2017-2018版高中數(shù)學 第一章 數(shù)列 2.2 等差數(shù)列的前n項和(二)學案 北師大版必修5

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1、 2.2　等差數(shù)列的前n項和(二) 學習目標　1.進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式.2.會解等差數(shù)列前n項和的最值問題.3.理解an與Sn的關系，能根據(jù)Sn求an. 知識點一　數(shù)列中an與Sn的關系 思考　已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，怎樣求a1，an?　 梳理　對任意數(shù)列{an}，Sn與an的關系可以表示為 an＝ 知識點二　等差數(shù)列前n項和的最值 思考　我們已經(jīng)知道，當公差d≠0時，等差數(shù)列前n項和是關于n的二次函數(shù)Sn＝n2＋(a1－)n，類比二次函數(shù)的最值情況，等差數(shù)列的Sn何時有最大值？何時有最小值？ 梳理　等差數(shù)列前n項和的最值與{Sn}

2、的單調性有關． (1)若a1>0，d<0，則數(shù)列的前面若干項為正項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最大值． (2)若a1<0，d>0，則數(shù)列的前面若干項為負項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最小值． (3)若a1>0，d>0，則{Sn}是遞增數(shù)列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則{Sn}是遞減數(shù)列，S1是{Sn}的最大值． 類型一　已知數(shù)列{an}的前n項和Sn求an 引申探究 例1中前n項和改為Sn＝n2＋n＋1，求通項公式． 例1　已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2＋n，求這個數(shù)列的通項公式．這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分

3、別是什么？　 反思與感悟　已知前n項和Sn求通項an，先由n＝1時，a1＝S1求得a1，再由n≥2時，an＝Sn－Sn－1求得an，最后驗證a1是否符合an，若符合則統(tǒng)一用一個解析式表示． 跟蹤訓練1　已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n，求an. 類型二　等差數(shù)列前n項和的最值 例2　已知等差數(shù)列5,4，3，…的前n項和為Sn，求當Sn取得最大值時n的值． 反思與感悟　在等差數(shù)列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一項，使這項及它前面的項皆取正(負)值或零，而它后面的各項皆取負(正)值，則從第1項起到該項的各項的和為最大(小)．由于Sn為關于n的二次函數(shù)，也可借助二次函數(shù)的圖像

4、或性質求解． 跟蹤訓練2　在等差數(shù)列{an}中，an＝2n－14，試用兩種方法求該數(shù)列前n項和Sn的最小值． 類型三　求等差數(shù)列前n項的絕對值之和 例3　若等差數(shù)列{an}的首項a1＝13，d＝－4，記Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.　 反思與感悟　求等差數(shù)列{an}前n項的絕對值之和，根據(jù)絕對值的意義，應首先分清這個數(shù)列的哪些項是負的，哪些項是非負的，然后再分段求出前n項的絕對值之和． 跟蹤訓練3　已知數(shù)列{an}中，Sn＝－n2＋10n，數(shù)列{bn}的每一項都有bn＝|an|，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn的表達式． 1．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋

5、n，則an等于(　　) A．4n－2 B．n2 C．2n＋1 D．2n 2．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，它的前n項和為Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，則λ的值是(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 3．首項為正數(shù)的等差數(shù)列，前n項和為Sn，且S3＝S8，當n＝________時，Sn取到最大值． 4．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3＋2n，求an.　 1．因為an＝Sn－Sn－1只有n≥2時才有意義，所以由Sn求通項公式an＝f(n)時，要分n＝1和n≥2兩種情況分別計算，然后驗證兩種情況可否用統(tǒng)一解析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示． 2．求等差

6、數(shù)列前n項和最值的方法： (1)二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)的最值方法來求其前n項和的最值，但要注意n∈N＋，結合二次函數(shù)圖像的對稱性來確定n的值，更加直觀． (2)通項法：當a1>0，d<0，時，Sn取得最大值；當a1<0，d>0，時，Sn取得最小值． 3．求等差數(shù)列{an}前n項的絕對值之和，關鍵是找到數(shù)列{an}的正負項的分界點． 答案精析 問題導學 知識點一 思考　a1＝S1＝1； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 又n＝1時也適合上式，所以an＝2n－1，n∈N＋. 梳理　S1　Sn－Sn－1 知識點二 思考　由二次函數(shù)的性質可以得

7、出：當a1＜0，d>0時，Sn先減后增，有最小值；當a1>0，d<0時，Sn先增后減，有最大值；且n取最接近對稱軸的正整數(shù)時，Sn取到最值． 題型探究 例1　解　根據(jù)Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N＋)， 當n>1時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n－，① 當n＝1時，a1＝S1＝12＋×1＝，也滿足①式． ∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－. 故數(shù)列{an}是以為首項，2為公差的等差數(shù)列． 引申探究 解　當n≥2時，an＝Sn－Sn－1 ＝(n2＋n＋1)－[(n－1)2＋(n－

8、1)＋1] ＝2n－. ① 當n＝1時，a1＝S1＝12＋＋1＝不符合①式． ∴an＝ 跟蹤訓練1　解　當n＝1時，a1＝S1＝3； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1. 當n＝1時，代入an＝2·3n－1得a1＝2≠3. ∴an＝ 例2　解　方法一　由題意知，等差數(shù)列5,4，3，…的公差為－， 所以Sn＝5n＋(－) ＝－(n－)2＋. 于是，當n取與最接近的整數(shù)即7或8時，Sn取得最大值． 方法二　an＝a1＋(n－1)d＝5＋(n－1)× ＝－n＋. 令an＝－n＋≤0，解得n≥8，且a8＝0，a9<0. 故前n項和

9、是從第9項開始減小，而第8項為0， 所以前7項或前8項的和最大． 跟蹤訓練2　解　方法一　∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2. ∴a1

10、n＋×(－4) ＝15n－2n2； 當n≥5時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an) ＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn ＝2×－(15n－2n2) ＝56＋2n2－15n. ∴Tn＝ 跟蹤訓練3　解　由Sn＝－n2＋10n得an＝Sn－Sn－1＝11－2n(n≥2，n∈N＋)． 驗證a1＝9也符合上式．∴an＝11－2n，n∈N＋. ∴當n≤5時，an>0，此時Tn＝Sn＝－n2＋10n； 當n>5時，an<0，此時Tn＝2S5－Sn＝n2－10n＋50. 即Tn＝ 當堂訓練 1．D　2.B　3.5或6 4．an＝ 5