《2020版高考數(shù)學一輪復習 第8章 平面解析幾何 第7節(jié) 雙曲線教學案 文(含解析)北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學一輪復習 第8章 平面解析幾何 第7節(jié) 雙曲線教學案 文(含解析)北師大版(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第七節(jié) 雙曲線
[考綱傳真] 1.了解雙曲線的實際背景,了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程,知道其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解雙曲線的簡單應用.
1.雙曲線的定義
(1)平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|的點的集合叫作雙曲線,定點F1,F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點,兩個焦點之間的距離叫作雙曲線的焦距.
(2)集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,
其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0.
①當2a<|F1F2|
2、時,M點的軌跡是雙曲線;
②當2a=|F1F2|時,M點的軌跡是兩條射線;
③當2a>|F1F2|時,M點不存在.
2.雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)
標準方程
-=1
(a>0,b>0)
-=1
(a>0,b>0)
圖形
性質(zhì)
范圍
x≥a或x≤-a,y∈R
x∈R,y≤-a或y≥a
對稱性
對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點
頂點坐標
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
漸近線
y=±x
y=±x
離心率
e=,e∈(1,+∞),其中c=
實虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實軸,它的長|A1A2|=2a,
線
3、段B1B2叫作雙曲線的虛軸,它的長|B1B2|=2b;
a叫做雙曲線的實半軸長,b叫做雙曲線的虛半軸長
a,b,c的關(guān)系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
3.等軸雙曲線
實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線,其漸近線方程為y=±x,離心率為e=.
三種常見雙曲線方程的設(shè)法
(1)若已知雙曲線過兩點,焦點位置不能確定,可設(shè)方程為Ax2+By2=1(AB<0).
(2)當已知雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0,求雙曲線方程時,可設(shè)雙曲線方程為b2x2-a2y2=λ(λ≠0).
(3)與雙曲線-=1有相同的漸近線的雙曲線方程可設(shè)為-=λ(λ≠0).
(4)過雙曲線
4、的一個焦點且與實軸垂直的弦長為.
[基礎(chǔ)自測]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)平面內(nèi)到點F1(0,4),F(xiàn)2(0,-4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線. ( )
(2)方程-=1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線. ( )
(3)雙曲線-=λ(m>0,n>0,λ≠0)的漸近線方程是-=0,即±=0. ( )
(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直,離心率等于. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.雙曲線-=1的焦距為( )
A.5 B. C.2 D.1
C [由雙曲線-
5、=1,易知c2=3+2=5,所以c=,所以雙曲線-=1的焦距為2.]
3.(教材題改編)已知雙曲線-=1(a>0)的離心率為2,則a=( )
A.2 B. C. D.1
D [依題意,e===2,∴=2a,則a2=1,a=1.]
4.設(shè)P是雙曲線-=1上一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個焦點,若|PF1|=9,則|PF2|=________.
17 [由題意知|PF1|=9<a+c=10,所以P點在雙曲線的左支,則有|PF2|-|PF1|=2a=8,故|PF2|=|PF1|+8=17.]
5.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的焦距為2,且雙曲線的一條漸近線
6、與直線2x+y=0垂直,則雙曲線的方程為________.
-y2=1 [由題意可得解得a=2,則b=1,所以雙曲線的方程為-y2=1.]
雙曲線的定義及應用
1. 已知F1,F(xiàn)2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點,點P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cos∠F1PF2=( )
A. B. C. D.
C [∵由雙曲線的定義有|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,∴|PF1|=2|PF2|=4,則cos∠F1PF2=
==.
選C.]
2.若雙曲線-=1的左焦點為F,點P是雙曲線右支上的動點,A(1,4),則|PF|+|PA|的最小值是
7、( )
A.8 B.9 C.10 D.12
B [由題意知,雙曲線-=1的左焦點F的坐標為(-4,0),設(shè)雙曲線的右焦點為B,則B(4,0),由雙曲線的定義知|PF|+|PA|=4+|PB|+|PA|≥4+|AB|=4+=4+5=9,當且僅當A,P,B三點共線且P在A,B之間時取等號.]
[規(guī)律方法] 雙曲線定義的兩個應用
一是判定平面內(nèi)動點的軌跡是否為雙曲線,進而根據(jù)要求可求出曲線方程;
二是在“焦點三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,結(jié)合||PF1|-|PF2||=2a,運用平方的方法,建立與|PF1|,|PF2|的聯(lián)系.
雙曲線的標準方程
8、【例1】 設(shè)雙曲線與橢圓+=1有共同的焦點,且與橢圓相交,其中一個交點的坐標為(,4),則此雙曲線的標準方程是________.
-=1 [法一:橢圓+=1的焦點坐標是(0,±3),設(shè)雙曲線方程為-=1(a>0,b>0),根據(jù)雙曲線的定義知2a=|-|=4,故a=2.
又b2=32-22=5,故所求雙曲線的標準方程為-=1.
法二:橢圓+=1的焦點坐標是(0,±3).設(shè)雙曲線方程為-=1(a>0,b>0),則a2+b2=9,①
又點(,4)在雙曲線上,所以-=1,②
聯(lián)立①②解得a2=4,b2=5.故所求雙曲線的標準方程為-=1.
法三:設(shè)雙曲線的方程為+=1(27<λ<36),
9、由于雙曲線過點(,4),故+=1,解得λ1=32,λ2=0,
經(jīng)檢驗λ1=32,λ2=0都是方程的根,但λ=0不符合題意,應舍去,所以λ=32.
故所求雙曲線的標準方程為-=1.]
[規(guī)律方法] 求雙曲線標準方程的一般方法
(1)待定系數(shù)法:設(shè)出雙曲線方程的標準形式,根據(jù)已知條件,列出參數(shù)a,b,c的方程并求出a,b,c的值.與雙曲線-=1有相同漸近線時,可設(shè)所求雙曲線方程為-=λ(λ≠0).
(2)定義法:依定義得出距離之差的等量關(guān)系式,求出a的值,由定點位置確定c的值.
(1)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一個焦點為F(2,0),且雙曲線的漸近線與圓(x-2)2+y2=
10、3相切,則雙曲線的方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.-y2=1 D.x2-=1
(2)(2019·鄭州質(zhì)量預測)已知雙曲線的一個焦點與拋物線x2=24y的焦點重合,其一條漸近線的傾斜角為30°,則該雙曲線的標準方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
(1)D (2)B [(1)由題意知,雙曲線的漸近線方程為y=±x,即bx±ay=0,因為雙曲線的漸近線與圓(x-2)2+y2=3相切,所以=,由雙曲線的一個焦點為F(2,0)可得a2+b2=4,所以|b|=,即b2=3,所以a2=1,故雙曲線的方程為x2-=1.
(2)∵x2=24y,∴焦點
11、為(0,6),
∴可設(shè)雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0).
∵漸近線方程為y=±x,
其中一條漸近線的傾斜角為30°,
∴=,c=6,∴a2=9,b2=27.
其方程為-=1.]
雙曲線的幾何性質(zhì)
?考法1 求雙曲線的離心率的值(或范圍)
【例2】 (1)(2017·全國卷Ⅱ)若a>1,則雙曲線-y2=1的離心率的取值范圍是( )
A.(,+∞) B.(,2)
C.(1,) D.(1,2)
(2)(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左,右焦點,O是坐標原點.過F2作C的一條漸近線的垂線,垂足為P.若|PF1|=|OP|
12、,則C的離心率為( )
A. B.2 C. D.
(1)C (2)C [(1)由題意得雙曲線的離心率e=.
∴e2==1+.
∵a>1,∴0<<1,
∴1<1+<2,
∴1<e<.故選C.
(2)不妨設(shè)一條漸近線的方程為y=x,則F2到y(tǒng)=x的距離d==b,在Rt△F2PO中,|F2O|=c,所以|PO|=a,所以|PF1|=a.又|F1O|=c,所以在△F1PO與Rt△F2PO中,根據(jù)余弦定理得cos∠POF1==-cos∠POF2=-,即3a2+c2-(a)2=0,得3a2=c2,所以e==.]
?考法2 雙曲線的漸近線問題
【例3】 (1)(2
13、019·合肥質(zhì)檢)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為,則該雙曲線的漸近線方程為________.
(2)已知F1,F(xiàn)2是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的兩個焦點,P是C上一點,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2最小內(nèi)角的大小為30°,則雙曲線C的漸近線方程是________.
(1)y=±x (2)x±y=0 [(1)因為e==,所以c2=a2+b2=3a2,故b=a,則此雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x.
(2)由題意,不妨設(shè)|PF1|>|PF2|,則根據(jù)雙曲線的定義得,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|P
14、F2|=2a.在△PF1F2中,|F1F2|=2c,而c>a,所以有|PF2|<|F1F2|,所以∠PF1F2=30°,所以(2a)2=(2c)2+(4a)2-2·2c·4acos 30°,得c=a,所以b==a.所以雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x,即x±y=0.]
?考法3 求雙曲線的方程
【例4】 已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點為F,離心率為.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
B [由離心率為,可知a=b,c=a,所以F(-a,0),由題意知kPF===1,所以a=4
15、,解得a=2,所以雙曲線的方程為-=1.]
[規(guī)律方法] 與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問題的解題策略
(1)求雙曲線的離心率或范圍.依據(jù)題設(shè)條件,將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的等式或不等式,解方程或不等式即可求得.
(2)求雙曲線的漸近線方程.依據(jù)題設(shè)條件,求雙曲線中a,b的值或a與b的比值,進而得出雙曲線的漸近線方程.
(1)已知方程-=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則n的取值范圍是( )
A.(-1,3) B.(-1,)
C.(0,3) D.(0,)
(2)已知雙曲線E:-=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四個頂點在E上,AB,CD的中點為E的兩個焦點,且2|AB|
16、=3|BC|,則E的離心率是________.
(1)A (2)2 [(1)若雙曲線的焦點在x軸上,則又∵(m2+n)+(3m2-n)=4,∴m2=1,
∴∴-13m2且n<-m2,此時n不存在.故選A.
(2)由已知得|AB|=,|BC|=2c,
∴2×=3×2c.又∵b2=c2-a2,整理得2c2-3ac-2a2=0,兩邊同除以a2,得2-3-2=0,即2e2-3e-2=0,解得e=2.]
1.(2018·全國卷Ⅱ)雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為,則其漸近線方程為( )
A.y
17、=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
A [因為雙曲線的離心率為,所以=,即c=a.又c2=a2+b2,所以(a)2=a2+b2,化簡得2a2=b2,所以=.因為雙曲線的漸近線方程為y=±x,所以y=±x.故選A]
2.(2018·全國卷Ⅲ)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,則點(4,0)到C的漸近線的距離為( )
A. B.2 C. D.2
D [法一:由離心率e==,得c=a,又b2=c2-a2,得b=a,所以雙曲線C的漸近線方程為y=±x.由點到直線的距離公式,得點(4,0)到C的漸近線的距離為=2.故選D.
法二:離心率e=的雙曲線是等軸雙曲線,其漸近線方程是y=±x,由點到直線的距離公式得點(4,0)到C的漸近線的距離為=2.故選D.]
3.(2017·全國卷Ⅲ)雙曲線-=1(a>0)的一條漸近線方程為y=x,則a=________.
5 [∵雙曲線的標準方程為-=1(a>0),
∴雙曲線的漸近線方程為y=±x.
又雙曲線的一條漸近線方程為y=x,∴a=5.]
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