2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 2.1 二階矩陣與平面向量 2.1.2 二階矩陣與平面列向量的乘法教學(xué)案 蘇教版選修4-2

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1、 2．1.2　二階矩陣與平面列向量的乘法 1．二階矩陣與平面列向量的乘法規(guī)則 (1)行矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則： ＝； (2)二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則： ＝. 一般地，前一個(gè)矩陣的列數(shù)與后一個(gè)矩陣的行數(shù)相等時(shí)才能進(jìn)行乘法運(yùn)算． 2．二階矩陣與平面列向量乘法的幾何意義 (1)一個(gè)列向量左乘一個(gè)2×2矩陣M后得到一個(gè)新的列向量，如果列向量表示一個(gè)點(diǎn)P(x，y)，那么列向量左乘矩陣M后的列向量就對(duì)應(yīng)平面上的一個(gè)新的點(diǎn)． (2)對(duì)于平面上的任意一個(gè)點(diǎn)(向量)(x，y)，若按照對(duì)應(yīng)法則T，總能對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)點(diǎn)(向量)(x′，y′)，則稱T為一個(gè)變換，簡(jiǎn)記為：T：(x，y)→(x′，y′)

2、或T：→. (3)一般地，對(duì)于平面向量變換T，如果變換規(guī)則為T：→＝，那么根據(jù)二階矩陣與平面列向量的乘法規(guī)則可以改寫(xiě)為T：→＝ 的矩陣形式，反之亦然(a、b、c、d∈R)． (4)由矩陣M確定的變換，通常記為TM，根據(jù)變換的定義，它是平面內(nèi)點(diǎn)集到自身的一個(gè)映射，平面內(nèi)的一個(gè)圖形它在TM的作用下得到一個(gè)新的圖形． 二階矩陣與平面列向量相乘 [例1]　　設(shè)A＝，Z＝，Y＝，求AZ和AY. [思路點(diǎn)撥]　利用二階矩陣和平面列向量的乘法公式求解． [精解詳析]　AZ＝ ＝， AY＝ ＝. 若矩陣A＝，列向量為α＝，則Aα＝ ＝，其結(jié)果仍是一個(gè)列向量，同時(shí)應(yīng)注意，

3、給出點(diǎn)的坐標(biāo)可寫(xiě)成列向量的形式． 1．計(jì)算：(1) ；(2) ；(3) ；(4) . 解：(1) ＝＝； (2) ＝＝； (3) ＝＝； (4) ＝＝. 2．給定向量α＝，矩陣A＝，B＝，C＝，D＝，計(jì)算Aα，Bα，Cα，Dα. 解：根據(jù)矩陣與向量的乘法，得 Aα＝ ＝，Bα＝ ＝， Cα＝ ＝，Dα＝ ＝. 坐標(biāo)變換與矩陣乘法的互化 [例2]　(1)已知變換＝ ，試將它寫(xiě)成坐標(biāo)變換的形式； (2)已知變換＝，試將它寫(xiě)成矩陣的乘法形式． [思路點(diǎn)撥]　直接應(yīng)用二階矩陣與向量乘積的規(guī)定． [精解詳析]　(1)＝. 故它表示的坐標(biāo)變換為. (2)

4、＝ . 對(duì)于＝ ，首先由二階矩陣與平面列向量乘法得 ＝，再由向量相等，得 3．已知，試將它寫(xiě)成二階矩陣與平面向量相乘的形式． 解：因?yàn)樗? 即＝＝ . 故＝ . 4．解下列用矩陣表達(dá)式表示的方程組． (1) ＝； (2) ＝. 解：(1)由 ＝， 得＝，即 解得 (2)由 ＝， 得＝，即 解得 求變換矩陣 [例3]　已知變換T：平面上的點(diǎn)P(2，－1)，Q(－1,2)分別變換成點(diǎn)P1(3，－4)，Q1(0,5)，求變換矩陣A. [思路點(diǎn)撥]　由題意可知，變換矩陣A為二階矩陣，根據(jù)二階矩陣與列向量的乘法，可列出方程組，解方程組即可求出二階

5、矩陣中的各元素． [精解詳析]　設(shè)所求的變換矩陣A＝. 依題意可得 ＝， ＝， 即解得 所以所求的變換矩陣A＝. 求變換矩陣的常用方法是待定系數(shù)法，要正確利用條件，合理準(zhǔn)確計(jì)算． 5．若點(diǎn)A(1,1)在矩陣M＝對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B(－1,1)，求矩陣M. 解：由M＝，得＝， 所以即所以M＝. 6．設(shè)矩陣M對(duì)應(yīng)的線性變換把點(diǎn)A(1,2)變成點(diǎn)A′(2,3)，把點(diǎn)B(－1,3)變成點(diǎn)B′(2,1)，那么這個(gè)線性變換把點(diǎn)C(－5,10)變成什么？ 解：設(shè)變換矩陣M＝， ∴M＝ ＝＝. M＝ ＝＝. ∴解得 ∴M＝. M＝ ＝. ∴該線性變換把點(diǎn)

6、C(－5,10)變成了點(diǎn)C′(6,1)． 1．給定向量α＝，利用矩陣與向量的乘法，試說(shuō)明下列矩陣把向量α分別變成了什么向量． (1)；(2)；(3). 解：(1) ＝. (2) ＝. (3) ＝. 2．求點(diǎn)(x，y)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)． 解： ＝，所以點(diǎn)(x，y)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,2y)． 3．(1)已知→＝ ，試將它寫(xiě)成坐標(biāo)變換的形式； (2)已知→＝，試將它寫(xiě)成矩陣的乘法形式． 解：(1)→＝＝. (2)→＝＝ . 4．計(jì)算 ，并解釋計(jì)算結(jié)果的幾何意義． 解： ＝. 幾何意義：表示點(diǎn)(3,1)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作

7、用下變成點(diǎn)(5，－1)． 5．已知在一個(gè)二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下，點(diǎn)A(1,2)變成了點(diǎn)A′(7,10)，點(diǎn)B(2,0)變成了點(diǎn)B′(2,4)，求矩陣M. 解：設(shè)M＝， 則 ＝， ＝， 即解得所以M＝. 6．已知點(diǎn)(x，y)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)辄c(diǎn)(－1,1)，試求x，y的值． 解：由 ＝， 得解得 7．已知矩陣T＝，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1,0)在矩陣T的變換下得到點(diǎn)P.設(shè)b＞0，當(dāng)△POA的面積為，∠POA＝時(shí)，求a，b的值． 解：由 ＝，得點(diǎn)P坐標(biāo)為(a，b)． 又b＞0，所以S△POA＝×1×b＝.所以b＝2. 又∠POA＝，所以a＝2. 即a＝2，b＝2. 8.已知圖形F表示的四邊形ABCD如圖所示，若由二階矩陣M確定的變換T，使F上點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半而橫坐標(biāo)不變．求矩陣M. 解：圖形F對(duì)應(yīng)的矩陣為，變換后的圖形F′對(duì)應(yīng)的矩陣為， 設(shè)M＝，則有 解得∴M＝. 6