2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理(I)

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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理(I) 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），共4頁(yè)，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘． 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．請(qǐng)將答案填寫在答題卷上的相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)． 1. 若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，，則為（ ） A． B． C． D． 3. 下列敘述中正確的是（ ） A.

2、若，則“ax2+bx+c≥0”的充分條件是“” B. 若，則“”的充要條件是“” C. 命題“對(duì)任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0” D．是一條直線，是兩個(gè)不同的平面，若，則 4. 一個(gè)樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個(gè)公差不為0的等差數(shù)列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比數(shù)列，則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（ ） A．13，12 B．12，13 C．13，13 D．13，14 5. 已知一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，被一個(gè)平面截后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該截面的面積為（ ） A. B

3、. 3 C. D. 6. 已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是△的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P一定為三角形ABC的（ ） A.AB邊中線的中點(diǎn) B. AB邊的中點(diǎn) 第5題圖 C.重心 D. AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心) 7. 已知函數(shù)且， 若 則（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 8. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入A的值為2.5，則輸出的P值 為（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 第8題圖 9. 設(shè)實(shí)數(shù)

4、滿足不等式組，若為整數(shù)，則 的最小值為（ ） A．13 B．14 C．16 D．17 10. 已知的三邊長(zhǎng)成公差為的等差數(shù)列，且最大角的正弦值為，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（ ） A． B． C． D． 11. 以O(shè)為中心，F(xiàn)1，F(xiàn)2為兩個(gè)焦點(diǎn)的橢圓上存在一點(diǎn)M，滿足，則該橢圓的離心率為(　　) A.　　　 B. C. D. 12. 設(shè)函數(shù), 若關(guān)于x的方程有四個(gè)不同的解 , 且, 則的取值范圍是 (　　) A． B． C．

5、 D． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。 第13題圖 13. 圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8 cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒(méi)最上面的球(如圖所示)， 則球的半徑是________ cm. 14. 若直線x＋ay－1＝0與2x－4y＋3＝0垂直，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式中x的系數(shù)為_(kāi)_______. 15. 設(shè)x，y，z均為正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是________． 16. 若數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，且，則 ____________. 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程

6、或演算步驟.） 17. （本小題滿分12分）已知向量， 函數(shù) (1)求的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)圖像可以由經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到？ (3)求在上的值域。 18. （本小題滿分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面 ABB1A1為矩形，AB＝，AA1＝2，D為AA1的中點(diǎn)， BD與AB1交于點(diǎn)O，CO⊥側(cè)面ABB1A1. (1)證明：CD⊥AB1； 第18題圖 (2)若OC＝OA，求直線C1D與平面ABC所成角的正弦值． 19. （本小題滿分12分）對(duì)某校高一年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出

7、了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下： 分組 頻數(shù) 頻率 [10，15) 10 0.25 [15，20) 25 n [20，25) m p [25，30) 2 0.05 合計(jì) M 1 第19題圖 (1)求出表中M、p及圖中a的值； (2)試估計(jì)他們參加社區(qū)服務(wù)的平均次數(shù)； (3)在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，求至少1人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[20，25)內(nèi)的概率． 20. （本小題滿分12分） 設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在橢圓上且異于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (

8、1)若直線AP與BP的斜率之積為，求橢圓的離心率； (2)若|AP|＝|OA|，證明直線OP的斜率k滿足|k|＞. 21. （本小題滿分12分）已知函數(shù) (a為常數(shù)) （Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性; （Ⅱ）若對(duì)任意的，都存在使得不等式 成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. E D C B A 請(qǐng)考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答 ⌒ 22. （本小題滿分10分） 如圖，在△ABC中,AB=AC,D是 △ABC外接圓(圓心為O)的劣弧上的點(diǎn) (不與點(diǎn)A,C重合），延長(zhǎng)BD至E.

9、 (1)求證：AD的延長(zhǎng)線平分∠CDE (2)若∠BAC=30,△ABC中BC邊上的高為2+, 第22題圖 求△ABC外接圓的面積. 23. （本小題滿分10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝0， 曲線C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))． (1)已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2,)，判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系； (2)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值． 24. （本小題滿分10分）已知函數(shù). (1)當(dāng)時(shí)，解不等式； (2)

10、若, 且當(dāng)時(shí)，不等式有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. xx屆高三年級(jí)上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試卷 數(shù)學(xué)試題(理科)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 一、選擇題： DBDCC DABCA BD 二、填空題： 13. 4 14. 15. 8 16. 三、解答題 17. 【解】(1)f(x)＝sin＋2cos2x－1 ＝sin2x－cos2x＋cos2x ＝sin2x＋cos2x ＝sin． (3分) 令， 得， 縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 向左平移個(gè)單位

11、即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ． (6分) (2)由 (9分) (3)因?yàn)?，所以，? ∴值域?yàn)? (12分) 18. 解：(1)證明：由題意可知，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝，在Rt△ABB1中， tan∠AB1B＝＝. 又因?yàn)?<∠ABD，∠AB1B，所以∠ABD＝∠AB1B， 所以∠ABD＋∠BAB1＝∠AB1B＋

12、∠BAB1＝， 所以AB1⊥BD. 又CO⊥側(cè)面ABB1A1，且AB1?側(cè)面ABB1A1，∴AB1⊥CO. 又BD與CO交于點(diǎn)O，所以AB1⊥平面CBD. 又因?yàn)锽C?平面CBD，所以BC⊥AB1. (6分) (2)如圖所示，分別以O(shè)D，OB1，OC所在的直線為x軸，y軸，z軸，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系， 則A(0，－，0)，B（－，0，0），C（0，0，）， B1（0，，0），D（，0，0）. 又因?yàn)椋?，所以C1（，，）. 所以＝（－，，0），＝（0，，），＝（，，）。 設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)， 則由得 令y＝，則z

13、＝－，x＝1， 故n＝(1，，－)是平面ABC的一個(gè)法向量． 設(shè)直線C1D與平面ABC所成的角為α， 則sin α＝＝. (12分) 19. 【解】(1)由題可知＝0.25，＝n，＝p，＝0.05. 又10＋25＋m＋2＝M， 解得M＝40，n＝0.625，m＝3，p＝0.075. 則[15，20)組的頻率與組距之比a為0.125. (4分) (2)參加社區(qū)服務(wù)的平均次數(shù)為： 次 (8分) (3)在樣本中，處于[20，25)內(nèi)的人數(shù)為3，可分別記為A，B，C，處于[25，30]內(nèi)的人數(shù)為2，可分別記為a，b.從該5名學(xué)生中取出2

14、人的取法有(A，a)，(A，b)， (B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，(a，b)，共10種；至少1人在[20，25)內(nèi)的情況有共9種，所以至少1人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[20，25)內(nèi)的概率為. (12分) 20.解：(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)． 由題意，有＋＝1.① 由A(－a，0)，B(a，0)，得kAP＝，kBP＝. 由kAP·kBP＝，可得x＝a2－4y， 代入①并整理得(a2－4b2)y＝0. 由于y0≠0，故a2＝4b2， 于是e2＝＝， 所以橢圓的離心率 (6分) (2)證

15、明：依題意，直線OP的方程為y＝kx，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)． 由條件得 消去y0并整理得x＝.② 由|AP|＝|OA|，A(－a，0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2. 整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.而x0≠0，于是x0＝， 代入②，整理得(1＋k2)2＝4k2＋4. 由a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即k2＋1>4， 因此k2>3，所以|k|>. (12分) 21.解:(Ⅰ)== (x＞0), 設(shè) ①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?x＞0, 所以＞1＞0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增 ②當(dāng)時(shí)，因

16、為△，所以≥0，函數(shù)在（0，+∞） 上單調(diào)遞增 ③當(dāng)a＞時(shí), 由解得x∈(), 所以函數(shù)在()上單調(diào)遞減, (0,),(,+∞) 上單調(diào)遞增. (6分) （Ⅱ）由(Ⅰ)可知當(dāng)a∈（1，）時(shí)，函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增, 所以當(dāng)x∈（0,1] 時(shí), 函數(shù)的最大值是=2-2a, 對(duì)任意a∈（1，），都存在x∈(0,1)使得不等式+ln a＞m(a - a )成立， 等價(jià)于對(duì)任意a∈（1，），不等式都成立, 即對(duì)任意a∈

17、（1，），不等式都成立, 記，則 (a)=+2ma-(m+2)= 因?yàn)閍∈（1，）, 所以2 a -1＞0 當(dāng)m≥1時(shí), 對(duì)任意a∈（1，）,ma-1＞0, 所以( a) ＞0, 即h(a) 在（1，）上單調(diào)遞增, h(a) ＞h(1)=0成立,; 當(dāng)m＜1時(shí), 存在a∈（1，）, 使得當(dāng)a∈（1，a）時(shí), ma-1＜0, (a) ＜0, h(a) 單調(diào)遞減, h(a) ＜h(1)=0, 所以h(a) ＞0不恒成立， 綜上所述，實(shí)數(shù)m的取

18、值范圍是[1, +∞). (12分) H F E D C B A O 22. 解:(1) 如圖,設(shè)F為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn), ∵A,B,C,D四點(diǎn)共圓,∴∠CDE=∠ABC,AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDE, 又∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF, 即AD的延長(zhǎng)線平分∠CDE (5分) (2)連接AO并延長(zhǎng)BC交于點(diǎn)H,則AH⊥BC,連接OC, 由題意得∠OAC=∠OCA=15,∠ACB=75,

19、 ∴∠OCH=60, 設(shè)△ABC外接圓的半徑為r，則r+r=2+,解得r=2 ∴△ABC外接圓的面積為4. (10分) 23. 解(1)把極坐標(biāo)系下的點(diǎn)P(2,)化為直角坐標(biāo)，得P(-2, 2)．因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)(-2，2)滿足直線l的方程x－y＋4＝0，所以點(diǎn)P在直線l上． (5分) (2)因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上，故可設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(cos α，sin α)， 從而點(diǎn)Q到直線l的距離為d＝＝ ＝， 由此得，當(dāng)cos＝－1時(shí)，d取得最小值，且最小值為. (10分) 24. 解; (1) 當(dāng)a=－2時(shí), =︱x-1︱+︱x-2︱= (2分) 于是＜g(x)等價(jià)于或 或 ＜g(x)解集為{x︱0＜x＜4} (6分) (2) 因?yàn)閍＞-1, x∈[-a,1]，則=1-x+x+a=a+1, 不等式=a+1≤g(x)有解等價(jià)于 a+1 ≤（x+3）=，所以＜a≤, 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍(, ]. (10分)