2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 算法初步、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 第3節(jié) 統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、用樣本估計(jì)總體教學(xué)案 文（含解析）北師大版

《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 算法初步、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 第3節(jié) 統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、用樣本估計(jì)總體教學(xué)案 文（含解析）北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 算法初步、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 第3節(jié) 統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、用樣本估計(jì)總體教學(xué)案 文（含解析）北師大版（11頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三節(jié)　統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、用樣本估計(jì)總體 [考綱傳真]　1.了解分布的意義與作用，能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn).2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并做出合理的解釋.4.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征．理解用樣本估計(jì)總體的思想，會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題． 1．統(tǒng)計(jì)圖表 統(tǒng)計(jì)圖表是表達(dá)和分析數(shù)據(jù)的重要工具，常用的統(tǒng)計(jì)圖表有條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、象形統(tǒng)計(jì)圖、莖葉圖等． 2．?dāng)?shù)據(jù)的數(shù)

2、字特征 (1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) ①眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫作這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)． ②中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫作這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)． ③平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)＝(x1＋x2＋…＋xn)． (2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差 ①方差：s2＝. ②標(biāo)準(zhǔn)差：s＝＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項(xiàng)，n是樣本容量，是平均數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)差的單位與原始測(cè)量單位相同，在統(tǒng)計(jì)中，通常用標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度． 3．頻率分布直方圖與頻率分布折線圖 (1)頻率分布直方圖

3、：每個(gè)小矩形的寬度為Δxi(分組的寬度)，高為，小矩形的面積恰為相應(yīng)的頻率fi，我們稱這樣的圖形為頻率分布直方圖． (2)頻率分布折線圖 在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加上一個(gè)區(qū)間，從所加的左邊區(qū)間的中點(diǎn)開始，用線段依次連接頻率分布直方圖中各個(gè)矩形的頂端中點(diǎn)，直至右邊所加區(qū)間的中點(diǎn)就得到頻率分布折線圖． 4．用樣本估計(jì)總體 通常我們對(duì)總體作出的估計(jì)一般分成兩種，一種是用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布，另一種是用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征． 1．頻率分布直方圖的3個(gè)結(jié)論 (1)頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標(biāo)之差Δxi稱為組距，縱坐標(biāo)＝，頻率＝組距×.

4、(2)在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積總和等于1，因?yàn)樵陬l率分布直方圖中組距是一個(gè)固定值，所以各小長(zhǎng)方形高的比也就是頻率比． (3)小長(zhǎng)方形的高＝，所有小長(zhǎng)方形高的和為. 2．平均數(shù)、方差的公式推廣 (1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是m＋a. (2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2. ①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2； ②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)平均數(shù)、眾數(shù)與

5、中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)． (　　) (2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中. (　　) (3)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越高． (　　) (4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)?，右?cè)的葉按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改編)一個(gè)容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.25，則該組樣本的頻數(shù)為(　　) A．4　　　　B．8　　　　C．12　　　　D．16 B　[設(shè)頻數(shù)為n，則＝0.25，∴n＝32×＝8.] 3．(教材改編)若

6、某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是(　　) A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92 A　[∵這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位數(shù)是＝91.5，平均數(shù)＝＝91.5.] 4．某校為了了解教科研工作開展?fàn)顩r與教師年齡之間的關(guān)系，將該校不小于35歲的80名教師按年齡分組，分組區(qū)間為[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60]，由此得到頻率分布直方圖如圖，則這80名教師中年齡小于45歲的有________人． 48　[由頻率

7、分布直方圖可知45歲以下的教師的頻率為5×(0.040＋0.080)＝0.6，所以共有80×0.6＝48(人)．] 5．已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是________． 0.1　[5個(gè)數(shù)的平均數(shù)＝＝5.1，所以它們的方差s2＝[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.] 莖葉圖的應(yīng)用 1．(2019·成都檢測(cè))某學(xué)生在一門功課的22次考試中，所得分?jǐn)?shù)莖葉圖如圖所示，則此學(xué)生該門功課考試分?jǐn)?shù)的極差與中位數(shù)之和為 (　　) A．117　　　B．11

8、8　　　C．118.5　　　D．119.5 B　[22次考試中，所得分?jǐn)?shù)最高的為98，最低的為56，所以極差為98－56＝42， 將分?jǐn)?shù)從小到大排列，中間兩數(shù)為76,76，所以中位數(shù)為76， 所以此學(xué)生該門功課考試分?jǐn)?shù)的極差與中位數(shù)之和為42＋76＝118.] 2．(2019·泉州質(zhì)檢)某中學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)班共有14人，分為兩個(gè)小組，在一次階段測(cè)試中兩個(gè)小組成績(jī)的莖葉圖如圖所示，其中甲組學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是88，乙組學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是89，則n－m的值是 (　　) A．5 B．6 C．7 D．8 B　[由甲組學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是88，可得＝88，解得m＝3.由乙組學(xué)生成

9、績(jī)的中位數(shù)是89，可得n＝9，所以n－m＝6，故選B.] [規(guī)律方法]　莖葉圖中的三個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一． (2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏． (3)給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，估計(jì)數(shù)字特征，莖上的數(shù)字由小到大排列，一般“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較?。? 樣本的數(shù)字特征及應(yīng)用 1．(2019·濟(jì)南一中質(zhì)檢)2018年2月20日，摩拜單車在濟(jì)南推出“做文明騎士，周一摩拜單車免費(fèi)騎”活動(dòng)．為了解單車使用情況，記者隨機(jī)抽取了五個(gè)投放區(qū)域，統(tǒng)計(jì)了半小時(shí)內(nèi)被騎走的單車數(shù)量，繪制了如圖所示的莖葉圖，則該組數(shù)據(jù)

10、的方差為 (　　) A．9 B．4 C．3 D．2 B　[由莖葉圖得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)＝(87＋89＋90＋91＋93)＝90. ∴方差為[(87－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4.] 2．甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則 (　　) 甲　　　　　　　　乙 A．甲的成績(jī)的平均數(shù)小于乙的成績(jī)的平均數(shù) B．甲的成績(jī)的中位數(shù)等于乙的成績(jī)的中位數(shù) C．甲的成績(jī)的方差小于乙的成績(jī)的方差 D．甲的成績(jī)的極差小于乙的成績(jī)的極差 C　[甲的平均數(shù)是＝6，中位數(shù)是6，極差是4，

11、方差是＝2；乙的平均數(shù)是＝6，中位數(shù)是5，極差是4，方差是＝，故選C．] 3．甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員參加某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績(jī)?nèi)缦卤?單位：環(huán))： 甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9 如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應(yīng)是________． 甲　[甲＝乙＝9，s＝×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝， s＝×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝＞s，故甲更穩(wěn)定．] [規(guī)律方法]　(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及方差的意義 ①平均

12、數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明地描述；②平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動(dòng)大?。? (2)在計(jì)算平均數(shù)、方差時(shí)可利用平均數(shù)、方差的有關(guān)結(jié)論． 頻率分布直方圖及應(yīng)用 ?考法1　求樣本的頻率、頻數(shù) 【例1】　(2019·石家莊檢測(cè))某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5,30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是(　

13、　) A．56 B．60 C．120 D．140 D　[由直方圖可知每周自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，則每周自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)為0.7×200＝140.故選D．] ?考法2　頻率分布直方圖與樣本的數(shù)字特征的綜合 【例2】　我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查．通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)．將數(shù)據(jù)按照[0，0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖． (1)求直方圖中a的值；

14、 (2)設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由； (3)估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)． [解]　(1)由頻率分布直方圖可知：月均用水量在[0,0.5)內(nèi)的頻率為0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02. 由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a， 解得a＝0.30. (2)由(1)知，該市100位居民中月均用水量不低于3噸的頻率為0

15、.06＋0.04＋0.02＝0.12. 由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 000×0.12＝36 000. (3)設(shè)中位數(shù)為x噸． 因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5， 又前4組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5， 所以2≤x<2.5. 由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04. 故可估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸． [規(guī)律方法]　1.頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法 (1)×組距＝頻率； (2)＝頻率，＝樣本容量，樣本

16、容量×頻率＝頻數(shù)． 2．頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系 (1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為眾數(shù)； (2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的； (3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和． 易錯(cuò)警示：1.頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是，而不是頻率，切莫與條形圖混淆． 2．制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來檢驗(yàn)該表是否正確． (1)為了了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖如圖，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道后5組頻數(shù)和為62，

17、設(shè)視力在4.6到4.8之間的學(xué)生數(shù)為a，最大頻率為0.32，則a的值為(　　) A．64 B．54 C．48 D．27 B　[前兩組中的頻數(shù)為100×(0.05＋0.11)＝16. 因?yàn)楹笪褰M頻數(shù)和為62，所以前三組為38.所以第三組頻數(shù)為22.又最大頻率為0.32的最大頻數(shù)為0.32×100＝32.所以a＝22＋32＝54.] (2)某班100名學(xué)生期中考試語文成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]． ①若在同一組數(shù)據(jù)中，將該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為這組數(shù)據(jù)的平均分，根據(jù)頻

18、率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語文成績(jī)的平均分； ②若這100名學(xué)生語文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(y)之比如表所示，求數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50,90]之外的人數(shù)． 分?jǐn)?shù)段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90] x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5 [解]?、俟烙?jì)這次語文成績(jī)的平均分＝55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73. 所以這100名學(xué)生語文成績(jī)的平均分為73分． ②分別求出語文成績(jī)?cè)诜謹(jǐn)?shù)段[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]的人數(shù)依次為0.05×

19、100＝5,0.4×100＝40,0.3×100＝30,0.2×100＝20. 所以數(shù)學(xué)成績(jī)分?jǐn)?shù)段在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]的人數(shù)依次為5,20,40,25.所以數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50,90]之外的人數(shù)有100－(5＋20＋40＋25)＝10(人)． 1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖： 則下面結(jié)論中不正確的是(　　) A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少 B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了

20、一倍以上 C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍 D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半 A　[設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入的總量為x，則新農(nóng)村建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入的總量為2x. 建設(shè)前種植收入為0.6x，建設(shè)后種植收入為0.74x，故A不正確； 建設(shè)前其他收入為0.04x，建設(shè)后其他收入為0.1x，故B正確； 建設(shè)前養(yǎng)殖收入為0.3x，建設(shè)后養(yǎng)殖收入為0.6x，故C正確； 建設(shè)后養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和占建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入總量的58%，故D正確．] 2．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1

21、，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是(　　) A．x1，x2，…，xn的平均數(shù) B．x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位數(shù) B　[因?yàn)榭梢杂脴O差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評(píng)估畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度，應(yīng)該用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差．故選B.] 3．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖． 根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　) A

22、．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn) A　[對(duì)于選項(xiàng)A，由圖易知月接待游客量每年7,8月份明顯高于12月份，故A錯(cuò)； 對(duì)于選項(xiàng)B，觀察折線圖的變化趨勢(shì)可知年接待游客量逐年增加，故B正確； 對(duì)于選項(xiàng)C，D，由圖可知顯然正確． 故選A．] 4．(2016·全國(guó)卷Ⅲ)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖．圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15 ℃，B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5 ℃.下面敘述不正確的是(　　) A．各月的平均最低氣溫都在0 ℃以上 B．七月的平均溫差比一月的平均溫差大 C．三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 D．平均最高氣溫高于20 ℃的月份有5個(gè) D　[對(duì)于選項(xiàng)A，由圖易知各月的平均最低氣溫都在0 ℃以上，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，七月的平均最高氣溫點(diǎn)與平均最低氣溫點(diǎn)間的距離大于一月的平均最高氣溫點(diǎn)與平均最低氣溫點(diǎn)間的距離，所以七月的平均溫差比一月的平均溫差大，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，三月和十一月的平均最高氣溫均為10 ℃，所以C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，平均最高氣溫高于20 ℃的月份有七月、八月，共2個(gè)月份，故D錯(cuò)誤．] - 11 -