數(shù)學(xué)第一部分 方法、思想解讀 第2講 函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想（2） 理

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1、二、數(shù)形結(jié)合思想二、數(shù)形結(jié)合思想-2-數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧,在高考試題中,數(shù)形結(jié)合思想主要用于解選擇題和填空題,有直觀、簡單、快捷等特點(diǎn);而在解答題中,考慮到推理論證的嚴(yán)密性,圖形只是輔助手段,最終要用“數(shù)”寫出完整的解答過程.-3-4-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四應(yīng)用一應(yīng)用一利用數(shù)形結(jié)合求與方程根有關(guān)的問題利用數(shù)形結(jié)合求與方程根有關(guān)的問題 例1若實(shí)數(shù)a滿足a+lg a=4,實(shí)數(shù)b滿足b+10b=4,函數(shù)f(x)= 則關(guān)于x的方程f(x)=x的根的個(gè)數(shù)是( C )A.1B.2C.3D.4-5-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四解析:在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y=10 x,y=l

2、g x以及y=4-x的圖象,其中y=10 x,y=lg x的圖象關(guān)于直線y=x對稱,直線y=x與y=4-x的交點(diǎn)為(2,2),所以a+b=4,f(x)= 當(dāng)x0時(shí),由x2+4x+2=x易知x=-1或-2;當(dāng)x0時(shí),易知x=2,所以方程f(x)=x的根的個(gè)數(shù)是3.-6-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四思維升華討論方程的解(或函數(shù)的零點(diǎn))的個(gè)數(shù)一般可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),轉(zhuǎn)化為討論兩曲線(或曲線與直線等)的交點(diǎn)個(gè)數(shù),其基本步驟是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式(不熟悉時(shí),需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)),再在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解(或函數(shù)零點(diǎn))的個(gè)數(shù).-

3、7-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四突破訓(xùn)練突破訓(xùn)練1(2017山東濰坊一模,理10)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(2-x),當(dāng)x0,2時(shí),f(x)=-4x2+8x.若在區(qū)間a,b上,存在m(m3)個(gè)不同整數(shù)xi(i=1,2,m),滿足 72,則b-a的最小值為( D )A.15 B.16C.17 D.18-8-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四解析:由題意得f(x+2+2)=f(2-x-2)=f(-x)=-f(x),即f(x+4)=-f(x),則f(x+8)=-f(x+4)=f(x).f(x)的周期為8,函數(shù)f(x)的圖形如下.f(-1)=-4,f(0)=0,f(1)=4,f(2)=0,f(

4、3)=4,f(4)=0,|f(-1)-f(0)|=4,|f(0)-f(1)|=4,|f(1)-f(2)|=4,|f(2)-f(3)|=4,由 =18,則b-a的最小值為18,故選D.-9-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四應(yīng)用二應(yīng)用二利用數(shù)形結(jié)合求參數(shù)范圍及解不等式利用數(shù)形結(jié)合求參數(shù)范圍及解不等式 例2已知函數(shù)f(x)= 若存在實(shí)數(shù)k使得函數(shù)f(x)的值域是0,2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( B )-10-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四解析: 先作出函數(shù)f(x)=log2(1-x)+1,-1x1時(shí),f(x)0;當(dāng)-1x1時(shí),f(x)0,則x的取值范圍是(-1,3). 解析: 作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示,因

5、為f(x-1)0,所以-2x-12,解得-1x3.則x的取值范圍為(-1,3).-13-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四應(yīng)用三應(yīng)用三數(shù)形結(jié)合在兩函數(shù)圖象交點(diǎn)上的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合在兩函數(shù)圖象交點(diǎn)上的應(yīng)用 例3(2017湖南衡陽三次聯(lián)考,理12)函數(shù)f(x)=2sin(x)- ,x-2,4的所有零點(diǎn)之和為( D )A.2B.4C.6D.8所以1-x1+1-x2+1-x8=0,故x1+x2+x8=8.-14-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四思維升華零點(diǎn)問題可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題.因?yàn)閮珊瘮?shù)的具體的交點(diǎn)無法求出,所以在求其交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和或縱坐標(biāo)之和或者交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之和時(shí),常利用數(shù)形結(jié)合思想,根據(jù)兩函數(shù)圖象的對稱性求其

6、和.(法二)分別畫出函數(shù)y= 的圖象與函數(shù)y=2sin x(-2x4)的圖象,由圖象可知,兩個(gè)圖象共有8個(gè)交點(diǎn),從左到右依次為(x1,y1),(x2,y2),(x8,y8),且均關(guān)于(1,0)成中心對稱,x1+x8=2,x2+x7=2,x3+x6=2,x4+x5=2,-15-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四突破訓(xùn)練突破訓(xùn)練3(2017北京東城區(qū)二模,理14)已知函數(shù) 若關(guān)于x的方程f(x+T)=f(x)有且僅有3個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)T的取值范圍是(-4,-2)(2,4).-16-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四解析:化簡函數(shù)f(x)的表達(dá)式, 作出f(x)的圖象如圖所示.關(guān)于x的方程f(x+T)=f(x)有且

7、僅有3個(gè)不同的實(shí)根,將f(x)的圖象向左或向右平移|T|個(gè)單位長度后與原圖象有3個(gè)交點(diǎn),2|T|4,即-4T-2或2T0).若圓C上存在點(diǎn)P,使得APB=90,則實(shí)數(shù)m的最大值為( B )A.7B.6C.5D.4解析: 根據(jù)題意,則圓心C的坐標(biāo)為(3,4),半徑r=1,且|AB|=2m.因?yàn)锳PB=90,連接OP,易知|OP|= |AB|=m.要求m的最大值,即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離.因?yàn)閨OC|= =5,所以|OP|max=|OC|+r=6,即m的最大值為6(圖略).-18-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四思維升華1.如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著明顯的幾何特征,那么就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想

8、方法來解題,即所謂的幾何法求解,比較常見的有:(2) 表示兩點(diǎn)(a,b),(m,n)(或(b,a),(n,m)之間的距離.-19-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四突破訓(xùn)練突破訓(xùn)練4如圖,過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則拋物線的方程為( D )-20-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四解析:由題意,過點(diǎn)A,B分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足為A,B,如圖所示.根據(jù)拋物線定義得|BB|=|BF|,又|BC|=2|BF|=2|BB|,則BCB=30,即AFx=60,所以直線AB的斜率為k=tanAFx= .-21-方程思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在四個(gè)方面:(1)解方程或解不等式;(2)含參數(shù)的方程或不等式的討論,常涉及一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識(shí)的應(yīng)用;(3)需要轉(zhuǎn)化為方程的討論,如曲線的位置關(guān)系等;(4)構(gòu)造方程或不等式求解問題.