2018版高中數(shù)學 第二章 平面解析幾何初步 習題課 直線與方程學案 蘇教版必修2

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1、 第二章 平面解析幾何初步 學習目標　1.掌握與直線有關(guān)的對稱問題.2.通過解決最值問題體會數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化化歸思想的應(yīng)用. 知識點一　對稱問題 1.點關(guān)于直線對稱 設(shè)點P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)，若點P關(guān)于l的對稱點為點Q(x，y)，則l是線段PQ的垂直平分線，故PQ⊥l且PQ的中點在l上，解方程組 即可得點Q的坐標. 常用的結(jié)論 (1)A(a，b)關(guān)于x軸的對稱點為A′(a，－b). (2)B(a，b)關(guān)于y軸的對稱點為B′(－a，b). (3)C(a，b)關(guān)于原點的對稱點為C′(－a，－b). (4)D(a，b)關(guān)于直線y

2、＝x的對稱點為D′(b，a). (5)E(a，b)關(guān)于直線y＝－x的對稱點為E′(－b，－a). (6)P(a，b)關(guān)于直線x＝m的對稱點為P′(2m－a，b). (7)Q(a，b)關(guān)于直線y＝n的對稱點為Q′(a,2n－b). 2.直線關(guān)于點對稱 已知直線l的方程為Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和點P(x0，y0)，求l關(guān)于點P的對稱直線l′的方程.設(shè)P′(x′，y′)是對稱直線l′上的任意一點，它關(guān)于點P(x0，y0)的對稱點(2x0－x′，2y0－y′)在直線l上，則A(2x0－x′)＋B(2y0－y′)＋C＝0，即Ax′＋By′＋C′＝0為所求的對稱直線l′的方程.

3、3.直線關(guān)于直線對稱 一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線對稱的問題.在已知直線上任取一點，求此點關(guān)于對稱軸的對稱點，對稱點必在對稱直線上. 常用的結(jié)論 設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0，則： (1)l關(guān)于x軸對稱的直線是Ax＋B(－y)＋C＝0. (2)l關(guān)于y軸對稱的直線是A(－x)＋By＋C＝0. (3)l關(guān)于原點對稱的直線是A(－x)＋B(－y)＋C＝0. (4)l關(guān)于直線y＝x對稱的直線是Bx＋Ay＋C＝0. (5)l關(guān)于直線y＝－x對稱的直線是A(－y)＋B(－x)＋C＝0. 知識點二　最值問題 1.利用對稱轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離問題. 2.利用所求式子的幾何意義轉(zhuǎn)化為點到直線的距

4、離. 3.利用距離公式將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，通過配方求最值. 類型一　對稱問題 命題角度1　關(guān)于點對稱問題 例1　(1)求點P(x0，y0)關(guān)于點A(a，b)的對稱點P′的坐標； (2)求直線3x－y－4＝0關(guān)于點(2，－1)的對稱直線l的方程. 反思與感悟　(1)點關(guān)于點的對稱問題 若兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于點P(x0，y0)對稱，則點P是線段AB的中點，并且 (2)直線關(guān)于點的對稱問題 若兩條直線l1，l2關(guān)于點P對稱，則①l1上任意一點關(guān)于點P的對稱點必在l2上，反過來，l2上任意一點關(guān)于點P的對稱點必在l1上.②若l1∥l2，則

5、點P到直線l1，l2的距離相等.③過點P作一直線與l1，l2分別交于A，B兩點，則點P是線段AB的中點. 跟蹤訓(xùn)練1　已知點A(x,5)關(guān)于點(1，y)的對稱點為(－2，－3)，則點P(x，y)到原點的距離是________. 命題角度2　關(guān)于直線對稱問題 例2　點P(－3,4)關(guān)于直線x＋y－2＝0的對稱點Q的坐標是__________. 反思與感悟　(1)點關(guān)于直線的對稱問題 求點P(x0，y0)關(guān)于Ax＋By＋C＝0的對稱點P′(x，y)時，利用可以求出點P′的坐標. (2)直線關(guān)于直線的對稱問題 若兩條直線l1，l2關(guān)于直線l對稱，則①l1上任意一點關(guān)于直線l的對稱點必在

6、l2上，反過來，l2上任意一點關(guān)于直線l的對稱點必在l1上.②過直線l上的一點P且垂直于直線l作一直線與l1，l2分別交于點A，B，則點P是線段AB的中點. 跟蹤訓(xùn)練2　求直線x－2y－1＝0關(guān)于直線x＋y－1＝0對稱的直線l的方程. 　 　 類型二　最值問題 例3　在直線y＝x＋2上求一點P，使得點P到直線l1：3x－4y＋8＝0和直線l2：3x－y－1＝0的距離的平方和最小. 　 　 　 　 反思與感悟　解決此類問題通常有兩種途徑：一是利用所求式子的幾何意義轉(zhuǎn)化為點到直線的距離；二是利用距離公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題. 跟蹤訓(xùn)練3　已知實數(shù)x，y滿足

7、6x＋8y－1＝0，則 的最小值為________. 類型三　對稱與最值的綜合應(yīng)用 例4　在直線l：3x－y－1＝0上求一點P，使得： (1)點P到點A(4,1)和點B(0,4)的距離之差最大； (2)點P到點A(4,1)和點C(3,4)的距離之和最小. 　 　 　 反思與感悟　利用對稱轉(zhuǎn)化為兩點間的距離是求解最值的一種常用方法. 跟蹤訓(xùn)練4　已知直線l：x－2y＋8＝0和兩點A(2,0)，B(－2，－4). (1)在直線l上求一點P，使PA＋PB最??； (2)在直線l上求一點P，使|PB－PA|最大. 　 　 1.過點A(1,2)且與原點距離最大的

8、直線方程為____________________. 2.設(shè)兩條直線的方程分別為x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0.已知a，b是方程x2＋x＋c＝0(0≤c≤)的兩實根，則這兩直線間距離的最大值為________. 3.若點P(3,4)和點Q(a，b)關(guān)于直線x－y－1＝0對稱，則a＝________，b＝________. 4.已知點A(3，－1)，B(5，－2)，點P在直線x＋y＝0上，若使PA＋PB取最小值，則點P坐標是__________. 5.x，y滿足x＋y＋1＝0，求x2＋y2－2x－2y＋2的最小值. 　 　 　 　 1.對稱問題 在解析幾何中，對稱

9、問題主要分為兩類：一是中心對稱，二是軸對稱.在本章中，對稱主要有以下四種：點點對稱、點線對稱、線點對稱、線線對稱，其中后兩種可以化歸為前兩種類型，所以“點關(guān)于直線對稱”是最重要的類型. 轉(zhuǎn)化思想是解決對稱問題的主要思想方法，其他問題如角的平分線、光線反射等也可轉(zhuǎn)化成對稱問題. 2.最值問題 數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想常體現(xiàn)在求最值問題中. 答案精析 題型探究 例1　解　(1)根據(jù)題意可知點A(a，b)為PP′的中點， 設(shè)點P′的坐標為(x，y)， 則根據(jù)中點坐標公式，得 所以 所以點P′的坐標為(2a－x0,2b－y0)． (2)設(shè)直線l上任意一點M的坐標為(x，y)

10、， 則此點關(guān)于點(2，－1)的對稱點為M1(4－x，－2－y)， 且M1在直線3x－y－4＝0上， 所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0， 即3x－y－10＝0. 所以所求直線l的方程為3x－y－10＝0. 跟蹤訓(xùn)練1　 例2　(－2,5) 跟蹤訓(xùn)練2　解　由 得 ∴兩直線的交點為A(1,0)． 在直線x－2y－1＝0上取點 B， 設(shè)點B關(guān)于直線x＋y－1＝0的對稱點為C(x0，y0)， 則有 解得 即點C的坐標為. 由所求直線經(jīng)過A、C兩點，得 ＝，即2x－y－2＝0， ∴所求直線l的方程為2x－y－2＝0. 例3　解　設(shè)直線y＝x＋2上一點(x0，

11、x0＋2)到兩直線的距離分別為d1和d2. ∵d1＝＝， d2＝＝， 設(shè)S＝d＋d， ∴S＝＋ ＝[(x0－)2＋]， ∴當x0＝時，S有最小值， 這時，x0＋2＝. ∴所求點的坐標為. 跟蹤訓(xùn)練3　 例4　解　 (1)如圖，點B關(guān)于l的對稱點為B′(3,3)． 直線AB′的方程為2x＋y－9＝0， 由 解得 即P(2,5)． (2)如圖，點C關(guān)于l的對稱點為C′(，)， 由圖象可知PA＋PC≥AC′. 當點P是AC′與l的交點P(，)時“＝”成立， ∴P(，)． 跟蹤訓(xùn)練4　解　(1)設(shè)A關(guān)于直線l的對稱點為A′(m，n)， 則 解得故A′(

12、－2,8)． 因為P為直線l上的一點， 則PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B， 當且僅當B，P，A′三點共線時，PA＋PB取得最小值A(chǔ)′B，點P即為直線A′B與直線l的交點， 解得 故所求的點P的坐標為(－2,3)． (2)A，B兩點在直線l的同側(cè)，點P是直線l上的一點， 則|PB－PA|≤AB， 當且僅當A，B，P三點共線時，|PB－PA|取得最大值A(chǔ)B，點P即為直線AB與直線l的交點． 又直線AB的方程為y＝x－2， 解得 故所求的點P的坐標為(12,10)． 當堂訓(xùn)練 1．x＋2y－5＝0　2.　3.5　2 4. 5．解　原式可化為(x－1)2＋(y－1)2，其幾何意義為點P(x，y)到點Q(1,1)的距離的平方，而點(x，y)在直線x＋y＋1＝0上． 設(shè)d為點Q到直線x＋y＋1＝0的距離， 由PQ≥d， 得≥， 即x2＋y2－2x－2y＋2≥. 故所求的最小值為. 7