2018高中數學 第1章 導數及其應用 第3-4節(jié) 導數的應用學案 理 蘇教版選修2-2

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1、 第3—4節(jié)——導數的應用 一、學習目標： 1. 通過數形結合的方法直觀了解函數的單調性與導數的關系，能熟練利用導數研究函數的單調性；會求某些簡單函數的單調區(qū)間。 2. 結合函數的圖象，了解函數的極大（?。┲?、最大（?。┲蹬c導數的關系；會求簡單多項式函數的極大（小）值，以及在指定區(qū)間上的最大（小）值。 二、重點、難點 重點：利用導數判斷函數的單調性；會求一些函數的極值與最值；函數極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系。 難點：利用導數解決函數問題時有關字母討論的問題。 三、考點分析： 1. 近幾年各地高考題一直保持對導數知識的考查力度，體現(xiàn)了在知識網絡交匯點出題的命題風格，重

2、點考查導數概念、單調性、極值等傳統(tǒng)、常規(guī)問題，這三大塊內容是本專題的主線，在學習中應以此為基礎展開，利用問題鏈展示題目間的內在聯(lián)系，總結解題的通法通解，如利用導數處理函數單調性問題時，可設計這樣的問題鏈：已知函數求單調區(qū)間知函數在區(qū)間上單調求參數若函數不單調如何求參數。 2. 導數內容是新課標新加知識，增添了更多的變量數學，拓展了學習和研究的領域，在學習中要明確導數作為一種工具在研究函數的單調性、極值等方面的作用，這種作用不僅體現(xiàn)在導數為解決函數問題提供了有效途徑，還在于它使學生掌握了一種科學的語言和工具，能夠加深對函數的深刻理解和直觀認識。 3. 要有意識地與解析幾何（特別是切線

3、、最值）、函數的單調性，函數的最值極值，二次函數，方程，不等式，代數不等式的證明等進行交匯，綜合運用。特別是一些以導數為工具分析和解決一些函數問題、切線問題的典型問題，以及一些實際問題中的最大（小）值問題。 一、函數的單調性與導數： 1. 設函數在區(qū)間內可導，如果，那么函數在區(qū)間上是單調遞增函數；如果，那么函數在區(qū)間上是單調遞減函數；如果，那么函數在這個區(qū)間內是常數函數。 2. 用導數法確定函數的單調性的步驟是： （1）一般方法： ①先求出定義域，再求出函數的導函數； ②求解不等式，求得其解集，再根據解集寫出單調遞增區(qū)間； 求解不等式，求得其解集，再根據解集寫出單調遞減區(qū)

4、間。 （2）利用數軸，采用“穿軸法”確定函數的單調區(qū)間： ①確定的定義域； ②求的導數； ③求出在內的所有實根，再把函數的間斷點（即在定義域內的無定義點）和各實數根按照從小到大的順序排列起來； ④在數軸上把的定義域分成若干個小區(qū)間； ⑤利用“穿軸法”觀察在各小區(qū)間上的符號，從而判定在各個小區(qū)間上的增減性。 二、函數的極值 1. 函數極值的定義 一般地，設函數f（x）在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＜f（x0），就說f（x0）是函數f（x）的一個極大值，記作y極大值＝f（x0），x0是極大值點。 如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＞f（x0）

5、.就說f（x0）是函數f（x）的一個極小值，記作y極小值＝f（x0），x0是極小值點。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 2. 判別f（x0）是極大、極小值的方法： 若滿足，且在的兩側的導數異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值. 3. 求可導函數f（x）的極值的步驟： （1）確定函數的定義區(qū)間，求導數f′（x） （2）求方程f′（x）＝0的根 （3）用函數的導數為0的點，順次將函數的定義域分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f′（x）在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f（x）在這個根處

6、取得極大值；如果左負右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么f（x）在這個根處無極值 三、函數的最大值與最小值 1. 函數的最大值與最小值： 在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷的函數在上必有最大值與最小值。 2. 利用導數求函數的最值步驟：設函數在（a，b）內可導，在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷，求函數在上的最大值與最小值的步驟如下： （1）求在內的極值； （2）將的各極值與、比較，得出函數在上的最值，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。 知識點一：導數與函數的單調性 例1 設是函數的導函數，將和的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（ ）

7、 思路分析：由的圖象可觀察出在不同區(qū)間的符號，從而判斷出在不同區(qū)間的單調性，因此可以根據的圖象大致得到的圖象。 解題過程：如圖，A、B、C三個圖中兩條曲線可分別作為和的圖象，符合題意。對于D，若上一條曲線為的圖象，則為增函數，不符合；若下一條曲線為的圖象，則為減函數，也不符合。故選D。 解題后反思：（1）本題從直觀的角度考查了可導函數的單調性與其導數的關系，通過對的圖象提煉函數的信息，考查數形結合思想和識圖、用圖的能力，以及分析問題、解決問題的能力。 （2）應用導數信息確定原函數的大致圖象，是導數應用性問題的常見題型，關鍵是把握原函數圖象在的圖象與軸交點處的切線的斜率為，由在不同區(qū)

8、間的符號能判斷出原函數的單調區(qū)間。 例2 已知向量若函數在區(qū)間上是增函數，求的取值范圍。 思路分析：已知在區(qū)間上單調遞增，則在此區(qū)間上一定有恒成立，因此只需要用分離參數法轉化為最值問題即可。 解題過程：依定義， 則. 若在上是增函數，則在上恒成立。 即在區(qū)間上恒成立。 令函數， 由于的圖象的對稱軸為，為開口向上的拋物線，故使在區(qū)間上恒成立，只須。 而當時，在上滿足，即在上是增函數。 故的取值范圍是。 解題后反思：（1）本題考查了已知函數的單調區(qū)間，求參數的取值范圍，平面向量運算、不等式在區(qū)間上恒成立的方法，考查了對知識的綜合運用能力和遷移能力。 （2）在已知函數是

9、增函數（或減函數），求參數的取值范圍時，應令（）恒成立，應用不等式恒成立的理論知識解決參數的取值范圍。然后檢驗參數的取值能否使恒等于，如果恒等于，則在該點處參數的值必須舍去。 知識點二：利用導數求函數的極值與最值 例3 已知某生產廠家的年利潤（單位：萬元）與年產量（單位：萬件）的函數關系式為，則使該生產廠家獲取最大年利潤的年產量為（ ） A. 13萬件 B. 11萬件 C. 9萬件 D. 7萬件 思路分析：由題意，先對函數y進行求導，解出極值點，然后再根據函數的定義域，把極值點和區(qū)間端點值代入已知函數，比較函數值的大小，求出的最大值即為最大年利潤的年產量。 解題過程

10、：， 令解得（舍去）。 當時，； 當時，， 則當時，取得最大值， 故選C。 解題后反思：本題考查利用導數求最值問題及其在實際問題中的應用，運算能力是非常重要的。 例4 已知函數其中。 （1）當時，求曲線處的切線的斜率； （2）當時，求函數的單調區(qū)間與極值。 思路分析：（1）把代入到中化簡得到的解析式，求出，因為曲線的切點為（1，f（1）），所以把x＝1代入中求出切線的斜率； （2）令＝0，求出的x的值為x＝－2a和x＝a－2，分兩種情況討論：①當＜時和②當＞時，討論的正負得到函數的單調區(qū)間，根據函數的增減性即可得到函數的最值。

11、 解題過程：（1）當時，，，故。 所以曲線在點處的切線的斜率為。 （2）。 令，解得或。由知，。 以下分兩種情況討論。 ①＞，則＜。當變化時，的變化情況如下表： ＋ 0 — 0 ＋ ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以在內是增函數，在內是減函數。 函數在處取得極大值，且。 函數在處取得極小值，且。 ②＜，則＞，當變化時，的變化情況如下表： ＋ 0 — 0 ＋ ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以在內是增函數，在內是減函數。 函數在處取得極大值，且。 函數在處取

12、得極小值，且。 解題后反思：本題主要考查導數的幾何意義、導數的運算、利用導數研究函數的單調性與極值等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。 例5 已知a為實數， （1）若，求在[－2，2]上的最大值和最小值； （2）若在（—∞，—2]和[2，＋∞）上都是遞增的，求a的取值范圍。 思路分析：（1）按照利用導數求函數的最值的步驟去求解。（2）當函數f（x）在給定的區(qū)間上遞增時，則在該區(qū)間上恒有，從而得到關于a的不等式。 解題過程：（1）由原式得 ∴。 由得，此時有。 由得或x＝－1， 當上變化時，的變化如下表 －

13、 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 所以f（x）在[－2，2]上的最大值為最小值為。 （2）方法一：的圖象為開口向上且過點（0，－4）的拋物線，由條件得 即 ∴－2≤a≤2. 所以a的取值范圍為[－2，2]. 方法二：令即 由求根公式得： 所以在和上非負。 由題意可知，當x≤－2或x≥2時，≥0， 從而x1≥－2，x2≤2， 即 解不等式組得：－2≤a≤2。 ∴a的取值范圍是[－2，2]。 解題后反思：（1）極大值，極小值是否就是最大值，最小值，要與區(qū)間兩端點的函數值進行比較，才能下結論。（

14、2）在已知函數f（x）是增函數（或減函數）求參數的取值范圍時，應令恒成立，解出參數的取值范圍，然后檢驗參數的取值能否使f’（x）恒等于0，若能恒等于0，則參數的這個值應舍去，若f’（x）不恒為0，則由，x恒成立解出的參數的取值范圍確定。 （北京高考）已知函數 （1）求的單調區(qū)間； （2）若對于任意的，都有≤，求的取值范圍。 思路分析：（1）求導，對k分類討論，解得出函數的單調區(qū)間； （2）不等式≤恒成立問題轉換為最值問題。 解答過程： （1），令， 當時，的情況如下表： 所以，的單調遞增區(qū)間是和；單調遞減區(qū)間是， 當時，與的情況如下表： 所以，的單調遞減區(qū)

15、間是和；單調遞增區(qū)間是。 （2）當時，因為，所以不會有。 當時，由（1）知在上的最大值是 所以等價于，解得。 故當時，的取值范圍是[，0）。 解題后反思：利用求導對含有參數的函數求最值的時候，應注意參數對最值的影響，一定要分類討論，對于不等式恒成立問題，常轉化為最值問題。 已知f（x）＝ax3＋bx2＋cx（a≠0）在x＝±1時取得極值，且f（1）＝－1。 （1）試求常數a、b、c的值； （2）試判斷x＝±1是函數的極小值還是極大值，并說明理由。 錯解分析：本題難點是在求導之后，不會應用f′（±1）＝0的隱含條件，因而造成了解決問題的最大思維障礙。 思路分析：考查

16、函數f（x）是實數域上的可導函數，可先求導確定可能的極值，再通過極值點與導數的關系，建立由極值點x＝±1所確定的相等關系式，運用待定系數法求值。 解：（1）f′（x）＝3ax2＋2bx＋c ∵x＝±1是函數f（x）的極值點， ∴x＝±1是方程f′（x）＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0的兩根。 由根與系數的關系，得 又f（1）＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③ 由①②③式解得a＝， （2）f（x）＝x3－x， ∴f′（x）＝x2－＝（x－1）（x＋1） 當x＜－1或x＞1時，f′（x）＞0 當－1＜x＜1時，f′（x）＜0 ∴函數f（x）在（－∞，－1）和（1，＋∞）上是增函

17、數，在（－1，1）上是減函數。 ∴當x＝－1時，函數取得極大值f（－1）＝1， 當x＝1時，函數取得極小值f（1）＝－1。 導數是高中數學中較為重要的知識，由于其應用的廣泛性，為我們解決所學過的有關函數問題提供了一般性方法，是解決實際問題強有力的工具。導數的概念及其運算是導數應用的基礎，是高考重點考查的對象。要牢記導數公式，熟練應用導數公式求函數的導數，掌握求導數的方法。導數的應用是高考考查的重點和難點，題型既有靈活多變的客觀性試題，又有具有一定能力要求的主觀性試題，這要求我們學習時要掌握基本題型的解法，樹立利用導數處理問題的意識。 所以在學習中要重點把握以下幾點：一是導數的概念及其運算是導數應用的基礎，這是高考重點考查的內容?？疾榉绞揭钥陀^題為主，主要考查導數的基本公式和運算法則，以及導數的幾何意義；二是導數的應用，特別是利用導數來解決函數的單調性與最值問題、證明不等式以及討論方程的根等，已成為高考熱點問題。三是應用導數解決實際問題。 下節(jié)課老師將和同學們一起學習定積分的有關內容，請同學們先閱讀課本，思考：定積分的主要思想是什么？如何求定積分？ 8