2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.3 復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)案 蘇教版選修1-2

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1、 3.3 復(fù)數(shù)的幾何意義 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解復(fù)數(shù)的幾何意義，會(huì)用復(fù)平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù).2.了解復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算的幾何意義.3.掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法． 知識(shí)點(diǎn)一　復(fù)數(shù)的幾何意義 思考1　復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與有序數(shù)對(duì)(a，b)有怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？ 　 　 思考2　有序?qū)崝?shù)對(duì)與直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)有怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？ 　 　 思考3　復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間能一一對(duì)應(yīng)嗎？ 　 　 思考4　復(fù)數(shù)z＝a＋bi、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)、向量三者有何關(guān)系？ 　 　 1．復(fù)平面 建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的

2、平面叫做__________，x軸叫做________，y軸叫做________． 2．復(fù)數(shù)的幾何意義 復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)向量. 知識(shí)點(diǎn)二　復(fù)數(shù)的模及意義 1．定義：向量的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記為|z|. 2．公式：|z|＝. 3．幾何意義：復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z到原點(diǎn)O的距離． 知識(shí)點(diǎn)三　復(fù)數(shù)加減法的幾何意義 思考1　復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量一一對(duì)應(yīng)，你能從向量加法的幾何意義出發(fā)討論復(fù)數(shù)加法的幾何意義嗎？ 　 　 　 　 思考2　怎樣作出與復(fù)數(shù)z1－z2對(duì)應(yīng)的向量？ 　 　 　 　 　 思考

3、3　類比絕對(duì)值|x－x0|的幾何意義，說明|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義． 　 　 　 1.如圖所示，設(shè)向量，分別與復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di對(duì)應(yīng)，且和不共線，以，為鄰邊畫平行四邊形OZ1ZZ2.則向量與復(fù)數(shù)__________________相對(duì)應(yīng)；向量與復(fù)數(shù)________________相對(duì)應(yīng)． 2．|z1－z2|＝，即兩個(gè)復(fù)數(shù)的差的模就是復(fù)平面內(nèi)與這兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離． 類型一　復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng) 例1　在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在直線y＝x上，分

4、別求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　按照復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)所有點(diǎn)所成的集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，每一個(gè)復(fù)數(shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，只要在復(fù)平面內(nèi)找出這個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)所表示的點(diǎn)，就可根據(jù)點(diǎn)的位置判斷復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的取值． 跟蹤訓(xùn)練1　設(shè)復(fù)數(shù)z＝(m∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z. (1)若點(diǎn)Z在虛軸上，求m的值； (2)若點(diǎn)Z位于第一象限，求m的取值范圍． 　 　 　 　 　 　 類型二　復(fù)數(shù)的模及其幾何意義 例2　已知復(fù)數(shù)z1＝－i，z2＝－＋i. (

5、1)求|z1|及|z2|的值并比較大小； (2)設(shè)z∈C，滿足|z2|≤|z|≤|z1|的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模即向量的模，復(fù)數(shù)的?？梢员容^大小． (2)復(fù)數(shù)的模的意義是表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，這可以類比實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，也可類比以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量的模來加深理解． 跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知0

6、　 　 　 　 　 　 　 類型三　復(fù)數(shù)加減法的幾何意義 例3　在復(fù)平面內(nèi)，A，B，C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB、AC為鄰邊作一個(gè)平行四邊形ABDC，求點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z4及AD的長(zhǎng)． 　 　 　 　 　 反思與感悟　(1)根據(jù)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義可以把復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算，同樣滿足三角形和平行四邊形法則． (2)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義為應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決復(fù)數(shù)問題提供了可靠． 跟蹤訓(xùn)練3　已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|. 　

7、 　 　 　 　 　 　 1．設(shè)z＝(2－i)2(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的模為________． 2．復(fù)數(shù)z＝－1在復(fù)平面內(nèi)，則z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第________象限． 3．復(fù)數(shù)4＋3i與－2－5i分別表示向量與，則向量表示的復(fù)數(shù)是____________． 4．在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝(m－3)＋2i的點(diǎn)在直線y＝x上，則實(shí)數(shù)m的值為________． 1．復(fù)數(shù)的幾何意義 這種對(duì)應(yīng)關(guān)系架起了復(fù)數(shù)與解析幾何之間的橋梁，使得復(fù)數(shù)問題可以用幾何方法解決．復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，關(guān)鍵是抓住復(fù)數(shù)與點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)． 2．復(fù)數(shù)的模 (1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi

8、(a，b∈R)的模|z|＝； (2)從幾何意義上理解，表示點(diǎn)Z和原點(diǎn)間的距離，類比向量的?？蛇M(jìn)一步引申：|z1－z2|表示點(diǎn)Z1和點(diǎn)Z2之間的距離． 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考1　一一對(duì)應(yīng)． 思考2　一一對(duì)應(yīng)． 思考3　能一一對(duì)應(yīng)． 思考4　復(fù)數(shù)z＝a＋bi可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)來表示，也可以用向量來表示，三者的關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的． 1．復(fù)平面　實(shí)軸　虛軸 知識(shí)點(diǎn)三 思考1　 如圖，設(shè)，分別與復(fù)數(shù)a＋bi，c＋di對(duì)應(yīng)，則有＝(a，b)，＝(c，d)，由向量加法的幾何意義＋＝(a＋c，b＋d)，所以＋與復(fù)數(shù)(a＋c)＋(b＋d)i對(duì)應(yīng)，復(fù)數(shù)的加法可以按

9、照向量的加法來進(jìn)行． 思考2　 z1－z2可以看作z1＋(－z2)．因?yàn)閺?fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進(jìn)行，所以可以按照平行四邊形法則或三角形法則作出與z1－z2對(duì)應(yīng)的向量(如圖)．圖中對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z2，則對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1－z2. 思考3　|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z到點(diǎn)Z0的距離． 1．z1＋z2　z1－z2 題型探究 例1　解　復(fù)數(shù)z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的實(shí)部為m2－m－2，虛部為m2－3m＋2. (1)由題意得m2－m－2＝0. 解得m＝2或m＝－1. (2)由題意得 ∴ ∴－1

10、m－2＝m2－3m＋2， 故m＝2. 跟蹤訓(xùn)練1　解　z＝＝＝＋i， (1)∵點(diǎn)Z在虛軸上， ∴＝0，則m＝－2. (2)點(diǎn)Z位于第一象限，則m＋2>0且1－2m>0， 解得－2|z2|. (2)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則1≤|z|≤2. ∴1≤x2＋y2≤4. 因?yàn)閤2＋y2≥1表示圓x2＋y2＝1及其外部所有點(diǎn)組成的集合，x2＋y2≤4表示圓x2＋y2＝4及其內(nèi)部所有點(diǎn)組成的集合． ∴滿足條件的點(diǎn)Z(x，y)的集合是

11、以O(shè)為圓心，以1和2為半徑的圓所夾的圓環(huán)，如圖所示． 跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)由題意得z＝a＋i，根據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義可得|z|＝. 因?yàn)?

12、＝7＋3i， ∴AD的長(zhǎng)為||＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)| ＝|6＋2i|＝2. 跟蹤訓(xùn)練3　解　方法一　設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，① (a－c)2＋(b－d)2＝1.② 由①②得2ac＋2bd＝1， ∴|z1＋z2|＝ ＝＝. 方法二　設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)， z1、z2、z1＋z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C. ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴△OAB是邊長(zhǎng)為1的正三角形， ∴四邊形OACB是一個(gè)內(nèi)角為60°，邊長(zhǎng)為1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的較長(zhǎng)的對(duì)角線OC的長(zhǎng)， ∴|z1＋z2|＝|OC| ＝＝. 達(dá)標(biāo)檢測(cè) 1．5 解析　z＝(2－i)2＝3－4i，所以|z|＝|3－4i|＝＝5. 2．二 解析　∵z＝－1＝i－1， ∴復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(－1,1)在第二象限． 3．－6－8i 解析　因?yàn)閺?fù)數(shù)4＋3i與－2－5i分別表示向量與，所以＝(4,3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量表示的復(fù)數(shù)是－6－8i. 4．9 解析　∵z＝(m－3)＋2i表示的點(diǎn)在直線y＝x上， ∴m－3＝2，解得m＝9. 11