2019-2020學年新教材高中數學 第三章 函數 3.1 函數的概念與性質 3.1.2 函數的單調性 第2課時 函數的平均變化率學案 新人教B版必修第一冊

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1、第2課時　函數的平均變化率 (教師獨具內容) 課程標準：1.了解函數平均變化率的幾何意義.2.理解函數遞增和遞減的充要條件，并能夠運用函數遞增和遞減的充要條件判斷函數的單調性． 教學重點：函數遞增和遞減的充要條件． 教學難點：運用函數遞增和遞減的充要條件證明函數的增減性. 【情境導學】(教師獨具內容) 上節(jié)課我們學習了從函數單調性的定義來證明函數單調性的方法，那么證明函數的單調性還有沒有其他方法呢？這節(jié)課我們就來研究證明函數單調性的另一種方法——函數的平均變化率． 【知識導學】 知識點一　函數平均變化率的定義 一般地，對于函數y＝f(x)，當x1≠x2時，稱＝，為函數y＝

2、f(x)在區(qū)間[x1，x2](x1x2時)上的平均變化率． 知識點二 函數遞增和遞減的充要條件 一般地，若I是函數y＝f(x)的定義域的子集，對任意x1，x2∈I且x1≠x2，記y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，則： (1)y＝f(x)在I上是增函數的充要條件是>0在I上恒成立； (2)y＝f(x)在I上是減函數的充要條件是<0在I上恒成立． 1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)對于給定平面直角坐標系中的任意兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若記Δx＝x2－x1，Δy＝y(tǒng)2－y1，則表示直線AB的斜率．(　　)

3、(2)若函數y＝f(x)在(a，b)上是增函數，則在(a，b)上一定有>0.(　　) (3)在增函數和減函數的充要條件中，可以把“任意x1，x2”改為“存在x1，x2”．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)函數遞增的充要條件是其圖像上任意兩點連線的斜率都________0，函數遞減的充要條件是其圖像上任意兩點連線的斜率都________0. (2)函數：①f(x)＝x2，②f(x)＝，③f(x)＝|x|，④f(x)＝2x＋1中，滿足對任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有<0的是________． (3)函數f(x)＝－x2－2x

4、的最大值是________． 答案　(1)>　<　(2)②　(3)1 題型一 函數單調性的證明及應用 例1　證明：函數f(x)＝(x>0)在(0,1]上是增函數，在[1，＋∞)上是減函數，并求這個函數的最值． [證明]　設x1≠x2，則 ＝＝ ＝. 當x1，x2∈(0,1]時，有1－x1x2>0，從而>0， 因此f(x)在(0,1]上是增函數． 當x1，x2∈[1，＋∞)時有1－x1x2<0，從而<0， 因此f(x)在[1，＋∞)上是減函數． 由函數的單調性可知，函數沒有最小值； 而且，當x∈(0,1]時，有f(x)≤f(1)， 當x∈[1，＋∞)時，不等式

5、f(x)≤f(1)也成立． 因此f(1)＝是函數的最大值． 金版點睛 函數的最值與單調性的關系 (1)運用函數的單調性求最值是求解函數最值問題的重要方法，特別是當函數圖像不好作或作不出來時，單調性幾乎成為首選方法． (2)如果函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b]上是增函數，在區(qū)間[b，c)上是減函數，則函數y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b處有最大值f(b)． (3)如果函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b]上是減函數，在區(qū)間[b，c)上是增函數，則函數y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b處有最小值f(b)． (4)如果函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是增(減)函數，則在區(qū)間[a，b]

6、的左、右端點處分別取得最小(大)值、最大(小)值． (5)若函數y＝f(x)有多個單調區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決出最大(小)．函數的最大(小)值是整個值域范圍內最大(小)的． (6)如果函數定義域為開區(qū)間，則不但要考慮函數在該區(qū)間上的單調性，還要考慮端點處的函數值或者發(fā)展趨勢． 　判斷函數f(x)＝在區(qū)間[2,6]上的單調性，并求函數在該區(qū)間上的最值． 解　設x1≠x2，則 ＝＝ ＝. 當x1，x2∈[2,6]時，有x2－1>0，x1－1>0， 從而<0，因此f(x)在區(qū)間[2,6]上是減函數． 由函數的單調性可知，函數f(x)＝在區(qū)間[

7、2,6]上的兩個端點處分別取得最大值和最小值，即當x＝2時取得最大值，最大值是2，當x＝6時取得最小值，最小值是. 題型二 函數平均變化率的應用 例2　向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深h的函數關系的圖像如圖所示，那么水瓶的形狀可以是(　　) [解析]　由函數圖像可知，固定的Δh內，隨著h的增大，ΔV逐漸減少，由此可以判斷水瓶的下半部分體積大，上半部分體積?。蔬xB. [答案]　B 金版點睛 解決這類問題的關鍵是要弄清隨著自變量的改變，函數平均變化率的變化情況，然后由函數平均變化率的變化情況確定容器的形狀. 　一高為H、滿缸水量為V的魚缸截面如圖

8、所示，其底部破了一個小洞，滿缸水從洞中流出．若魚缸水深為h時的水的體積為v，則函數v＝f(h)的大致圖像可能是圖中的(　　) 答案　B 解析　由魚缸的形狀可知，水的體積隨著h的減小，先減少得越來越快，后減少得越來越慢．故選B. 1．在函數平均變化率的定義中，Δx應滿足(　　) A．Δx>0 B．Δx<0 C．Δx≠0 D．Δx＝0 答案　C 解析　由函數平均變化率的定義，知Δx≠0.故選C. 2．函數f(x)＝1－x2在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為(　　) A．－3 B．－4 C．2 D．－2 答案　D 解析　函數f(x)

9、＝1－x2在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為＝＝－2. 3．汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數，其圖像可能是(　　) 答案　A 解析　汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛直至停車，在行進過程中s隨時間t的增大而增大，故排除C，D.因為汽車在加速行駛的過程中行駛路程s隨時間t的變化越來越快，在減速行駛直至停車的過程中行駛路程s隨時間t的變化越來越慢，排除B.故選A. 4．函數f(x)＝3x2－6x＋1，x∈[0,3]的最大值是________，最小值是________． 答案　10?。? 解析　因為函數f(x)＝3x2－6x＋1＝3(x－1)2－2，當x∈[0,3]時，f(x)在[0,1]上是減函數，在[1,3]上是增函數．故函數f(x)在[0,3]上的最大值是f(3)＝10，最小值是f(1)＝－2. 5．證明：函數f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是減函數． 證明　設x1≠x2，則＝ ＝＝2(x1＋x2)＋4. 當x1，x2∈(－∞，－1]時， 有x1＋x2<－2,2(x1＋x2)<－4， 從而<0，因此f(x)在(－∞，－1]上是減函數． 6