2022年高二數(shù)學(xué)4月月考試題 文(III)

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1、2022年高二數(shù)學(xué)4月月考試題 文(III) 本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘。 一．選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。） 1. 已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.若復(fù)數(shù)z= i（3﹣2i）（i是虛數(shù)單位），則 = （ ） A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i 3.若1

2、+i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則 （ 　　） A． b=—2，c=3 B．b=﹣2，c=2 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1 4.若，則實(shí)數(shù)m的值為（ ） A. 1 B. 0或2 C. 2 D. 0 5.下列說(shuō)法正確的是 （ ） A.類(lèi)比推理是由特殊到一般的推理 B.演繹推理是特殊到一般的推理 C.歸納推理是個(gè)別到一般的推理 D.合情推理可以作為證明的步驟 6.設(shè)f(x)存在導(dǎo)函數(shù)且滿(mǎn)足，則曲線y=f(x)上的

3、點(diǎn)處的切線的斜率為 （ ） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 7. 函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋╝，b），其導(dǎo)函數(shù)在（a，b）內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù) f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 8.函數(shù)f（x）=x3﹣3x2﹣9x+4的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ） A． （﹣3，1） B．（﹣∞，﹣3） C．（﹣1，3） D．（3，+∞） 9.設(shè)曲

4、線y＝在點(diǎn)（3，2）處的切線與直線ax＋y＋3＝0垂直，則a等于（ ） A．2 B. C．— D．－2 10曲線y=x3﹣3x2+1在點(diǎn)（1，﹣1）處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（ ） A． B． C． D． 11.若點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x-2的最小距離為（ ） A． B．1 C． D．2 12.已知函數(shù)，

5、給出下列結(jié)論： ①的單調(diào)遞減區(qū)間； ②當(dāng)時(shí)，直線y=k與y=f(x)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)； ③函數(shù)y=f(x)的圖象與的圖象沒(méi)有公共點(diǎn). 其中正確結(jié)論的序號(hào)是（??? ） A．①③ B．① C．①② D．②③ 第Ⅱ卷（非選擇題：90分） 二．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。） 13.已知復(fù)數(shù) z=（3+i）2（i為虛數(shù)單位），則 |z| = ． 14.函數(shù) f(x)=x﹣lnx 的單調(diào)減區(qū)間為 ． 15.為凈化水質(zhì)，向一個(gè)游泳池加入某種化學(xué)藥品，加藥后池水中該藥品的濃度C（單位：）隨時(shí)間t（單位：h）的變化

6、關(guān)系為，則經(jīng)過(guò)______h后池水中藥品濃度達(dá)到最大. 16若直線l與曲線C滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：（i）直線l在點(diǎn)處與曲線C相切；（ii）曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè)，則稱(chēng)直線l在點(diǎn)P處“切過(guò)”曲線C，下列命題正確的是___ （寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）． ①直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線 ②直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線 ③直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線 ④直線在點(diǎn)入“切過(guò)”曲線 三．解答題（本大題共6小題，共70分） 17．（本小題滿(mǎn)分10分） 計(jì)算：（1） (2) 18.（本小題滿(mǎn)分12分）已知復(fù)數(shù) z=m（m﹣1）+（m2

7、+2m﹣3）i，當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z是：（1）零；（2）純虛數(shù)；（3）z=2+5i；（4）表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限． 19. （本小題滿(mǎn)分12分）在極坐標(biāo)系下，已知圓O：和直線 （1）求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程； （2）當(dāng)時(shí)，求直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)． 20．（本小題12分）為了保護(hù)環(huán)境，某工廠在政府部門(mén)的鼓勵(lì)下，進(jìn)行技術(shù)改進(jìn)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為某種化工產(chǎn)品，經(jīng)測(cè)算，該處理總成本y（萬(wàn)元）與處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：，且每處理一噸二氧化碳可得價(jià)值為20

8、萬(wàn)元的某種化工產(chǎn)品． （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷該技術(shù)改進(jìn)能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不能獲利，則國(guó)家至少需要補(bǔ)貼多少萬(wàn)元，該工廠才不會(huì)虧損？ （Ⅱ）當(dāng)處理量為多少?lài)崟r(shí)，每噸的平均處理成本最少？ 21．（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)． （Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)可作函數(shù)y=f(x)圖象的三條不同切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 22．（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù) （Ⅰ）若函數(shù)f(x)的圖象在x=0處的切線方程為y=2x+b，求a，b的值； （Ⅱ）若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a取值范圍；

9、（Ⅲ）如果函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1，x2，證明： 高二年級(jí)下期4月月考數(shù)學(xué)（文科）答案 一、選擇題： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A B D C A D C D B C A 二、填空題13 10 14 （0,1） 15 2 16 ③④、 17．（1）47-39i （2） 1-38i 18 （1）由可得m=1；（3分） （2）由可得m=0；（6分） （3）由可得m=2；（9分） （4）由題意，解得即﹣3＜m＜0（12分） 19.

10、 20 21.(1)當(dāng)a=3時(shí)，f′（x）=﹣x2+3x﹣2=﹣（x﹣1）（x﹣2）， 當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增； 當(dāng)x＜1或x＞2時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減， 所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，2）， 單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，1）和（2，+∞）； (2)設(shè)點(diǎn)A（t，﹣t3+t2﹣2t）是函數(shù)f（x）圖象上的切點(diǎn)， 則過(guò)點(diǎn)A的切線斜率k=﹣t2+at﹣2， 所以過(guò)點(diǎn)A的切線方程為y+t3﹣t2+2t=（﹣t2+at﹣2）（x﹣t）， 因?yàn)辄c(diǎn)（0，﹣）在該切線上， 所以﹣+t3﹣t2+2t=（﹣t2+at﹣2

11、）（0﹣t）， 即t3﹣at2+=0， 若過(guò)點(diǎn)（0，﹣）可作函數(shù)y=f（x）圖象的三條不同切線， 則方程t3﹣at2+=0三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， 令g（t）=t3﹣at2+=0， 則函數(shù)y=g（t）的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)， g′（t）=2t2﹣at=0，解得t=0或t=， 因?yàn)間（0）=，g（）=﹣a3+， 所以令g（）=﹣a3+＜0，即a＞2， 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，+∞）． 22．解：（Ⅰ）∵f（x）=ex﹣x2﹣ax，∴f′（x）=ex﹣x﹣a， ∴根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，切線的斜率k=f'（0）=1﹣a， ∵切線方程為y=2x+b，則k=2，∴1﹣a=2

12、，解得a=﹣1， ∴f（x）=ex﹣x2+x，∴f（0）=1，即切點(diǎn)（0，1）， ∴1=2×0+b，解得b=1； （Ⅱ）由題意f'（x）＞0即ex﹣x﹣a≥0恒成立， ∴a≤ex﹣x恒成立． 設(shè)h（x）=ex﹣x，則h′（x）=ex﹣1． 當(dāng)x變化時(shí)，h′（x）、h（x）的變化情況如下表： x （﹣∞，0） 0 （0，+∞） h′（x） ﹣ 0 + h（x） 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) ∴h（x）min=h（0）=1，∴a≤1； （Ⅲ）∵g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2， ∴g（x）=ex﹣x2﹣ax﹣ax2+x2=ex﹣ax2﹣ax，∴g′（x）=ex﹣2ax﹣a， ∵x1，x2是函數(shù)g（x）的兩個(gè)不同極值點(diǎn)（不妨設(shè)x1＜x2）， ∴ex﹣2ax﹣a=0（*）有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2 當(dāng)時(shí)，方程（*）不成立 則，令，則 由p′（x）=0得： 當(dāng)x變化時(shí)，p（x），p′（x）變化情況如下表： x p（x） ﹣ ﹣ 0 + p′（x） 單調(diào)遞減 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 ∴當(dāng)時(shí)，方程（*）至多有一解，不合題意； 當(dāng)時(shí)，方程（*）若有兩個(gè)解，則 所以，．