10、 （D）9
【答案】D
【解析】如圖，畫出可行域，
表示斜率為的一組平行線，當(dāng)過點時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，故選D.
【變式探究】【2016年高考北京理數(shù)】若，滿足，則的最大值為（ ）
A.0 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】作出如圖可行域，則當(dāng)經(jīng)過點時，取最大值，而，∴所求最大值為4，故選C.
【感悟提升】(1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標(biāo)函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍．(2)一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小
11、值會在可行域的端點或邊界上取得．
【舉一反三】(2015·廣東，6)若變量x，y滿足約束條件則z＝3x＋2y的最小值為( )
A. B．6 C. D．4
答案 C
【變式探究】(1)(2014·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝2x－y的最大值為( )
A．10 B．8 C．3 D．2
(2)(2014·浙江)當(dāng)實數(shù)x，y滿足時，1≤ax＋y≤4恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．
【命題意圖】(1)本題主要考查線性規(guī)劃問題的求解，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力與運算求解能力．
(2)本題主要考查線性規(guī)則、不等式恒成立問題，考查考
12、生的數(shù)形結(jié)合與運算求解能力．
【答案】(1)B (2)
【解析】(1)作出可行域如圖中陰影部分所示，由z＝2x －y得y＝2x－z，作出直線y＝2x，平移使之經(jīng)過可行域，觀察可知，當(dāng)直線經(jīng)過點B(5,2)時，對應(yīng)的z值最大．故zmax＝2×5－2＝8.
(2)作出題中線性規(guī)劃條件滿足的可行域如圖中陰影部分所示，令z＝ax＋y，即y＝－ax＋z.作直線l0：y＝－ax，平移l0，最優(yōu)解可在A(1,0)，B(2,1)，C處取得．
故由1≤z≤4恒成立，可得
解得1≤a≤.
【感悟提升】
1．線性規(guī)劃問題的三種題型
(1)求最值，常見形如截距式z＝ax＋by，斜率式z＝，距離
13、式z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(2)求區(qū)域面積．
(3)由最優(yōu)解或可行域確定參數(shù)的值或取值范圍．
2．解答線性規(guī)劃問題的步驟及應(yīng)注意的問題
(1)解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點)，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點問題要驗證解決．
(2)畫可行域時應(yīng)注意區(qū)域是否包含邊界．
(3)對目標(biāo)函數(shù)z＝Ax＋By中的B的符號，一定要注意B的正負與z的最值的對應(yīng)，要結(jié)合圖形分析．
題型三、基本不等式及其應(yīng)用
例3、【2017山東，理7】若，且，則下列不等式成立的是
（A）
14、 （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】因為，且，所以
，所以選B.
【變式探究】【2016高考天津理數(shù)】設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ）
（A） （B）6 （C）10 （D）17
【答案】B
【解析】可行域為一個三角形ABC及其內(nèi)部，其中，直線過點B時取最小值6，選B.
【感悟提升】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤．
15、
【舉一反三】(1)已知不等式<0的解集為{x|a0，則＋的最小值為( )
A．4 B．8
C．9 D．12
(2)要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是________(單位：元)．
【命題意圖】(1)本題主要考查解分式不等式、均值不等式等基礎(chǔ)知識，對學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、運算能力有一定要求．
(2)本題主要考查空間幾何體的表面積、基本不等式等基礎(chǔ)知識，意在考查考生處理實際問題的能力、空間想象能力和運算求解能力．
16、
【答案】(1)C (2)160
【解析】(1)易知不等式<0的解集為(－2，－1)，所以a＝－2，b＝－1，則2m＋n＝1，＋＝(2m＋n)·＝5＋＋≥5＋4＝9當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝時取等號，所以＋的最小值為9.
設(shè)該容器的總造價為y元，長方體的底面矩形的長為x m，因為無蓋長方體的容積為4 m3，高為1 m，所以長方體的底面矩形的寬為m，依題意，得y＝20×4＋10·＝80＋20≥80＋20×2＝160，所以該容器的最低總造價為160元．
【感悟提升】
(1)一般地，分子、分母有一個一次、一個二次的分式結(jié)構(gòu)的函數(shù)以及含有兩個變量的函數(shù)，特別適合用基本不等式求最值．
(2)在利用基本
17、不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件．
(3)若兩次連用基本不等式，要注意等號的取得條件的一致性，否則就會出錯．
題型四 與線性規(guī)劃有關(guān)的綜合性問題
例4．【2017山東，理4】已知x,y滿足，則z=x+2y的最大值是
（A）0 （B） 2 （C） 5 （D）6
【答案】C
【解析】由畫出可行域及直線如圖所示，平移發(fā)現(xiàn)，
當(dāng)其經(jīng)過直線與的交點時，最大為，選C.
【變式探究】【2016高考新課標(biāo)1卷】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B
18、需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個工時．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為 元．
【答案】
二元一次不等式組①等價于
②
作出二元一次不等式組②表示的平面區(qū)域（如圖）,即可行域.
將變形,得,平行直線,當(dāng)直線經(jīng)過點時, 取得最大值.
解方程組,得的坐標(biāo).
所以當(dāng),時,.
故生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品的利潤之
19、和的最大值為元.
【舉一反三】已知x，y滿足約束條件當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)在該約束條件下取到最小值2時，a2＋b2的最小值為( )
A．5 B．4 C. D．2
解析 法一 不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知，目標(biāo)函數(shù)在點A(2，1)處取得最小值，故2a＋b＝2，兩端平方得4a2＋b2＋4ab＝20，又4ab＝2×a×2b≤a2＋4b2，所以20≤4a2＋b2＋a2＋4b2＝5(a2＋b2)，所以a2＋b2≥4，即a2＋b2的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b，即b＝，a＝時等號成立．
法二 把2a＋b＝2
20、看作平面直角坐標(biāo)系aOb中的直線，則a2＋b2的幾何意義是直線上的點與坐標(biāo)原點距離的平方，顯然a2＋b2的最小值是坐標(biāo)原點到直線2a＋b＝2距離的平方，即＝4.
答案 B
【變式探究】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則直線OM斜率的最小值為( )
A．2 B．1 C．－ D．－
解析 已知的不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示，顯然當(dāng)點M與點A重合時直線OM的斜率最小，由直線方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值為－.
答案 C
【舉一反三】設(shè)關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0，y0)，滿足x0－2y0＝2，求得m的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
12
2018年高考數(shù)學(xué) 專題03 不等式教學(xué)案 理
