2020版高考數(shù)學一輪復習 第10章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第5節(jié) 獨立重復試驗與二項分布教學案 理（含解析）北師大版

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1、第五節(jié)　獨立重復試驗與二項分布 [考綱傳真]　1.了解條件概率的概念，了解兩個事件相互獨立的概念.2.理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單問題． 1．條件概率 在已知B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率叫作B發(fā)生時A發(fā)生的條件概率，用符號P(A|B)來表示，其公式為P(A|B)＝(P(B)＞0)． 2．相互獨立事件 (1)一般地，對兩個事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱A，B相互獨立． (2)如果A，B相互獨立，則A與，與B，與也相互獨立． (3)如果A1，A2，…，An相互獨立，則有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 3

2、．獨立重復試驗與二項分布 (1)獨立重復試驗 在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗，其中Ai(i＝1,2，…，n)是第i次試驗結果，則 P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)． (2)二項分布 進行n次試驗，如果滿足以下條件： ①每次試驗只有兩個相互對立的結果，可以分別稱為“成功”和“失敗”； ②每次試驗“成功”的概率均為p，“失敗”的概率均為1－p； ③各次試驗是相互獨立的． 用X表示這n次試驗中成功的次數(shù)，則 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)． 若一個隨機變量X的分布列如上所述，稱X服從參數(shù)為n，

3、p的二項分布，簡記為X～B(n，p)． [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)相互獨立事件就是互斥事件． (　　) (2)若事件A，B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)． (　　) (3)公式P(AB)＝P(A)P(B)對任意兩個事件都成立． (　　) (4)二項分布是一個概率分布列，是一個用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)的概率分布． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．設隨機變量X～B，則P(X＝3)

4、等于(　　) A.　　　　B．　　　　C.　　　　D． A　[∵X～B，∴P(X＝3)＝C6＝.故選A.] 3．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，則P(A)等于(　　) A. B． C. D． C　[由P(AB)＝P(A)P(B|A)，得＝P(A)， ∴P(A)＝.] 4．某人射擊，一次擊中目標的概率為0.6，經過3次射擊，此人至少有兩次擊中目標的概率為________． 　[P＝C0.620.4＋C0.63＝.] 5．天氣預報，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假設在這段時間內兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為___

5、_____． 0．38　[設甲地降雨為事件A，乙地降雨為事件B，則兩地恰有一地降雨為A＋B， ∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B) ＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.] 條件概率 1．從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝(　　) A.　　　　B．　　　　C.　　　　D． B　[法一：P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝.由條件概率計算公式，得P(B|A)＝＝＝. 法二：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4個．

6、 事件AB發(fā)生的結果只有(2,4)一種情形，即n(AB)＝1. 故由古典概型概率P(B|A)＝＝.] 2．某校組織由5名學生參加的演講比賽，采用抽簽法決定演講順序，在“學生A和B都不是第一個出場，B不是最后一個出場”的前提下，學生C第一個出場的概率為(　　) A. B． C. D． A　[因為“A和B都不是第一個出場，B不是最后一個出場”的安排方法中，另外3人中任何一個第一個出場的概率相等，故“C第一個出場”的概率是.] 3．(2019·運城模擬)有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率為________

7、． 0．72　[設“種子發(fā)芽”為事件A，“種子成長為幼苗”為事件AB(發(fā)芽，又成活為幼苗)．出芽后的幼苗成活率為P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9，根據(jù)條件概率公式得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即這粒種子能成長為幼苗的概率為0.72.] [規(guī)律方法]　(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝，這是求條件概率的通法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝. 相互獨立事件的概率 【例1】　某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運動員參加

8、某運動會的單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況．規(guī)定一名運動員出線記1分，未出線記0分．假設甲、乙、丙出線的概率分別為，，，他們出線與未出線是相互獨立的． (1)求在這次選拔賽中，這三名運動員至少有一名出線的概率； (2)記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運動員的得分之和為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列． [解]　(1)記“甲出線”為事件A，“乙出線”為事件B，“丙出線”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名出線”為事件D， 則P(D)＝1－P( )＝1－××＝. (2)由題意可得，ξ的所有可能取值為0,1,2,3， 則P(ξ＝0)＝P( )＝××＝； P(ξ＝1)＝

9、P( )＋P( )＋P( )＝××＋××＋××＝； P(ξ＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝； P(ξ＝3)＝P(ABC)＝××＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P [規(guī)律方法]　1.求復雜事件的概率，要正確分析復雜事件的構成，先將復雜事件轉化為幾個彼此互斥的事件的和事件或轉化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件，再求概率． 2．求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法： (1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解． (2)直接計算較煩瑣或難以入手時，可從其對立事件入手計算． 設某人有5發(fā)子彈，他向某一目標射擊

10、時，每發(fā)子彈命中目標的概率為.若他連續(xù)兩發(fā)命中或連續(xù)兩發(fā)不中則停止射擊，否則將子彈打完． (1)求他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率； (2)求他所耗用的子彈數(shù)X的分布列． [解]　記“第k發(fā)子彈命中目標”為事件Ak(k＝1,2,3,4,5)，則A1，A2，A3，A4，A5相互獨立，且P(Ak)＝，P()＝. (1)法一：他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為 P(A1)＋P(A2)＝P(A1)P()＋P()P(A2)＝×＋×＝. 法二：由獨立重復試驗的概率計算公式知，他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為P＝C××＝. (2)X的所有可能取值為2,3,4,5. P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(

11、)＝×＋×＝， P(X＝3)＝P(A1 )＋P(A2A3)＝×2＋×2＝， P(X＝4)＝P(A1A3A4)＋P(A2 )＝3×＋3×＝， P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝. 綜上，X的分布列為 X 2 3 4 5 P 獨立重復試驗與二項分布 【例2】　(2019·佛山模擬)某企業(yè)對新擴建的廠區(qū)進行綠化，移栽了銀杏、垂柳兩種大樹各2株．假定銀杏移栽的成活率為，垂柳移栽的成活率為，且各株大樹是否成活互不影響． (1)求兩種大樹各成活1株的概率； (2)設ξ為兩種大樹成活的株數(shù)之和，求隨機變量ξ的分布列． [解]　(1)

12、記“銀杏大樹成活1株”為事件A，“垂柳大樹成活1株”為事件B，則“兩種大樹各成活1株”為事件AB． 由題可知P(A)＝C··＝，P(B)＝C··＝， 由于事件A與B相互獨立， 所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝. (2)由題意知ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4. P(ξ＝0)＝2·2＝； P(ξ＝1)＝C···2＋C···2＝； P(ξ＝2)＝＋2·2＋2·2＝； P(ξ＝3)＝C···2＋C···2＝； P(ξ＝4)＝2·2＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 P [規(guī)律方法]　獨立重復試驗與二項分布問題的常見類型及解題

13、策略 (1)在求n次獨立重復試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率時，首先要確定好n和k的值，再準確利用公式求概率． (2)在根據(jù)獨立重復試驗求二項分布的有關問題時，關鍵是理清事件與事件之間的關系，確定二項分布的試驗次數(shù)n和變量的概率，求得概率． 某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨機抽取該流水線上的40件產品作為樣本稱出它們的質量(單位：克)，質量的分組區(qū)間為(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖． (1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質量超過505克的產品數(shù)量； (2)在上述抽取的40件產品中任取2件，設X為質量超過505

14、克的產品數(shù)量，求X的分布列； (3)從該流水線上任取2件產品，設Y為質量超過505克的產品數(shù)量，求Y的分布列． [解]　(1)質量超過505克的產品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以質量超過505克的產品數(shù)量為40×0.3＝12(件)． (2)重量超過505的產品數(shù)量為12件，則重量未超過505克的產品數(shù)量為28件，X的取值為0,1,2， X服從超幾何分布． P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， ∴X的分布列為 X 0 1 2 P (3)根據(jù)樣本估計總體的思想，取一件產品，該產品的質量超過505克的概率為＝. 從

15、流水線上任取2件產品互不影響，該問題可看成2次獨立重復試驗，質量超過505克的件數(shù)Y的可能取值為0,1,2，且Y～B， P(X＝k)＝C2－kk， 所以P(Y＝0)＝C·2＝， P(Y＝1)＝C··＝， P(Y＝2)＝C·2＝. ∴Y的分布列為 Y 0 1 2 P 1．(2015·全國卷Ⅰ)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為(　　) A．0.648 　　 B．0.432 C．0.36 　　 D．0.312 A　[3次投籃投中2次的概率為P

16、(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率為P(k＝3)＝0.63，所以通過測試的概率為P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故選A.] 2．(2014·全國卷Ⅱ)某地區(qū)空氣質量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是(　　) A．0.8 　　 B．0.75 C．0.6 　　 D．0.45 A　[已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，那么在前一天空氣質量為優(yōu)良的前提下，要求隨后一天的空氣質量為優(yōu)良的概率，可根據(jù)條件概率公式，得P＝＝0.8.] - 8 -