對(duì)數(shù)的概念.B6,B7 【答案】【解析】A 解析：由函數(shù)的性質(zhì)可知，A為正確選項(xiàng). 【思路點(diǎn)撥】比較大小問題主要根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行比較，找出中間介量也是關(guān)鍵. 【題文】4.雙曲線的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于（ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的概念.H6 【答案】【解析】C 解析：由題意可知雙曲線的頂點(diǎn)為，漸近線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式. 【思路點(diǎn)撥】由雙曲線的概念可知漸近線方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求出結(jié)果. 【題文】5.若某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的B等于（ ）

4、 A． B． C． D. 63 【知識(shí)點(diǎn)】程序框圖.L1 【答案】【解析】D 解析：程序在運(yùn)行過(guò)程中各變量的值如下表示： ??????A???B? 是否繼續(xù)循環(huán) 循環(huán)前???1??? 1/ 第一圈?? 2?? 3??????? 是 第二圈???3? ?7??????? 是 第三圈???4???15????????是 第四圈???5???31????????是 第三圈???6???63????????否 則輸出的結(jié)果為63． 故答案為：63． 【思路點(diǎn)撥】分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)計(jì)算B

5、值并輸出，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，即可得到答案. 【題文】6.已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于（ ） A.1 B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖.G2 【答案】【解析】C 解析：水平放置的正方體，當(dāng)正視圖為正方形時(shí)，其面積最小為1；當(dāng)正視圖為對(duì)角面時(shí)，其面積最大為 因此滿足棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積的范圍為 因此可知：A，B，D皆有可能，而，故C不可能． 故選C． 【思路點(diǎn)撥】由三視圖可知原圖的數(shù)據(jù)，再根據(jù)面積的取值找出正確結(jié)果.

6、【題文】7., ,則的周長(zhǎng)等于（ ） B.14 C. D.18 【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理，余弦定理.C8 【答案】【解析】A解析：在△ABC中，角A=60°，∵5sinB=3sinC，故由正弦定理可得 5b=3c， 再由可得 bc=15，∴b=3，c=5． 再由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bc?cosA=19， 故三角形的周長(zhǎng)a+b+c=， 故答案為：． 【思路點(diǎn)撥】由條件利用正弦定理可得5b=3c，再由，求得bc，從而求得b和c的值．再由余弦定理求得a，從而得到三角形的周長(zhǎng)．. 【題文】8.從6名學(xué)生中選3名分別擔(dān)任數(shù)

7、學(xué)、物理、化學(xué)科代表，若甲、乙2人至少有一人入選，則不同的選法有（ ） A.40種 B.60種 C.96種 D.120種 【知識(shí)點(diǎn)】排列組合.J2 【答案】【解析】C 解析：從6名學(xué)生中選3名分別擔(dān)任數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)科代表，沒有限制條件是由=120種， 甲、乙都沒入選相當(dāng)于從4人中選3人，有=24， 故甲、乙2人至少有一人入選，則不同的方法有120-24=96． 故選：C． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)排列組合的方法分別求出種數(shù)，注意排列數(shù)的計(jì)算. 【題文】9.設(shè)函數(shù)的最小正周期為，且則（ ） B

8、. D. 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的圖像.C3 【答案】【解析】D解析：由題意可知函數(shù)可化為又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，所以，所以D為正確選項(xiàng). 【思路點(diǎn)撥】由三角函數(shù)的性質(zhì)可知正確選項(xiàng). 【題文】10.已知直線，且(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A.2 B. C.2或-2 D. 【知識(shí)點(diǎn)】向量的運(yùn)算.F2 【答案】【解析】C 解析：以，為鄰邊作平行四邊形，則所以平行四邊形為距形，又，所以四邊形為正方形，∵a＞0，∴直線x+y=a經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2）， ∴a=2． 故答案為：2 【思路

9、點(diǎn)撥】以O(shè)A、OB為鄰邊作，由已知得為正方形，由此能求出a=2. 【題文】11.已知數(shù)列滿足則該數(shù)列的前18項(xiàng)和為（ ） A.2101 B.1067 C.1012 D.xx 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的求和.D4 【答案】【解析】B解析：∵數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2）an+sin2， ∴∴a3=（1+cos2）a1+sin2=a1+1=2， a4=（1+cos2π）a2+sin2π=2a2=4． 一般地，當(dāng)n=2k﹣1（k∈N*）時(shí)， a2k+1=[1+cos2]a2k﹣1+sin2=a2k﹣1+1，

10、 即a2k+1﹣a2k﹣1=1． ∴數(shù)列{a2k﹣1}是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列， ∴a2k﹣1=k． 當(dāng)n=2k（k∈N*）時(shí)，a2k+2=（1+cos2）a2k+sin2=2a2k． ∴數(shù)列{a2k}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列， ∴a2k=2k． ∴數(shù)列的前18項(xiàng)的和為1+2+2+4+3+8+4+16+5+32+6+64+7+128+8+256+9+512=1067． 故選：D． 【思路點(diǎn)撥】由已知條件推導(dǎo)出數(shù)列{a2k﹣1}是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列{a2k}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列的前18項(xiàng)的和．. 【題文】12.已知函數(shù)的定

11、義域的圖象如圖所示,若正數(shù)則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】線性規(guī)劃.E5 【答案】【解析】A 解析：如圖所示：f′（x）≥0在[-3，+∞）上恒成立 ∴函數(shù)f（x）在[-3，0）是減函數(shù)，（0，+∞）上是增函數(shù)， 又∵f（2a+b）＜2=f（6） ∴ 畫出平面區(qū)域 令表示過(guò)定點(diǎn)（2，-3）的直線的斜率 如圖所示：故選A 【思路點(diǎn)撥】由題意可利用數(shù)形結(jié)合的方法求出范圍，再根據(jù)所求值的幾何意義求出結(jié)果. 【典例剖析】線性規(guī)劃問題要注意數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，同時(shí)要注意幾何意義. 【題文】二．填空題（本小題共四小題，每題5分，共

12、20分） 【題文】13.在等差數(shù)列_________. 【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列.D2 【答案】【解析】156 解析：由題意可知，又因?yàn)? 【思路點(diǎn)撥】本題由等差數(shù)列的性質(zhì)可求出數(shù)列的各項(xiàng)和. 【題文】14.若的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為20，則的最小值為__________. 【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.J3 【答案】【解析】2 解析：的展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為20， 所以， 令12-3r=3，∴r=3，∴ab=1，a2+b2≥2ab=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)．a(chǎn)2+b2的最小值為：2． 故答案為：2． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)特定項(xiàng)的求法可求出a,b的值，再由基本不等式求出結(jié)果. 【題文】1

13、5.正四面體ABCD的外接球的體積為，則正四面體ABCD的體積是_____. 【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的體積.G2 【答案】【解析】 解析：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為x，則底面三角形的高為，即有，棱錐的高為，由于外接球的體積為，在直角三角形得，則正四面體的體積為所以答案為 【思路點(diǎn)撥】由幾何體的體積公式可求出其體積. 【題文】16.定義域是一切實(shí)數(shù)的函數(shù)，其圖像是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則稱是一個(gè)“的相關(guān)函數(shù)”。有下列關(guān)于“的相關(guān)函數(shù)”的結(jié)論：（1）是常值函數(shù)中唯一一個(gè)“的相關(guān)函數(shù)”; (2)是一個(gè)“的相關(guān)函數(shù)”；（3）“的相關(guān)函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)。其中結(jié)論正確的是______

14、____. 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì).B1 【答案】【解析】(3) 解析：①∵f（x）=0是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，則0+λ?0=0，λ可以取遍實(shí)數(shù)集，因此f（x）=0不是常數(shù)函數(shù)中唯一一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，故①不正確； ②用反證法，假設(shè)f（x）=x2是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，則（x+λ）2+λx2=0， 即（1+λ）x2+2λx+λ2=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立， ∴λ+1=2λ=λ2=0，而此式無(wú)解， ∴f（x）=x2不是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，故②不正確； ③令x=0得：若f（0）=0，顯然f（x）=0有實(shí)數(shù)根； 若又因?yàn)閒（x）的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，∴f（x）在上必有實(shí)數(shù)根．因此任意的

15、相關(guān)函數(shù)”必有根，即任意的相關(guān)函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)，故③正確．綜上所述，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是1個(gè)． 故選：A． 【思路點(diǎn)撥】由函數(shù)的性質(zhì)可分析每一種說(shuō)法的正誤情況，最后做出判斷. 【題文】三．解答題（本題共五小題，每題12分，共60分） 【題文】17.已知函數(shù) （1）設(shè) （2）在 求的值。 【知識(shí)點(diǎn)】解三角形；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用.C7,C8 【答案】【解析】(1) (2) 解析：(1)由已知，由得，于是 （2）由f（C）=+1得f（C）=2cos=+1 sinC﹣cosC=﹣1 …2分 sin（C﹣

16、）=﹣ …4分 所以C﹣=﹣，C= 又因?yàn)榈拿娣e為，所以可得，由余弦定理得，所以由正弦定理得 【思路點(diǎn)撥】利用已知條件f（C）=+1，函數(shù)f（x）=2cos，通過(guò)兩角差的正弦函數(shù)，求出C的三角函數(shù)，求出C的值．. 【題文】18.某市準(zhǔn)備從7名報(bào)名者（其中男4人，女3人）中選3人參加三個(gè)副局長(zhǎng)職務(wù)競(jìng)選. （1）設(shè)所選3人中女副局長(zhǎng)人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望； （2）若選派三個(gè)副局長(zhǎng)依次到A,B,C三個(gè)局上任，求A局是男副局長(zhǎng)的情況下，B局是女副局長(zhǎng)的概率。 【知識(shí)點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的

17、期望與方差；等可能事件的概率.K6,K7 【答案】【解析】(1)略(2) 解析：（1）X的所有可能取值為0，1，2，3． 依題意得P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）== ∴X的分布列為： ∴EX=0×+1×+2×+3×=． （2）設(shè)事件M=“A局是男副局長(zhǎng)”，N=“B局是女副局長(zhǎng)”，則P（N|M）===． 【思路點(diǎn)撥】（1）確定X的所有可能取值，求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX； （2）設(shè)事件M=“A局是男副局長(zhǎng)”，N=“B局是女副局長(zhǎng)”，利用P（N|M）=，即可求出A局是男副局長(zhǎng)的情況下，B局為女副局長(zhǎng)的概率．. 【題文】19.在四

18、棱錐中，底面是矩形，平面，，. 以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)，交于點(diǎn). （1）求證：平面⊥平面； （2）求直線與平面所成的角的正弦值； （3）求點(diǎn)到平面的距離. 【知識(shí)點(diǎn)】面面垂直，直線與平面所成的角，點(diǎn)到平面的距離.G5,G11,H2 【答案】【解析】(1)略(2) (3) 解析：（1）依題設(shè)知，AC是所作球面的直徑，則AM⊥MC。 又因?yàn)镻 A⊥平面ABCD，則PA⊥CD，又CD⊥AD， 所以CD⊥平面ＰＡＤ，則CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD， 所以平面ABM⊥平面PCD。 （2）由（1）知，，又，則是的中點(diǎn)可得 ， 則 設(shè)D到平面ACM的距離為，由即，

19、 可求得， 設(shè)所求角為，則。 可求得PC=6。因?yàn)锳N⊥NC，由，得PN。所以。 故N點(diǎn)到平面ACM的距離等于P點(diǎn)到平面ACM距離的。 又因?yàn)镸是PD的中點(diǎn)，則P、D到平面ACM的距離相等，由（2）可知所求距離為. 【思路點(diǎn)撥】由已知條件可判定面面垂直，再由等體積法求出距離，再按比例關(guān)系求出點(diǎn)到平面的距離. 【題文】20.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：的上頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，離心率為。 求的值， 設(shè)P是橢圓C長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作斜率為1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，求面積的最大值。 【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題.H8 【答案】【解析】(1) a=2，b=1 (2)

20、1 解析：（1）由題設(shè)知a=2，e==， 所以c=，故b2=4﹣3=1． 因此，a=2，b=1．…（2分） （2）（i）由（1）可得，橢圓C的方程為 +y2=1． 設(shè)點(diǎn)P（m，0）（﹣2≤m≤2），點(diǎn)A（x1，y1），點(diǎn)B（x2，y2）． 若k=1，則直線l的方程為y=x﹣m． 聯(lián)立直線l與橢圓C的方程， 即．將y消去，化簡(jiǎn)得x2﹣2mx+m2﹣1=0． 解得x1=，x2=， 從而有，x1+x2=，x1?x2=， 而y1=x1﹣m，y2=x2﹣m， 因此，|AB|=== =?， 點(diǎn)O到直線l的距離d=， 所以，S△OAB=×|AB|×d=×|m|， 因此，S2△O

21、AB=（ 5﹣m2）×m2≤?（）2=1． 又﹣2≤m≤2，即m2∈[0，4]． 所以，當(dāng)5﹣m2=m2，即m2=，m=±時(shí)，S△OAB取得最大值1． 【思路點(diǎn)撥】（1）由題設(shè)知a=2，e==，由此能求出a=2，b=1． （2）（i）由（1）得，橢圓C的方程為 +y2=1．設(shè)點(diǎn)P（m，0）（﹣2≤m≤2），點(diǎn)A（x1，y1），點(diǎn)B（x2，y2）．若k=1，則直線l的方程為y=x﹣m．聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，得x2﹣2mx+m2﹣1=0．|AB|=?，點(diǎn)O到直線l的距離d=，由此求出S△OAB取得最大值1． 【題文】21.已知函數(shù) （1）若 （2）若 （3）是比較的大小并

22、證明你的結(jié)論。 【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.B11,B12 【答案】【解析】(1) f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在【1，+∞）上單調(diào)遞增，故當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最小值 f（1），且f（1）=0 (2) 則在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上是單調(diào)遞減的 (3)略 解析：（1）當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=x﹣1﹣lnx f′（x）=1﹣=≥0 ∴f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是遞增的 當(dāng)0＜x＜1時(shí)f（x）=1﹣x﹣lnx f′（x）=﹣1﹣lnx＜0 ∴f（x）在區(qū)間（0，1）上是遞減的 f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在【1，

23、+∞）上單調(diào)遞增，故當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最小值 f（1），且f（1）=0 （2）由(1) 若當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上是單調(diào)遞減的 (3)由（1）x＞1時(shí)，有x﹣1﹣lnx＞0即＜1﹣ ∴1﹣=n﹣1+（）＜n﹣1﹣（）=n﹣1﹣（）=n﹣1﹣（）= 【思路點(diǎn)撥】（1）在不同的區(qū)間內(nèi)分別討論f（x）的單調(diào)區(qū)間及最小值，最后統(tǒng)一答案， （2）利用（1）得到的結(jié)論利用放縮將不等式右邊的化成需要的形式再求題目所問的問題. 四．選做題（請(qǐng)考生在第22-24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分） 【題文】22.（滿分10分）選修4-1：幾何證明講

24、 已知 △ABC 中，AB=AC, D是△ABC外接圓劣弧AC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A,C重合），延長(zhǎng)BD至E. (1) 求證：AD的延長(zhǎng)線平分CDE； (2) 若BAC=30°，ABC中BC邊上的高為2+，求△ABC外接 圓的面積. 【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓.H4 【答案】【解析】(1)略(2) 解析：（Ⅰ） 如圖，設(shè)F為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn) ∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓， ∴∠CDF=∠ABC 又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF, 對(duì)頂角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF, 即AD的延長(zhǎng)線平分∠CDE. (II)設(shè)O為外接圓的

25、圓心，連接AO交BC于H，則，連接OC，由題意，設(shè)圓的半徑為r，則得，外接圓的面積為 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件可證明AD為角平分線，再求出外接圓的半徑進(jìn)而求出面積. 【題文】23.（滿分10分）選修4-4 ：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，M,N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn). (1) 寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M,N的極坐標(biāo)； (2) 設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程. 【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程.N3 【答案】【解析】(1) 所以點(diǎn)M的極坐標(biāo)為,點(diǎn)N的極坐標(biāo)為 (2) MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為 解析：得所以曲線

26、C的直角坐標(biāo)方程為即當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)N的極坐標(biāo)為. (2)由（1）得，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為，點(diǎn)N的直角坐標(biāo)為，MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為 【思路點(diǎn)撥】把極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，再求出坐標(biāo). 【題文】24.（ 滿分10分）選修4-5：不等式選講 設(shè)函數(shù) (1) 若a=-1,解不等式； (2) 如果x R, ，求a 的取值范圍. 【知識(shí)點(diǎn)】不等式.E7 【答案】【解析】(1) (2) 解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， 由≥3得≥3 （?。﹛≤-1時(shí)，不等式化為 1-x-1-x≥3 即-2x≥3 不等式組的解集為 綜上得，的解集為 ……5分 （Ⅱ）若，不滿足題設(shè)條件 若 的最小值為 的最小值為 所以的充要條件是，從而的取值范圍為 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)不等式的意義求出解集，再分情況討論a的取值.