2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變形 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)案 北師大版必修4

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1、 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.能通過(guò)三角函數(shù)的定義推導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.2.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.3.能運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和證明． 知識(shí)點(diǎn)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 思考1　計(jì)算下列式子的值： (1)sin230°＋cos230°； (2)sin245°＋cos245°； (3)sin290°＋cos290°. 由此你能得出什么結(jié)論？嘗試證明它． 思考2　由三角函數(shù)的定義知，tan α與sin α和cos α間具有怎樣的等量關(guān)系？ 梳理　(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

2、①平方關(guān)系：___________________________________________________. ②商數(shù)關(guān)系：________________________________________________________. (2)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形 ①sin2α＋cos2α＝1的變形公式 sin2α＝________；cos2α＝________. ②tan α＝的變形公式 sin α＝________；cos α＝________. 類型一　利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式求值 命題角度1　已知角α的某一三角函數(shù)值及α所在象限，求角α的其余三角函數(shù)

3、值 例1　若sin α＝－，且α為第四象限角，則tan α的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 反思與感悟　同角三角函數(shù)的關(guān)系揭示了同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三個(gè)值之間，知道其中一個(gè)可以求其余兩個(gè)．解題時(shí)要注意角α的象限，從而判斷三角函數(shù)值的正負(fù)． 跟蹤訓(xùn)練1　已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 命題角度2　已知角α的某一三角函數(shù)值，未給出α所在象限，求角α的其余三角函數(shù)值 例2　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．

4、 反思與感悟　利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求值時(shí)，若沒(méi)有給出角α是第幾象限角，則應(yīng)分類討論，先由已知三角函數(shù)的值推出α的終邊可能在的象限，再分類求解． 跟蹤訓(xùn)練2　已知cos α＝－，求13sin α＋5tan α的值． 類型二　利用同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn) 例3　已知α是第三象限角，化簡(jiǎn)： － . 反思與感悟　解答這類題目的關(guān)鍵在于公式的靈活運(yùn)用，切實(shí)分析好同角三角函數(shù)間的關(guān)系，化簡(jiǎn)過(guò)程中常用的方法有： (1)化切為弦，即把非正弦、余弦的函數(shù)都化為正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的． (2)對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)下化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的

5、． (3)對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的． 跟蹤訓(xùn)練3　化簡(jiǎn)：(1)； (2)－ (α為第二象限角)． 類型三　利用同角三角函數(shù)關(guān)系證明 例4　求證：＝. 反思與感悟　證明三角恒等式的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是化異為同的過(guò)程，證明恒等式常用以下方法： (1)證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡(jiǎn)． (2)證明左、右兩邊等于同一個(gè)式子(左、右歸一)． (3)比較法：即證左邊－右邊＝0或＝1(右邊≠0)． (4)證明與已知等式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立． 跟蹤訓(xùn)練4　求證

6、：＝. 類型四　齊次式求值問(wèn)題 例5　已知tan α＝2，求下列代數(shù)式的值． (1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α. 反思與感悟　(1)關(guān)于sin α、cos α的齊次式，可以通過(guò)分子、分母同除以cos α或cos2α轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan α的式子后再求值． (2)注意例5第(2)問(wèn)式中不含分母，可以視分母為1，靈活地進(jìn)行“1”的代換，由1＝sin2α＋cos2α代換后，再同除以cos2α，構(gòu)造出關(guān)于tan α的代數(shù)式． 跟蹤訓(xùn)練5　已知＝2，計(jì)算下列各式的值． (1)； (2)sin2α－2sin αcos α＋1.

7、 1．若sin α＝，且α是第二象限角，則tan α的值等于(　　) A．－ B. C．± D．± 2．已知sin α－cos α＝－，則sin αcos α等于(　　) A. B．－ C．－ D. 3．化簡(jiǎn) 的結(jié)果是(　　) A．cos B．sin C．－cos D．－sin 4．若tan θ＝－2，則sin θcos θ＝________. 5．已知sin α＝，求cos α，tan α. 1．利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可以由一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值，求出這個(gè)角的其他三角函數(shù)值． 2．利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式可以進(jìn)行三角

8、函數(shù)式的化簡(jiǎn)，結(jié)果要求： (1)項(xiàng)數(shù)盡量少；(2)次數(shù)盡量低；(3)分母、根式中盡量不含三角函數(shù)；(4)能求值的盡可能求值． 3．在三角函數(shù)的變換求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一個(gè)，可以利用方程思想，求出另外兩個(gè)的值． 4．在進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)或求值時(shí)，細(xì)心觀察題目的特征，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x用公式，統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、降低次數(shù)是三角函數(shù)關(guān)系式變形的出發(fā)點(diǎn)．利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系主要是統(tǒng)一函數(shù)，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法． 5．在化簡(jiǎn)或恒等式證明時(shí)，注意方法的靈活運(yùn)用，常用技巧：(1)“1”的代換；(2)減少三角函數(shù)的個(gè)數(shù)(化

9、切為弦、化弦為切等)；(3)多項(xiàng)式運(yùn)算技巧的應(yīng)用(如因式分解、整體思想等)；(4)對(duì)條件或結(jié)論的重新整理、變形，以便于應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系來(lái)求解． 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn) 思考1　3個(gè)式子的值均為1.由此可猜想： 對(duì)于任意角α，有sin2α＋cos2α＝1，下面用三角函數(shù)的定義證明： 設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(x，y)，則由三角函數(shù)的定義，得sin α＝y(tǒng)， cos α＝x. ∴sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝|OP|2＝1. 思考2　∵tan α＝，∴tan α＝. 梳理　(1)①sin2α＋cos2α＝1?、趖an α＝ (α≠kπ＋，k∈Z) (2)①

10、1－cos2α　1－sin2α?、赾os αtan α 題型探究 例1　D 跟蹤訓(xùn)練1　解　由tan α＝＝，得sin α＝cos α.① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得cos2α＋cos2α＝1， 即cos2α＝. 又α是第三象限角， ∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－. 例2　解　∵cos α＝－<0，且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角． (1)當(dāng)α是第二象限角時(shí)，則 sin α＝ ＝ ＝， tan α＝＝＝－. (2)當(dāng)α是第三象限角時(shí)，則 sin α＝－＝－，tan α＝. 跟蹤訓(xùn)練2　解　方法一　∵cos α＝－<

11、0， ∴α是第二或第三象限角． (1)若α是第二象限角， 則sin α＝＝ ＝， tan α＝＝＝－， 故13sin α＋5tan α＝13×＋5×(－)＝0. (2)若α是第三象限角， 則sin α＝－ ＝－ ＝－， tan α＝＝＝， 故13sin α＋5tan α＝13×(－)＋5×＝0. 綜上可知，13sin α＋5tan α＝0. 方法二　∵tan α＝， ∴13sin α＋5tan α ＝13sin α(1＋·) ＝13sin α[1＋×(－)]＝0. 例3　解　原式＝ － ＝ － ＝－. ∵α是第三象限角，∴cos α＜0. ∴原式＝－

12、＝－2tan α(注意象限、符號(hào))． 跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)原式＝ ＝ ＝ ＝＝1. (2)∵α是第二象限角，∴cos α＜0， 則原式＝－ ＝ － ＝＋＝ ＝＝tan α. 例4　證明　∵右邊＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝左邊， ∴原等式成立． 跟蹤訓(xùn)練4　證明　∵－＝ ＝＝0， ∴＝. 例5　(1)　(2) 跟蹤訓(xùn)練5　(1)　(2) 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．A　2.C　3.C　4.－ 5．解　∵sin α＝>0， ∴α是第一或第二象限角． 當(dāng)α為第一象限角時(shí)，cos α＝ ＝ ＝， tan α＝＝； 當(dāng)α為第二象限角時(shí)，cos α＝－， tan α＝－. 9