2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù)疑難規(guī)律方法學(xué)案 北師大版選修1-1

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1、 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù)                     1 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題 1.求參數(shù) 例1 設(shè)曲線y=f(x)=ax2在點(diǎn)(1,a)處的切線與直線2x-y-6=0平行,則a=________. 解析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,= ==2a+aΔx,當(dāng)Δx無(wú)限趨近于0時(shí),2a+aΔx無(wú)限趨近于2a,即f′(1)=2a.又由曲線f(x)=ax2在點(diǎn)(1,a)處的切線與直線2x-y-6=0平行,得2a=2,即a=1. 答案 1 2.求傾斜角 例2 求曲線y=f(x)=x3-x2+5在x=1處的切線的傾斜角. 分析 要求切線的傾斜角α,先要求切線的斜率k,再根據(jù)斜率

2、k=tan α,求出傾斜角α. 解 設(shè)曲線y=f(x)=x3-x2+5在x=1處的切線的傾斜角為α. = ==(Δx)2-1, 當(dāng)Δx無(wú)限趨近于0時(shí),(Δx)2-1無(wú)限趨近于-1, 即tan α=f′(1)=-1. 因?yàn)棣痢蔥0,π),所以α=.故切線的傾斜角為. 評(píng)注 切線的傾斜角α能通過求切線的斜率得到,在解題過程中,一定要注意切線的傾斜角α的取值范圍. 3.求曲線的切線 例3 求在點(diǎn)P處與曲線y=x3相切的切線方程. 分析 要求直線在點(diǎn)P處的切線方程,需求得過點(diǎn)P的切線的斜率k,然后根據(jù)點(diǎn)斜式可求得切線方程. 解 因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線y=x3上,Δy=(2+Δx)3-×2

3、3=4Δx+2(Δx)2+(Δx)3, 所以=4+2Δx+(Δx)2, 當(dāng)Δx無(wú)限趨近于0時(shí), 無(wú)限趨近于4,即k=4. 故所求的切線方程為y-=4(x-2),即12x-3y-16=0. 評(píng)注 求在點(diǎn)P處與曲線相切的切線方程時(shí),可求出切線的斜率,然后再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程. 4.求切點(diǎn)的坐標(biāo) 例4 若曲線y=f(x)=x3+1在點(diǎn)P處的切線的斜率為3,求點(diǎn)P的坐標(biāo). 分析 要求點(diǎn)P的坐標(biāo),可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,x+1),然后由切線的斜率為3,解方程求得. 解 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,x+1), 因?yàn)椋剑?x+3x0Δx+(Δx)2,當(dāng)Δx無(wú)限趨近于0時(shí),上式無(wú)限趨近于3x,

4、所以3x=3.解得x0=±1. 故點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,2)或(-1,0). 評(píng)注 值得注意的是切點(diǎn)P的坐標(biāo)有兩個(gè),部分同學(xué)誤認(rèn)為只有一個(gè)而出錯(cuò). 2 利用導(dǎo)數(shù)求切線方程 曲線的切線問題是高考的常見題型之一.而導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義為曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率,所以利用導(dǎo)數(shù)解決相切問題是常用的方法.下面對(duì)“求過一點(diǎn)的切線方程”的題型做以下歸納. 1.已知切點(diǎn),求曲線的切線方程 此類題只需求出曲線的導(dǎo)數(shù)f′(x),并代入點(diǎn)斜式方程即可. 例1 曲線f(x)=x3-3x2+1在點(diǎn)(1,-1)處的切線方程為(  ) A.y=3x-4 B.y=

5、-3x+2 C.y=-4x+3 D.y=4x-5 解析 由f′(x)=3x2-6x,知在點(diǎn)(1,-1)處的斜率k=f′(1)=-3.所以切線方程為y-(-1)=-3(x-1),即y=-3x+2.故選B. 答案 B 2.已知過曲線上一點(diǎn),求切線方程 過曲線上一點(diǎn)的切線,該點(diǎn)未必是切點(diǎn),故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn),再求切點(diǎn),即用待定切點(diǎn)法. 例2 求過曲線f(x)=x3-2x上的點(diǎn)(1,-1)的切線方程. 解 設(shè)P(x0,y0)為切點(diǎn),則切線的斜率為f′(x0)=3x-2. 所以切線方程為y-y0=(3x-2)(x-x0), 即y-(x-2x0)=(3x-2)(x-x0). 又知切線過點(diǎn)

6、(1,-1), 所以-1-(x-2x0)=(3x-2)(1-x0). 解得x0=1,或x0=-. 故所求切線方程為y-(1-2)=(3-2)(x-1), 或y-(-+1)=(-2)(x+), 即x-y-2=0,或5x+4y-1=0. 點(diǎn)評(píng) 可以發(fā)現(xiàn)直線5x+4y-1=0并不以(1,-1)為切點(diǎn),實(shí)際上是經(jīng)過點(diǎn)(1,-1),且以(-,)為切點(diǎn)的直線.這說明過曲線上一點(diǎn)的切線,該點(diǎn)未必是切點(diǎn). 3.已知過曲線外一點(diǎn),求切線方程 此類題可先設(shè)切點(diǎn),再求切點(diǎn),即用待定切點(diǎn)法來求解. 例3 求過點(diǎn)(2,0)且與曲線f(x)=相切的直線方程. 解 設(shè)P(x0,y0)為切點(diǎn),則切線的斜率

7、為f′(x0)=-. 所以切線方程為y-y0=-(x-x0), 即y-=-(x-x0). 又已知切線過點(diǎn)(2,0),把它代入上述方程, 得-=-(2-x0). 解得x0=1,y0==1,即x+y-2=0. 點(diǎn)評(píng) 點(diǎn)(2,0)實(shí)際上是曲線外的一點(diǎn),但在解答過程中卻無(wú)需判斷它的確切位置,這充分反映出待定切點(diǎn)法的高效性. 4.求兩條曲線的公切線 例4 已知曲線C1:y=x2與C2:y=-x2+4x-4,直線l與C1,C2都相切,求直線l的方程. 分析 設(shè)出直線與兩條曲線的切點(diǎn)坐標(biāo),分別求出曲線在切點(diǎn)處的切線方程,再利用兩個(gè)方程所表示的直線重合,建立方程組求解. 解 設(shè)l與C1相切

8、于點(diǎn)P(x1,x),與C2相切于點(diǎn)Q(x2,-x+4x2-4).由C1:y=x2,得y′=2x, 則與C1相切于點(diǎn)P的切線方程為y-x=2x1(x-x1), 即y=2x1x-x,由C2:y=-x2+4x-4,得y′=-2x+4, 則與C2相切于點(diǎn)Q的切線方程為 y=-2(x2-2)x+x-4. 因?yàn)閮汕芯€重合,所以2x1=-2(x2-2) 且-x=x-4, 解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0. 所以直線l的方程為y=0或y=4x-4. 點(diǎn)評(píng) 公切線問題的一般解法是分別求出曲線在切點(diǎn)處的切線方程,再利用兩直線重合的條件建立方程組求解.               

9、      3 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中的常見錯(cuò)誤 1.對(duì)f′(x0)與f′(x)理解有誤 例1 已知函數(shù)f(x)=x2+2xf′(1),則f′(0)的值為(  ) A.0 B.-4 C.-2 D.2 錯(cuò)解 由f(x)=x2+2xf′(1)得f(0)=0. 所以f′(0)=0.故選A. 錯(cuò)因分析 解題時(shí)沒有弄清導(dǎo)函數(shù)和其在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí),應(yīng)先求導(dǎo)再求函數(shù)值,同時(shí)要注意f′(1)是常數(shù). 正解 由f(x)=x2+2xf′(1)得,f′(x)=2x+2f′(1). 所以f′(1)=2×1+2f′(1).所以f′(1)=-2. 從而f′(x)=2x-4.所以

10、f′(0)=-4.故選B. 2.切點(diǎn)位置的確定有誤 例2 求過點(diǎn)P(1,0)且與曲線f(x)=x3-x相切的直線的方程. 錯(cuò)解 由題意知點(diǎn)P(1,0)在曲線上. 因?yàn)閒′(x)=3x2-1,所以f′(1)=2. 所以切線方程為y-0=2(x-1),即2x-y-2=0. 錯(cuò)因分析 點(diǎn)P(1,0)雖然在曲線上,但不一定是切點(diǎn),解題時(shí)把點(diǎn)P(1,0)當(dāng)作切點(diǎn)顯然是錯(cuò)誤的.求曲線的切線方程時(shí),應(yīng)注意兩種“說法”:(1)曲線在點(diǎn)P處的切線方程(一定是以點(diǎn)P為切點(diǎn));(2)曲線過點(diǎn)P的切線方程(無(wú)論點(diǎn)P是否在曲線上,點(diǎn)P都不一定是切點(diǎn)). 正解 設(shè)切點(diǎn)為(x0,x-x0), 則過該點(diǎn)的切線

11、方程為y-(x-x0)=(3x-1)(x-x0). 由切線過點(diǎn)P(1,0)得:0-(x-x0)=(3x-1)(1-x0), 整理得2x-3x+1=0. 即(x0-1)2(2x0+1)=0,解得x0=1或x0=-. 所以切線方程為2x-y-2=0或x+4y-1=0. 3.對(duì)切線定義的理解有誤 例3 已知曲線C:y=f(x)=x3+,曲線C在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y=4x-4,試分析該切線與曲線C是否還有其他公共點(diǎn)?若有,求出公共點(diǎn)的坐標(biāo);若沒有,說明理由. 錯(cuò)解 由于直線y=4x-4與曲線C相切,因此除切點(diǎn)P(2,4)外沒有其他的公共點(diǎn). 錯(cuò)因分析 “切線與曲線有唯一公共點(diǎn)”,此說法對(duì)圓、橢圓這一類特殊曲線是成立的,但對(duì)一般曲線不一定成立. 正解 由消去y整理得: x3-12x+16=0,即(x-2)(x2+2x-8)=0. 所以(x-2)2(x+4)=0,解得x=2或x=-4. 所以交點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,4),(-4,-20), 所以該切線與曲線的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)(2,4)外還有點(diǎn)(-4,-20). 5

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