《2017-2018版高中數(shù)學 第二章 推理與證明 習題課 綜合法和分析法學案 新人教B版選修2-2》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2017-2018版高中數(shù)學 第二章 推理與證明 習題課 綜合法和分析法學案 新人教B版選修2-2(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
習題課 綜合法和分析法
明目標、知重點 加深對綜合法、分析法的理解,應用兩種方法證明數(shù)學問題.
1.綜合法
綜合法是中學數(shù)學證明中最常用的方法,它是從已知到未知,從題設到結論的邏輯推理方法,即從題設中的已知條件或已證的真實判斷出發(fā),經(jīng)過一系列的中間推理,最后導出所要求證的命題.綜合法是一種由因導果的證明方法.
綜合法的證明步驟用符號表示是:P0(已知)?P1?P2?…?Pn(結論)
2.分析法
分析法是指從需證的問題出發(fā),分析出使這個問題成立的充分條件,使問題轉化為判定那些條件是否具備,其特點可以描述為“執(zhí)果索因”,即從未知看需知,逐步靠攏已知.分析法的書寫形式一般為“因
2、為……,為了證明……,只需證明……,即……,因此,只需證明……,因為……成立,所以……,結論成立”.
分析法的證明步驟用符號表示是:P0(已知)?…?Pn-2?Pn-1?Pn(結論)
分析法屬邏輯方法范疇,它的嚴謹體現(xiàn)在分析過程步步可逆.
題型一 選擇恰當?shù)姆椒ㄗC明不等式
例1 設a,b,c為任意三角形三邊長,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,試證:3S≤I2<4S.
證明 I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
=a2+b2+c2+2S.
欲證3S≤I2<4S,
即證ab+bc+ca≤a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca.
先證明ab+
3、bc+ca≤a2+b2+c2,
只需證2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca,
即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2≥0,顯然成立;
再證明a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca,
只需證a2-ab-ac+b2-ab-bc+c2-bc-ca<0,
即a(a-b-c)+b(b-a-c)+c(c-b-a)<0,
只需證a
4、主要是不等式的基本性質和已知的重要不等式,其中常用的有如下幾個:
(1)a2≥0(a∈R).
(2)(a-b)2≥0(a、b∈R),其變形有a2+b2≥2ab,()2≥ab,a2+b2≥.
(3)若a,b∈(0,+∞),則≥,特別地+≥2.
(4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R).
跟蹤訓練1 已知a,b是正數(shù),且a+b=1,求證:+≥4.
證明 方法一 ∵a,b是正數(shù)且a+b=1,
∴a+b≥2,∴≤,∴+==≥4.
方法二 ∵a,b是正數(shù),∴a+b≥2>0,
+≥2>0,
∴(a+b)(+)≥4.
又a+b=1,∴+≥4.
方法三 +=+=1++
5、+1≥2+2 =4.當且僅當a=b時,取“=”號.
題型二 選擇恰當?shù)姆椒ㄗC明等式
例2 已知△ABC的三個內角A,B,C成等差數(shù)列,對應的三邊為a,b,c,求證:+=.
證明 要證原式,只需證+=3,
即證+=1,即只需證=1,
而由題意知A+C=2B,
∴B=,∴b2=a2+c2-ac,
∴=
==1,
∴原等式成立,即+=.
反思與感悟 綜合法推理清晰,易于書寫,分析法從結論入手易于尋找解題思路.在實際證明命題時,常把分析法與綜合法結合起來使用,稱為分析綜合法,其結構特點是:根據(jù)條件的結構特點去轉化結論,得到中間結論Q;根據(jù)結論的結構特點去轉化條件,得到中間結論P;若
6、由P可推出Q,即可得證.
跟蹤訓練2 設實數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,非零實數(shù)x,y分別為a與b,b與c的等差中項,試證:+=2.
證明 由已知條件得
b2=ac,①
2x=a+b,2y=b+c.②
要證+=2,
只要證ay+cx=2xy,
只要證2ay+2cx=4xy.
由①②得2ay+2cx=a(b+c)+c(a+b)=ab+2ac+bc,
4xy=(a+b)(b+c)=ab+b2+ac+bc=ab+2ac+bc,
所以2ay+2cx=4xy.命題得證.
題型三 立體幾何中位置關系的證明
例3 如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠
7、ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.
(1)證明:CD⊥AE;
(2)證明:PD⊥平面ABE.
證明 (1)在四棱錐P-ABCD中,
∵PA⊥底面ABCD,CD?底面ABCD,
∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC,而AE?平面PAC,∴CD⊥AE.
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,
可得AC=PA,∵E是PC的中點,∴AE⊥PC.
由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,
所以AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD,
∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,
∴PA⊥AB,又AB⊥AD,∴AB⊥平面PAD,
∴A
8、B⊥PD,又AB∩AE=A,綜上得PD⊥平面ABE.
反思與感悟 綜合法證明線面之間的垂直關系是高考考查的重點,利用垂直的判定定理和性質定理可以進行線線、線面以及面面之間垂直關系的轉化.另外,利用一些常見的結論還常??梢詫⒕€面間的垂直與平行進行轉化.比如:兩條平行線中一條垂直于平面α,則另外一條也垂直于平面α;垂直于同一條直線的兩個平面相互平行等.
跟蹤訓練3 如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.
(1)求證:AF∥平面BDE;
(2)求證:CF⊥平面BDE.
證明 (1)如圖,設AC與BD交于點G.
因為EF∥AG
9、,且EF=1,
AG=AC=1,
所以四邊形AGEF為平行四邊形.
所以AF∥EG.
因為EG?平面BDE,
AF?平面BDE,
所以AF∥平面BDE.
(2)連接FG.
因為EF∥CG,EF=CG=1,
且CE=1,
所以四邊形CEFG為菱形.
所以CF⊥EG.
因為四邊形ABCD為正方形,
所以BD⊥AC.
又因為平面ACEF⊥平面ABCD,
且平面ACEF∩平面ABCD=AC,
所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.
又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.
[呈重點、現(xiàn)規(guī)律]
1.綜合法的特點是:從已知看可知,逐步推出未知.
2.分析法的特點是:從未知看需知,逐步靠攏已知.
3.分析法和綜合法各有優(yōu)缺點.分析法思考起來比較自然,容易尋找到解題的思路和方法,缺點是思路逆行,敘述較繁;綜合法從條件推出結論,較簡捷地解決問題,但不便于思考.實際證題時常常兩法兼用,先用分析法探索證明途徑,然后再用綜合法敘述出來.
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