2019年高考數(shù)學一輪復習 第7章 立體幾何 第5節(jié) 簡單幾何體的表面積與體積學案 理 北師大版

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1、 第五節(jié)　簡單幾何體的表面積與體積 [考綱傳真]　(教師用書獨具)了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式． (對應學生用書第117頁) [基礎知識填充] 1．多面體的表(側)面積 因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側面積就是所有側面的面積之和，表面積是側面積與底面面積之和． 2．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式 圓柱 圓錐 圓臺 側面展開圖　 側面積公式　 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l 3.柱、錐、臺和球的表面積和體積 名稱 幾何體　　　 表面積 體積 柱體(棱柱和圓柱)

2、 S表面積＝S側＋2S底 V＝Sh 錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側＋S底 V＝Sh 臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 [知識拓展]　幾個與球有關的切、接常用結論 (1)正方體的棱長為a，球的半徑為R， ①若球為正方體的外接球，則2R＝a； ②若球為正方體的內切球，則2R＝a； ③若球與正方體的各棱相切，則2R＝a. (2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝. (3)棱長為a的正四面體，其高H＝a，則其外接球半徑R＝H，內切球半徑R＝H. [基本能力自

3、測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)多面體的表面積等于各個面的面積之和．(　　) (2)錐體的體積等于底面面積與高之積．(　　) (3)球的體積之比等于半徑比的平方．(　　) (4)臺體的體積可轉化為兩個錐體的體積之差．(　　) (5)簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差．(　　) (6)已知球O的半徑為R，其內接正方體的邊長為a，則R＝a.(　　) [答案](1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√ 2．(教材改編)已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為(　　

4、) A．1 cm　　　　　　 B．2 cm C．3 cm D． cm B　[S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4， ∴r＝2(cm)．] 3．(2016·全國卷Ⅱ)體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為(　　) A．12π B．π C．8π D．4π A　[設正方體棱長為a，則a3＝8，所以a＝2. 所以正方體的體對角線長為2，所以正方體外接球的半徑為，所以球的表面積為4π·()2＝12π，故選A．] 4．(2017·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖7-5-1所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　)

5、 圖7-5-1 A．＋1 B．＋3 C．＋1 D．＋3 A　[由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個底面半徑為1，高為3的圓錐的一半與一個底面為直角邊長是的等腰直角三角形，高為3的三棱錐的組合體， 所以該幾何體的體積 V＝×π×12×3＋××××3＝＋1. 故選A．] 5．已知某幾何體的三視圖如圖7-5-2所示，則該幾何體的體積為________． 圖7-5-2 π　[由三視圖可知，該幾何體是一個圓柱挖去了一個圓錐，其體積為π×22×2－π×22×2＝π.] (對應學生用書第118頁) 簡單幾何體的表面積 　(1)(2018·石家莊一模)某幾何體的三視

6、圖如圖7-5-3所示(在網(wǎng)格線中，每個小正方形的邊長為1)，則該幾何體的表面積為(　　) 圖7-5-3 A．48　　　　　　 B．54 C．64 D．60 (2)(2016·全國卷Ⅰ)如圖7-5-4，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) 圖7-5-4 A．17π B．18π C．20π D．28π (1)D　(2)A　[(1)根據(jù)三視圖還原直觀圖，如圖所示，則該幾何體的表面積S＝6×3＋×6×4＋2××3×5＋×6×5＝60，故選D. (2)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個球體去

7、掉上半球的，得到的幾何體如圖．設球的半徑為R，則πR3－×πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面積為×4πR2＋πR2＝17π.故選A．] [規(guī)律方法]　簡單幾何體表面積的求法 (1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關系及數(shù)量.必須還原出直觀圖. (2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理. (3)旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用. [跟蹤訓練]　(2018·合肥第一次質檢)一個幾何體的三視圖如圖7-5-5所示(其中主視圖的弧線為四分之一圓周)，則該幾何體的表面積為(　　) 圖7-5-5 A．

8、48＋4π B．72＋4π C．48＋6π D．72＋6π D　[由三視圖可得該幾何體是棱長為4的正方體截去底面是邊長為2的正方形、高為4的長方體，再補上個底面圓半徑為2、高為4的圓柱，則該幾何體的表面積為16×2＋2(12＋π)＋8×2＋×2π×2×4＝72＋6π，故選D.] 簡單幾何體的體積 　(1)(2017·全國卷Ⅱ)如圖7-5-6，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　　) 圖7-5-6 A．90π B．63π C．42π D．36π (2)(2018·深

9、圳二調)一個長方體被一個平面截去一部分后，所剩幾何體的三視圖如圖7-5-7所示，則該幾何體的體積為(　　) 圖7-5-7 A．24 B．48 C．72 D．96 (1)B　(2)B　[ (1)法一：(割補法)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個圓柱截去上面虛線部分所得，如圖所示． 將圓柱補全，并將圓柱從點A處水平分成上下兩部分．由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π. 故選B. 法二：(估值法)由題意知，V圓柱＜V幾何體＜V圓柱．又V圓柱＝π×32×10＝90π，所以45π＜V

10、幾何體＜90π.觀察選項可知只有63π符合．故選B. (2)由三視圖知，該幾何體是由長、寬、高分別為6,4,4的長方體被一個平面截去所剩下的部分，如圖所示，其中C，G均為長方體對應邊的中心，該平面恰好把長方體一分為二，則該幾何體的體積為V＝×6×4×4＝48，故選B.] [規(guī)律方法]　簡單幾何體體積問題的常見類型及解題策略 (1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解. (2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉換法、分割法、補形法等方法進行求解. (3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據(jù)三視圖得到幾何體的底面積和高，一

11、般不需畫直觀圖. [跟蹤訓練]　(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2，側棱長為，D為BC中點，則三棱錐A-B1DC1的體積為(　　) 【導學號：79140239】 A．3 B． C．1 D． (2)(2017·山東高考)由一個長方體和兩個圓柱體構成的幾何體的三視圖如圖7-5-8，則該幾何體的體積為________． 圖7-5-8 (1)C　(2)2＋　[(1)由題意可知，AD⊥平面B1DC1，即AD為三棱錐A-B1DC1的高，且AD＝×2＝， 易求得S＝×2×＝， 所以V＝××＝1. (2)該幾何體由一個長、寬、高分別為2,1,1的長方體和兩個底面半徑為1

12、，高為1的四分之一圓柱體構成， 所以V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋.] 與球有關的切、接問題 　(2016·全國卷Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A．4π B． C．6π D． B　[由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切．設球的半徑為R，∵△ABC的內切圓半徑為＝2，∴R≤2.又2R≤3，∴R≤，∴Vmax＝π＝π.故選B.] 1．若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC

13、，AA1＝12，求球O的表面積． [解]　將直三棱柱補形為長方體ABEC-A1B1E1C1， 則球O是長方體ABEC-A1B1E1C1的外接球， 所以體對角線BC1的長為球O的直徑． 因此2R＝＝13， 故S球＝4πR2＝169π. 2．若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點都在球O的球面上”，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，求該球的體積． [解]　如圖，設球心為O，半徑為r， 則在Rt△AFO中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝， 則球O的體積V球＝πr3＝π×＝. [規(guī)律方法]　與球有關的切、接問題的求解方法 (1)與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接.球

14、與旋轉體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心，或“切點”“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題. (2)若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可構造長方體或正方體①利用2R＝求R. ②確定球心位置，把半徑放在直角三角形中求解. (3)一條側棱垂直底面的三棱錐問題：可補形成直三棱柱. [跟蹤訓練]　(1)(2017·全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) A．π B． C． D． (2)(2018·深圳二調)已知三棱錐S-ABC，△A

15、BC是直角三角形，其斜邊AB＝8，SC⊥平面ABC，SC＝6，則三棱錐的外接球的表面積為(　　) 【導學號：79140240】 A．64π B．68π C．72π D．100π (1)B　(2)D　[(1)設圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1， 由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知， r，R及圓柱的高的一半構成直角三角形． ∴r＝＝. ∴圓柱的體積為V＝πr2h＝π×1＝. 故選B. (2)由于△ABC是直角三角形，則對應的截面圓的圓心為AB的中點，截面圓半徑r＝4，且球心就在過截面圓的圓心且垂直于截面的直線上，且球心到平面ABC的距離等于SC的一半，故三棱錐的外接球的半徑R＝＝5，故三棱錐的外接球的表面積為S＝4πR2＝100π，故選D.] 10