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1、2022年高二數學下學期期中試題 理答案
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，時間120分鐘
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.
ADCCD ABABC AB
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在題中的橫線上.
(13) (14) (15)(16)
三、解答題:本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
(17) （本小題滿分10分）函數定義域為，
（1）求函數的單調區(qū)間；
（2）指出函數的極值點并求
2、對應的極值.
解：（1）
得或，解得或
得或，解得或
所以單調增區(qū)間為和；單調減區(qū)間為和…………5分
（2）由（1）可知，極大值點為從而和；極小值點為，從而………………………………………………10分
(18)（本小題滿分12分）
已知為實數．
（1）若，求；
（2）若，求的值．
【答案】解：（1）因為
…………………………………………………………6分
（2）由條件，得，
即，，
，解得……………………………………12分
(19)（本小題滿分12分）已知函數，對于正數，記，如圖，由點構成的矩形的周長為（），都滿足．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)猜想的表達式用表示，并
3、用數學歸納法證明．
【答案】(Ⅰ)解：由題意知，，又因為，所以．令，得，又，且，故．令，得，故；令，得，故；…………………4分
(Ⅱ)解：由上述過程猜想，下面用數學歸納法證明：
①當時，，命題成立；
②假設時命題成立，即，
則當時，，又，故，由，代入得，．即當時命題成立．綜上所述，對任意自然數n，都有成立．………………………………………………………………………………12分
(20) （本小題滿分12分）已知函數，其中，是自然對數的底數．
(Ⅰ)若，求在處切線的方程；
(Ⅱ)若對任意均有兩個極值點，一個在區(qū)間內，另一個在區(qū)間外，求的取值范圍．
【答案】解：（1），
4、又切線方程為 ……………………………………4分
（2），
設，它的圖象是開口向下的拋物線，由題意對任意有兩個不等實數根，且，，則對任意，即，有，
又任意關于遞增，，故，所以…………12分
(21) （本小題滿分12分）已知函數，．
(Ⅰ) 討論函數在區(qū)間上零點的個數；
(Ⅱ) 設,當時，試用反證法證明：與中至少有一個大于0．
解（1）由題可得，令．設，令，得；令，得．故在上遞減，在上遞增．
．
當或時，無零點．
當或時，有1個零點；
當時，有2個零點．…………………………6分
（2）（反證法）假設都不大于0，即
又
設，，所以
，
所以，因為不能同時取到最小值，從而，與矛盾。所以假設不成立，所以，在與中至少有一個大于0．……………………12分
(22)（本小題滿分12分） 已知函數.
（1）若函數在定義域內不單調，求的取值范圍；
（2）若對，恒有成立，求實數的最大值.
解：（1）
，只要的最小值為負即可，從而
.
由基本不等式，從而…………………………4分
（2）由題意問題等價于恒成立，所以必有，從而解得.
從而當時，；時，.
令，，所以問題轉化為：當時恒成立；當時恒成立.
由，設，，
當時當時，.
因為恒成立，所以，解得；
同理可得，當時，也成立。所以實數的最大值為2……………………12分
2022年高二數學下學期期中試題 理答案
