2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 圓錐曲線與方程 1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（二）學(xué)案 北師大版選修2-1

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1、 1.1　橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(二) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　加深理解橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，能夠熟練求解與橢圓有關(guān)的軌跡問題. 知識點(diǎn)　橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識與推導(dǎo) 思考1　橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何特征與代數(shù)特征分別是什么？ 思考2　依據(jù)橢圓方程，如何確定其焦點(diǎn)位置？ 思考3　觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣選擇坐標(biāo)系才能使橢圓的方程較簡單？并寫出求解過程. 梳理　(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式 焦點(diǎn)位置 形狀、大小 焦點(diǎn)坐標(biāo) 標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)在x軸上 形狀、大小相同a>b>0，b2＝a2－c2，焦距為2c F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)

2、＋＝1(a>b>0) 焦點(diǎn)在y軸上 F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c) ＋＝1(a>b>0) (2)方程Ax2＋By2＝1表示橢圓的充要條件是____________. (3)橢圓方程中參數(shù)a，b，c之間的關(guān)系為____________. 類型一　橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的確定 例1　求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A(，－2)和B(－2，1)兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 反思與感悟　求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以利用定義，也可以利用待定系數(shù)法，選擇求解方法時，一定要結(jié)合題目條件，其次需注意橢圓的焦點(diǎn)位置. 跟蹤訓(xùn)練1　求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (1)兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0

3、，－2)，(0,2)，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)(－，)； (2)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)(0,2)和(1,0). 類型二　相關(guān)點(diǎn)法在求解橢圓方程中的應(yīng)用 例2　如圖，在圓x2＋y2＝4上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，求線段PD的中點(diǎn)M的軌跡. 引申探究 若本例中“過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD”，改為“過點(diǎn)P作y軸的垂線段PD”.那么線段PD的中點(diǎn)M的軌跡又是什么？　 反思與感悟　如果一個動點(diǎn)P隨著另一個在已知曲線上運(yùn)動的動點(diǎn)Q而運(yùn)動，則求P點(diǎn)的軌跡方程時一般用轉(zhuǎn)代法來求解.基本步驟為 (1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)所求軌跡

4、上動點(diǎn)坐標(biāo)為P(x，y)，已知曲線上動點(diǎn)坐標(biāo)為Q(x1，y1). (2)求關(guān)系式：用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，即得關(guān)系式 (3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程得到所求動點(diǎn)軌跡的方程，并把所得方程化簡即可. 跟蹤訓(xùn)練2　如圖所示，B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，P是以O(shè)為圓心的單位圓上的動點(diǎn)，∠POB的平分線交直線PB于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程. 1.若方程＋y2＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則m的取值范圍為(　　) A.(1，＋∞) B.(，＋∞) C.[1，＋∞) D.(－∞，1) 2.設(shè)B(－4,0)，C(4,0)，且△ABC的周長等于18，則動點(diǎn)A

5、的軌跡方程為(　　) A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0) C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0) 3.已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則橢圓E的方程為____________. 4.在橢圓＋y2＝1中，有一沿直線運(yùn)動的粒子從一個焦點(diǎn)F2出發(fā)經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過另一個焦點(diǎn)F1，再次被橢圓反射后又回到F2，則該粒子在整個運(yùn)動過程中經(jīng)過的路程為________. 5.△ABC的三邊長a，b，c成等差數(shù)列，且b＝6，求頂點(diǎn)B的軌跡方程. 1.兩種形式的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的比較如

6、下表： 標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 不同點(diǎn) 圖形 焦點(diǎn)坐標(biāo) F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c) 相同點(diǎn) 定義 平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的集合 a、b、c的關(guān)系 a2＝b2＋c2 2.所謂橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，指的是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)；在＋＝1與＋＝1這兩個標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有a>b>0的要求，如方程＋＝1(m>0，n>0，m≠n)就不能肯定焦點(diǎn)在哪個軸上；分清兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，可與直線截距式＋＝1類比，如＋＝1中，由于a>b，所以在x軸上的

7、“截距”更大，因而焦點(diǎn)在x軸上(即看x2，y2分母的大小). 要區(qū)別a2＝b2＋c2與習(xí)慣思維下的勾股定理c2＝a2＋b2. 提醒：完成作業(yè)　第三章　§1　1.1(二) 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識點(diǎn) 思考1　標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何特征：橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸或y軸上. 標(biāo)準(zhǔn)方程的代數(shù)特征：方程右邊為1，左邊是關(guān)于與的平方和，并且分母為不相等的正值. 思考2　把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，與x2，y2相對應(yīng)的分母哪個大，焦點(diǎn)就在相應(yīng)的軸上. 思考3　(1)如圖所示，以經(jīng)過橢圓兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系xOy. (2)設(shè)點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)M(

8、x，y)是橢圓上任意一點(diǎn)，且橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0). (3)列式：依據(jù)橢圓的定義式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并將其坐標(biāo)化為＋＝2a. ① (4)化簡：通過移項(xiàng)、兩次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，為使方程簡單、對稱、便于記憶，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0). ② (5)從上述過程可以看到，橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程②，以方程②的解(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)到橢圓的兩個焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)的距離之和為2a，即以方程②的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上.由

9、曲線與方程的關(guān)系可知，方程②是橢圓的方程，我們把它叫作橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 梳理　(2)A>0，B>0且A≠B (3)a2＝b2＋c2 題型探究 例1　解　方法一　(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時， 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)， 依題意有 解得 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時， 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)， 依題意有 解得 此時不符合a>b>0，所以方程組無解. 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上， ∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0). 由橢圓的定義知： 2a＝ ＋ ＝2， 即a

10、＝. 又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6. ∴所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上， ∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0). 又橢圓經(jīng)過點(diǎn)(0,2)和(1,0)， ∴∴ ∴所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋x2＝1. 例2　解　設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)， 則x＝x0，y＝.因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上， 所以x＋y＝4. ① 把x0＝x，y0＝2y代入方程①， 得x2＋4y2＝4，即＋y2＝1. 所以點(diǎn)M的軌跡是一個焦點(diǎn)在x軸上的橢圓. 引申探究 解　設(shè)M(x，y)，P(x0，y0)， 則x＋y＝

11、4， (*) 代入(*)式得＋x2＝1. 故點(diǎn)M的軌跡是一個焦點(diǎn)在y軸上的橢圓. 跟蹤訓(xùn)練2　解　由三角形角平分線性質(zhì)得＝＝2. ∴＝2. 設(shè)Q(x，y)，P(x0，y0)， 則(x－2，y)＝2(x0－x，y0－y)， ∴∴ 又∵點(diǎn)P在單位圓x2＋y2＝1上. ∴()2＋(y)2＝1. ∴點(diǎn)Q的軌跡方程為＋y2＝1. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1.A　2.A　3.＋＝1　4.4 5.解　以直線AC為x軸，AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(－3,0)，C(3,0)，B(x，y)， 則|BC|＋|AB|＝a＋c＝2b＝2|AC|＝12， ∴B點(diǎn)的軌跡是以A，C為焦點(diǎn)的橢圓， 且a′＝6，c′＝3，b′2＝27. 故所求的軌跡方程為＋＝1(y≠0). 7