12、 若已知粒子運(yùn)動(dòng)軌跡上的兩點(diǎn)和其中某一點(diǎn)的速度方向，則可作出此兩點(diǎn)的連線(即過這兩點(diǎn)的圓弧的弦)的中垂線，中垂線與垂線的交點(diǎn)即為圓心，如圖乙．
2．常見運(yùn)動(dòng)軌跡的確定
(1)直線邊界(進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性，如圖丙所示)．
(2)平行邊界(存在臨界條件，如圖丁所示)．
(3)圓形邊界(沿徑向射入必沿徑向射出，如圖戊所示)．
3．常用解題知識(shí)
(1)幾何知識(shí)：三角函數(shù)、勾股定理、偏向角與圓心角關(guān)系．根據(jù)幾何知識(shí)可以由已知長度、角度計(jì)算粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑，或者根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑計(jì)算未知長度、角度．
(2)半徑公式、周期公式：R＝、T＝.根據(jù)兩個(gè)公式可由q、m、v、B計(jì)
13、算粒子運(yùn)動(dòng)的半徑、周期，也可根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)的半徑或周期計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度、粒子的電荷量、質(zhì)量等．
(3)運(yùn)動(dòng)時(shí)間計(jì)算式：計(jì)算粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間或已知粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間計(jì)算圓心角或周期時(shí)，常用到t＝·T.
【典題例析】
(2016·高考全國卷Ⅱ)一圓筒處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向與筒的軸平行，筒的橫截面如圖所示．圖中直徑MN的兩端分別開有小孔，筒繞其中心軸以角速度ω順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)．在該截面內(nèi)，一帶電粒子從小孔M射入筒內(nèi)，射入時(shí)的運(yùn)動(dòng)方向與MN成30°角．當(dāng)筒轉(zhuǎn)過90°時(shí)，該粒子恰好從小孔N飛出圓筒．不計(jì)重力．若粒子在筒內(nèi)未與筒壁發(fā)生碰撞，則帶電粒子的比荷為( )
A. B
14、．
C. D．
[審題指導(dǎo)] 首先由粒子的速度方向確定運(yùn)動(dòng)的圓心，然后畫出其運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)確定圓心角求時(shí)間．此題考查粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題的基本方法．
[解析]
由題可知，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可知，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)的圓心角為30°，因此粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t＝×，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與筒轉(zhuǎn)過90°所用的時(shí)間相等，即＝×，求得＝，A項(xiàng)正確．
[答案] A
(1)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的分析方法
(2)在軌跡中尋求邊角關(guān)系時(shí)，一定要關(guān)注三個(gè)角的聯(lián)系：圓心角、弦切角、速度偏角；它們的大小關(guān)系為
15、：圓心角等于速度偏角，圓心角等于2倍的弦切角．在找三角形時(shí)，一般要尋求直角三角形，利用勾股定理或三角函數(shù)求解問題．
(3)解決帶電粒子在邊界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題時(shí)，一般注意以下兩種情況：
①直線邊界中的臨界條件為與直線邊界相切，并且從直線邊界以多大角度射入，還以多大角度射出；
②在圓形邊界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果沿著半徑射入，則一定沿著半徑射出．
【遷移題組】
遷移1 半徑公式和周期公式的應(yīng)用
1．(多選)(2015·高考全國卷Ⅱ)有兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ中的磁感應(yīng)強(qiáng)度是Ⅱ中的k倍．兩個(gè)速率相同的電子分別在兩磁場(chǎng)區(qū)域做圓周運(yùn)動(dòng)．與Ⅰ中運(yùn)動(dòng)的電子相比，Ⅱ中的電子( )
A．運(yùn)動(dòng)軌跡的
16、半徑是Ⅰ中的k倍
B．加速度的大小是Ⅰ中的k倍
C．做圓周運(yùn)動(dòng)的周期是Ⅰ中的k倍
D．做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度與Ⅰ中的相等
解析：選AC.兩速率相同的電子在兩勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且Ⅰ中磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B1是Ⅱ中磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B2的k倍．由qvB＝得r＝∝，即Ⅱ中電子運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑是Ⅰ中的k倍，選項(xiàng)A正確．由F合＝ma得a＝＝∝B，所以＝，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．由T＝得T∝r，所以＝k，選項(xiàng)C正確．由ω＝得＝＝，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
遷移2 帶電粒子在直線邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
2.
如圖所示為一有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向外，MN、PQ為其兩個(gè)邊界，兩邊界間的距離為L.現(xiàn)有兩個(gè)帶負(fù)
17、電的粒子同時(shí)從A點(diǎn)以相同速度沿與PQ成30°的方向垂直射入磁場(chǎng)，結(jié)果兩粒子又同時(shí)離開磁場(chǎng)．已知兩帶負(fù)電的粒子質(zhì)量分別為2m和5m，電荷量大小均為q，不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用，則粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度為( )
A. B．
C. D．
解析：
選B.由于兩粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，則兩粒子一定是分別從MN邊和PQ邊離開磁場(chǎng)的，如圖所示，由幾何知識(shí)可得質(zhì)量為2m的粒子對(duì)應(yīng)的圓心角為300°，由t＝T得質(zhì)量為5m的粒子對(duì)應(yīng)的圓心角為120°，由圖可知△OCD為等邊三角形，可求得R＝L，由Bqv＝得v＝，B正確．
遷移3 帶電粒子在圓形有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
3.
18、
(2017·高考全國卷Ⅱ)如圖，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)，大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過P點(diǎn)，在紙面內(nèi)沿不同方
向射入磁場(chǎng)．若粒子射入速率為v1，這些粒子在磁場(chǎng)邊界的出射點(diǎn)分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為v2，相應(yīng)的出射點(diǎn)分布在三分之一圓周上．不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用．則v2∶v1為( )
A.∶2 B．∶1
C.∶1 D．3∶
解析：
選C.由于是相同的粒子，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小相同，由qvB＝m可知，R＝，即粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同．若粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小為v1，如圖所示，通過旋轉(zhuǎn)圓可知，當(dāng)粒子的
19、磁場(chǎng)出射點(diǎn)A離P點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)，則AP＝2R1；同樣，若粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小為v2，粒子的磁場(chǎng)出射點(diǎn)B離P點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)，則BP＝2R2，由幾何關(guān)系可知，R1＝，R2＝Rcos 30°＝R，則＝＝，C項(xiàng)正確．
帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的臨界、極值和多解問題[學(xué)生用書P183]
【知識(shí)提煉】
1．帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，一般涉及臨界和邊界問題，臨界值、邊界值常與極值問題相關(guān)聯(lián)．因此，臨界狀態(tài)、邊界狀態(tài)的確定以及所需滿足的條件是解決問題的關(guān)鍵．常遇到的臨界和極值條件有：
(1)帶電體在磁場(chǎng)中，離開一個(gè)面的臨界狀態(tài)是對(duì)這個(gè)面的壓力為零．
(2)射出或不射出磁場(chǎng)的臨界狀態(tài)是帶電體運(yùn)動(dòng)的軌跡與磁場(chǎng)邊界相
20、切，對(duì)應(yīng)粒子速度的臨界值．
(3)運(yùn)動(dòng)時(shí)間極值的分析
①周期相同的粒子，當(dāng)速率相同時(shí)，軌跡越長，圓心角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長．
②周期相同的粒子，當(dāng)速率不同時(shí)，圓心角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長．
2．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問題
(1)帶電粒子電性不確定形成多解：
受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電，也可能帶負(fù)電，在相同的初速度條件下，正、負(fù)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡不同，因而形成多解．
如圖甲所示，帶電粒子以速率v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如帶正電，其軌跡為a，如帶負(fù)電，其軌跡為b.
(2)磁場(chǎng)方向的不確定形成多解：有些題目只告訴了磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向，此時(shí)必須
21、考慮由磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定而形成的多解．如圖乙所示．
(3)臨界狀態(tài)不唯一形成多解：帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場(chǎng)時(shí)，由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧狀，因此，它可能直接穿過去了，也可能轉(zhuǎn)過180°從入射面邊界反向飛出，如圖丙所示，于是形成了多解．
(4)運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性形成多解：帶電粒子在部分是電場(chǎng)、部分是磁場(chǎng)的空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)往往具有往復(fù)性，從而形成多解，如圖丁所示．
【典題例析】
(2016·高考全國卷Ⅲ)
平面OM和平面ON之間的夾角為30°，其橫截面(紙面)如圖所示，平面OM上方存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外．一帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q(q
22、>0)．粒子沿紙面以大小為v的速度從OM的某點(diǎn)向左上方射入磁場(chǎng)，速度與OM成30°角．已知該粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡與ON只有一個(gè)交點(diǎn)，并從OM上另一點(diǎn)射出磁場(chǎng)．不計(jì)重力．粒子離開磁場(chǎng)的出射點(diǎn)到兩平面交線O的距離為( )
A. B．
C. D．
[審題指導(dǎo)] 粒子與ON的交點(diǎn)只有一個(gè)的隱含條件說明運(yùn)動(dòng)軌跡與ON相切，從而找出粒子運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑、圓心角等一系列運(yùn)動(dòng)參量，利用幾何關(guān)系進(jìn)行問題的求解．
[解析]
如圖所示為粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖，設(shè)出射點(diǎn)為P，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與ON的交點(diǎn)為Q，粒子入射方向與OM成30°角，則射出磁場(chǎng)時(shí)速度方向與OM成30°角
23、，由幾何關(guān)系可知，PQ⊥ON，故出射點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為軌跡圓直徑的2倍，即4R，又粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑R＝，所以D正確．
[答案] D
解決帶電粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)問題的常用方法
(1)幾何對(duì)稱法：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡關(guān)于入射點(diǎn)P與出射點(diǎn)Q的中垂線對(duì)稱，軌跡圓心O位于中垂線上，并有φ＝α＝2θ＝ωt，如圖甲所示，應(yīng)用粒子運(yùn)動(dòng)中的這一“對(duì)稱性”，不僅可以輕松地畫出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，也可以非常便捷地求解某些臨界問題．
甲 乙
(2)動(dòng)態(tài)放縮法：當(dāng)帶電粒子射入磁場(chǎng)的方向確定，但射入時(shí)的速度v大小或磁場(chǎng)的強(qiáng)弱B
24、變化時(shí)，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑R隨之變化．在確定粒子運(yùn)動(dòng)的臨界情景時(shí)，可以以入射點(diǎn)為定點(diǎn)，將軌跡半徑放縮，作出一系列的軌跡，從而探索出臨界條件．如圖乙所示，粒子進(jìn)入長方形邊界OABC從BC邊射出的臨界情景為②和④.
(3)定圓旋轉(zhuǎn)法：
丙
當(dāng)帶電粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速率v大小一定，但射入的方向變化時(shí)，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑R是確定的．在確定粒子運(yùn)動(dòng)的臨界情景時(shí)，可以以入射點(diǎn)為定點(diǎn)，將軌跡圓旋轉(zhuǎn)，作出一系列軌跡，從而探索出臨界條件．如圖丙所示為粒子進(jìn)入單邊界磁場(chǎng)時(shí)的情景．
(4)數(shù)學(xué)解析法：寫出軌跡圓和邊界的解析方程，應(yīng)用物理和數(shù)學(xué)知識(shí)求解．
【遷移題組】
遷移1 帶電粒子運(yùn)動(dòng)
25、的臨界問題
1.
如圖，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B＝0.60 T．磁場(chǎng)內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場(chǎng)方向平行．在距ab為l＝16 cm處，有一個(gè)點(diǎn)狀的α粒子放射源S，它向各個(gè)方向發(fā)射α粒子，α粒子的速率都是v＝3.0×106 m/s.已知α粒子的電荷量與質(zhì)量之比＝5.0×107 C/kg.現(xiàn)只考慮在紙面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的α粒子，求ab板上被α粒子打中區(qū)域的長度．
解析：α粒子帶正電，故在磁場(chǎng)中沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．用R表示軌跡半徑，有qvB＝m，
由此得R＝，
代入數(shù)值得R＝10 cm，可見2R>l>R.
因朝不同方向發(fā)射的α粒子的圓軌跡都
26、過S，由此可知，某一圓軌跡在下圖中N左側(cè)與ab相切，則此切點(diǎn)P1就是α粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)．為確定P1點(diǎn)的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為R，以S為圓心，R為半徑，作圓弧交cd于Q點(diǎn)，過Q作ab的垂線，它與ab的交點(diǎn)即為P1.即：NP1＝.
再考慮N的右側(cè)．任何α粒子在運(yùn)動(dòng)中離S的距離不可能超過2R，以2R為半徑、S為圓心作圓弧，交ab于N右側(cè)的P2點(diǎn)，此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點(diǎn)．
由圖中幾何關(guān)系得
NP2＝，
所求長度為P1P2＝NP1＋NP2，
代入數(shù)值得P1P2＝20 cm.
答案：20 cm
遷移2 帶電粒子運(yùn)動(dòng)的極值問題
2.
如圖，ABCD
27、是邊長為a的正方形．質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域．在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場(chǎng)．電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)．不計(jì)重力，求：
(1)此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向；
(2)此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．
解析：(1)設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B.令圓弧是自C點(diǎn)垂直于BC入射的電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)行軌跡．電子所受到的磁場(chǎng)的作用力大小f＝ev0B ①
方向應(yīng)指向圓弧的圓心，因而磁場(chǎng)的方向應(yīng)垂直于紙面向外．圓弧的圓心在CB邊或其延長線上．依題意，圓心在A、C連線的中垂線上，故B點(diǎn)即為圓心，圓半徑為a.
根據(jù)牛頓
28、第二定律有f＝m ②
聯(lián)立①②式得B＝. ③
(2)由(1)中確定的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小可知，自C點(diǎn)垂直于BC入射的電子在A點(diǎn)沿DA方向射出，且自BC邊上其他點(diǎn)垂直入射的電子的運(yùn)動(dòng)軌跡只能在BAEC區(qū)域中，因而，圓弧是所求的最小磁場(chǎng)區(qū)域的一個(gè)邊界．
為了確定該磁場(chǎng)區(qū)域的另一邊界，需考查從A點(diǎn)射出的電子的速度方向與BA的延長線的交角θ的情形．該電子的運(yùn)動(dòng)軌跡QPA如圖所示．圖中，圓弧的圓心為O，PQ垂直于BC邊，由③式知，圓弧的半徑仍為a，在以D為原點(diǎn)，DC為x軸，DA為y軸的坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)為
x＝asin θ ④
y＝－[a－(a－acos θ)]＝－acos θ
29、 ⑤
這意味著，在范圍0≤θ≤內(nèi)，P點(diǎn)形成以D為圓心、a為半徑的四分之一圓周，它是電子做直線運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的分界線，構(gòu)成所求磁場(chǎng)區(qū)域的另一邊界．
因此，所求的最小勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域是分別以B和D為圓心、a為半徑的兩個(gè)四分之一圓周和所圍成的，其面積為S＝2×＝a2.
答案：(1) 方向垂直紙面向外 (2)a2
遷移3 帶電粒子運(yùn)動(dòng)的多解問題
3.
(多選)如圖所示，垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在正方形abcd區(qū)域內(nèi)，O點(diǎn)是cd邊的中點(diǎn)．一個(gè)帶正電的粒子僅在磁場(chǎng)力的作用下，從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時(shí)間t0后剛好從c點(diǎn)射出磁場(chǎng)．現(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點(diǎn)沿紙面以與O
30、d成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形內(nèi)，那么下列說法中正確的是( )
A．若該帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間是t0，則它一定從cd邊射出磁場(chǎng)
B．若該帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間是t0，則它一定從ad邊射出磁場(chǎng)
C．若該帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間是t0，則它一定從bc邊射出磁場(chǎng)
D．若該帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間是t0，則它一定從ab邊射出磁場(chǎng)
解析：
選AC.如圖所示，作出剛好從ab邊射出的軌跡①、剛好從bc邊射出的軌跡②、從cd邊射出的軌跡③和剛好從ad邊射出的軌跡④.由從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時(shí)間t0后剛好從c點(diǎn)射出磁場(chǎng)可知，帶電粒子在磁場(chǎng)
31、中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期是2t0，可知，從ad邊射出磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間一定小于t0；從ab邊射出磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間一定大于等于t0，小于t0；從bc邊射出磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間一定大于等于t0，小于t0；從cd邊射出磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間一定是t0.故選項(xiàng)A、C正確，B、D錯(cuò)誤．
[學(xué)生用書P184]
1.
(高考全國卷Ⅰ)如圖，MN為鋁質(zhì)薄平板，鋁板上方和下方分別有垂直于圖平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(未畫出)．一帶電粒子從緊貼鋁板上表面的P點(diǎn)垂直于鋁板向上射出，從Q點(diǎn)穿越鋁板后到達(dá)PQ的中點(diǎn)O.已知粒子穿越鋁板時(shí)，其動(dòng)能損失一半，速度方向和電荷量不變．不計(jì)重力．鋁板上方和下方的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小之比為( )
A．2
32、 B．
C．1 D．
解析：選D.設(shè)帶電粒子在P點(diǎn)時(shí)初速度為v1，從Q點(diǎn)穿過鋁板后速度為v2，則Ek1＝mv，Ek2＝mv，由題意可知Ek1＝2Ek2，即mv＝mv，則＝.粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛倫茲力提供，即qvB＝，得R＝，由題意可知＝，所以＝＝，故選項(xiàng)D正確．
2.
(2016·高考四川卷)如圖所示，正六邊形abcdef區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一帶正電的粒子從f點(diǎn)沿fd方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，當(dāng)速度大小為vb時(shí)，從b點(diǎn)離開磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為tb；當(dāng)速度大小為vc時(shí)，從c點(diǎn)離開磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為tc.不計(jì)粒子重力．則( )
A．vb∶vc
33、＝1∶2，tb∶tc＝2∶1
B．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2
C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1
D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2
解析：
選A.設(shè)正六邊形的邊長為L，一帶正電的粒子從f點(diǎn)沿fd方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，當(dāng)速度大小為vb時(shí)，從b點(diǎn)離開磁場(chǎng)，由幾何關(guān)系可知，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑rb＝L，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為120°，由洛倫茲力提供向心力Bqvb＝，得L＝，且T＝，得tb＝·；當(dāng)速度大小為vc時(shí)，從c點(diǎn)離開磁場(chǎng)，由幾何關(guān)系可知，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角2θ＝60°，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑rc
34、＝L＋＝2L，同理有2L＝，tc＝·，解得vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1，A正確．
3．(2015·高考全國卷Ⅰ)兩相鄰勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不同、方向平行．一速度方向與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直的帶電粒子(不計(jì)重力)，從較強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域進(jìn)入到較弱磁場(chǎng)區(qū)域后，粒子的( )
A．軌道半徑減小，角速度增大
B．軌道半徑減小，角速度減小
C．軌道半徑增大，角速度增大
D．軌道半徑增大，角速度減小
解析：選D.分析軌道半徑：帶電粒子從較強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域進(jìn)入到較弱磁場(chǎng)區(qū)域后，粒子的速度v大小不變，磁感應(yīng)強(qiáng)度B減小，由公式r＝可知，軌道半徑增大．分析角速度：由公式T＝可知，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期
35、增大，根據(jù)ω＝知角速度減?。x項(xiàng)D正確．
4.
(2018·河南商丘模擬)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個(gè)圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(圖中未畫出)，磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面，O點(diǎn)為該圓形區(qū)域邊界上的一點(diǎn)．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電荷量為＋q的帶電粒子(不計(jì)重力)從O點(diǎn)以初速度v0沿x軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)，已知粒子經(jīng)過y軸上P點(diǎn)時(shí)速度方向與y軸正方向夾角為θ＝30°，OP＝L，求：
(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向；
(2)該圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．
解析：
(1)由左手定則得磁場(chǎng)方向垂直xOy平面向里．粒子在磁場(chǎng)中做弧長為圓周的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，粒子在Q點(diǎn)飛出磁場(chǎng)．設(shè)其圓心為O′
36、，半徑為R.由幾何關(guān)系有(L－R)sin 30°＝R，所以R＝L.由牛頓第二定律有qv0B＝m，故R＝.
由以上各式得磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝.
(2)設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為S.由幾何關(guān)系得
直徑＝R＝L，
所以S＝π＝L2.
答案：(1) 方向垂直于xOy平面向里 (2)L2
[學(xué)生用書P335(單獨(dú)成冊(cè))]
(建議用時(shí)：60分鐘)
一、單項(xiàng)選擇題
1．(2018·北京海淀區(qū)期末)
如圖所示，在赤道處，將一小球向東水平拋出，落地點(diǎn)為a；給小球帶上電荷后，仍以原來的速度拋出，考慮地磁場(chǎng)的影響，下列說法正確的是( )
A．無論小球帶何種電荷，小球仍會(huì)落在a點(diǎn)
B．無論小球帶
37、何種電荷，小球下落時(shí)間都會(huì)延長
C．若小球帶負(fù)電荷，小球會(huì)落在更遠(yuǎn)的b點(diǎn)
D．若小球帶正電荷，小球會(huì)落在更遠(yuǎn)的b點(diǎn)
解析：選D.地磁場(chǎng)在赤道上空水平由南向北，從南向北觀察，如果小球帶正電荷，則洛倫茲力斜向右上方，該洛倫茲力在豎直向上的方向和水平向右方向均有分力，因此，小球落地時(shí)間會(huì)變長，水平位移會(huì)變大；同理，若小球帶負(fù)電，則小球落地時(shí)間會(huì)變短，水平位移會(huì)變小，故D正確．
2．“人造小太陽”托卡馬克裝置使用強(qiáng)磁場(chǎng)約束高溫等離子體，使其中的帶電粒子被盡可能限制在裝置內(nèi)部，而不與裝置器壁碰撞．已知等離子體中帶電粒子的平均動(dòng)能與等離子體的溫度T成正比，為約束更高溫度的等離子體，則需要更強(qiáng)的磁場(chǎng)
38、，以使帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑不變．由此可判斷所需的磁感應(yīng)強(qiáng)度B正比于( )
A. B．T
C. D．T2
解析：選A.考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)問題．由題意知，帶電粒子的平均動(dòng)能Ek＝mv2∝T，故v∝.由qvB＝整理得：B∝，故選項(xiàng)A正確．
3.
初速度為v0的電子，沿平行于通電長直導(dǎo)線的方向射出，直導(dǎo)線中電流方向與電子的初始運(yùn)動(dòng)方向如圖所示，則( )
A．電子將向右偏轉(zhuǎn)，速率不變
B．電子將向左偏轉(zhuǎn)，速率改變
C．電子將向左偏轉(zhuǎn)，速率不變
D．電子將向右偏轉(zhuǎn)，速率改變
解析：選A.由安培定則可知，通電導(dǎo)線右方磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，則電子
39、受洛倫茲力方向由左手定則可判知向右，所以電子向右偏；由于洛倫茲力不做功，所以電子速率不變．
4.
如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，三個(gè)質(zhì)量和電荷量都相同的帶電粒子a、b、c，以不同的速率對(duì)準(zhǔn)圓心O沿著AO方向射入磁場(chǎng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖．若帶電粒子只受磁場(chǎng)力的作用，則下列說法正確的是( )
A．a(chǎn)粒子速率最大，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長
B．c粒子速率最大，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短
C．a(chǎn)粒子速率最小，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短
D．c粒子速率最小，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短
解析：選B.由題圖可知，粒子a的運(yùn)動(dòng)半徑最小，圓心角最大，粒子c的運(yùn)動(dòng)半徑最大，圓心角最小，由洛倫茲力提供粒子做圓
40、周運(yùn)動(dòng)的向心力可得：qvB＝m，故半徑公式r＝，T＝＝，故在質(zhì)量、帶電荷量、磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度都相同的情況下，速率越小，半徑越小，所以粒子a的運(yùn)動(dòng)速率最小，粒子c的運(yùn)動(dòng)速率最大，而帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間只取決于運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的圓心角，所以粒子a的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，粒子c的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短．
5.
(2018·北京朝陽質(zhì)檢)如圖所示，ABC為與勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直的邊長為a的等邊三角形，磁場(chǎng)垂直于紙面向外，比荷為的電子以速度v0從A點(diǎn)沿AB方向射入，欲使電子能經(jīng)過BC邊，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值應(yīng)為( )
A．B> B．B<
C．B< D．B>
解析：
選C.由題意，若電子正好經(jīng)過
41、C點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，此時(shí)其圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R＝＝，要想電子從BC邊經(jīng)過，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑要大于，由帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑公式r＝，有<，即B<，C選項(xiàng)正確．
6.
如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一個(gè)帶電粒子以速度v從A點(diǎn)沿直徑AOB方向射入磁場(chǎng)，經(jīng)過Δt時(shí)間從C點(diǎn)射出磁場(chǎng)，OC與OB成60°角．現(xiàn)將帶電粒子的速度變?yōu)椋詮腁點(diǎn)沿原方向射入磁場(chǎng)，不計(jì)重力，則粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間變?yōu)? )
A.Δt B．2Δt
C.Δt D．3Δt
解析：
選B.粒子沿半徑方向進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，一定沿半徑方向射出，如圖．粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲
42、力提供向心力，由qvB＝m得R＝，T＝.由數(shù)學(xué)知識(shí)得：粒子以速度v進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R＝r，轉(zhuǎn)過的圓心角θ＝60°；粒子以速度進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R′＝r，轉(zhuǎn)過的圓心角θ′＝120°，周期T與速度無關(guān)，所以t′＝Δt＝2Δt，B正確．
二、多項(xiàng)選擇題
7.
(2018·河南鄭州質(zhì)檢)如圖所示，在垂直紙面向里的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，水平放置一根粗糙絕緣細(xì)直桿，有一個(gè)重力不能忽略、中間帶有小孔的帶正電小球套在細(xì)桿上．現(xiàn)在給小球一個(gè)水平向右的初速度v0，假設(shè)細(xì)桿足夠長，小球在運(yùn)動(dòng)過程中電荷量保持不變，桿上各處的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，則小球運(yùn)動(dòng)的速度v與時(shí)間t的關(guān)系圖象可能是( )
43、
解析：選BD.由左手定則可判定洛倫茲力的方向豎直向上，若Bqv0＝mg，球與桿之間無壓力作用，即無摩擦力作用，球勻速運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)于B圖象；若Bqv0>mg，桿對(duì)球有向下的壓力，由Bqv0＝mg＋FN知壓力隨球速度的減小而減小，再由ma＝Ff＝μFN知小球做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)速度圖線的斜率逐漸減小，直到速度減小到使洛倫茲力等于重力后小球勻速運(yùn)動(dòng)，題目中無與此情況對(duì)應(yīng)的圖象；若Bqv0
44、應(yīng)，故B、D正確．
8．(2015·高考四川卷)如圖所示，S處有一電子源，可向紙面內(nèi)任意方向發(fā)射電子，平板MN垂直于紙面，在紙面內(nèi)的長度L＝9.1 cm，中點(diǎn)O與S間的距離d＝4.55 cm，MN與SO直線的夾角為θ，板所在平面有電子源的一側(cè)區(qū)域有方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝2.0×10－4 T，電子質(zhì)量m＝9.1×10－31 kg，電量e＝－1.6×10－19 C，不計(jì)電子重力，電子源發(fā)射速度v＝1.6×106 m/s的一個(gè)電子，該電子打在板上可能位置的區(qū)域的長度為l，則( )
A．θ＝90°時(shí)，l＝9.1 cm B．θ＝60°時(shí)，l＝9.1 cm
C．θ＝4
45、5°時(shí)，l＝4.55 cm D．θ＝30°時(shí)，l＝4.55 cm
解析：選AD.電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力：evB＝，R＝＝4.55×10－2 m＝4.55 cm＝，θ＝90°時(shí)，擊中板的范圍如圖1，l＝2R＝9.1 cm，選項(xiàng)A正確．θ＝60°時(shí)，擊中板的范圍如圖2所示，l＜2R＝9.1 cm，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．θ＝30°，如圖3所示，l＝R＝4.55 cm，當(dāng)θ＝45°時(shí)，擊中板的范圍如圖4所示，l＞R(R＝4.55 cm)，故選項(xiàng)D正確，C錯(cuò)誤．
9.
(2018·內(nèi)蒙古杭錦后旗奮斗中學(xué)高三考試)如圖所示，直角三角形ABC區(qū)域中存在一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，比荷相同的兩個(gè)粒
46、子(不計(jì)重力)沿AB方向射入磁場(chǎng)，分別從AC邊上的P、Q兩點(diǎn)射出，則( )
A．從P點(diǎn)射出的粒子速度大
B．從Q點(diǎn)射出的粒子向心力加速度大
C．從P點(diǎn)射出的粒子角速度大
D．兩個(gè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間一樣長
解析：
選BD.粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，分別從P點(diǎn)和Q點(diǎn)射出，洛倫茲力提供向心力：qvB＝m，軌跡半徑r＝，兩粒子比荷相等，rP＜rQ，所以vP＜vQ，故A錯(cuò)誤；向心加速度a＝＝，vP＜vQ，所以aP＜aQ，故B正確；粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的周期T＝＝，角速度ω＝＝，兩粒子比荷相等，所以周期相等、角速度相等，故C錯(cuò)誤；根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子在磁場(chǎng)中偏
47、轉(zhuǎn)的圓心角相等，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝T＝，所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，故D正確．
10.
(2018·河南百校聯(lián)盟質(zhì)檢)如圖所示，一單邊有界磁場(chǎng)的邊界上有一粒子源，以與水平方向成θ角的不同速率，向磁場(chǎng)中射入兩個(gè)相同的粒子1和2，粒子1經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后從邊界上A點(diǎn)出磁場(chǎng)，粒子2經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后從邊界上B點(diǎn)出磁場(chǎng)，OA＝AB，則( )
A．粒子1與粒子2的速度之比為1∶2
B．粒子1與粒子2的速度之比為1∶4
C．粒子1與粒子2在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為1∶1
D．粒子1與粒子2在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為1∶2
解析：
選AC.粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度的垂線與OA的垂直平分線的
48、交點(diǎn)為粒子1在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，同理，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的垂線與OB的垂直平分線的交點(diǎn)為粒子2在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，由幾何關(guān)系可知，兩個(gè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比為r1∶r2＝1∶2，由r＝可知，粒子1與粒子2的速度之比為1∶2，A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；由于粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期均為T＝，且兩粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡所對(duì)的圓心角相同，因此粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，即C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤．
三、非選擇題
11．如圖所示，虛線圓所圍區(qū)域內(nèi)有方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.一束電子沿圓形區(qū)域的直徑方向以速度v射入磁場(chǎng)，電子束經(jīng)過磁場(chǎng)區(qū)后，其運(yùn)動(dòng)方向與原入射方向成
49、θ角．設(shè)電子質(zhì)量為m，電荷量為e、不計(jì)電子之間相互作用力及所受的重力，求：
(1)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑R；
(2)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；
(3)圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑r.
解析：(1)由牛頓第二定律和洛倫茲力公式得
evB＝解得R＝.
(2)設(shè)電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，
則T＝＝
由如圖所示的幾何關(guān)系得圓心角α＝θ，
所以t＝T＝.
(3)如圖所示幾何關(guān)系可知，tan ＝，
所以r＝tan .
答案：(1) (2) (3)tan
12.
如圖所示，在屏蔽裝置底部中心位置O點(diǎn)放一醫(yī)用放射源，可通過細(xì)縫沿扇形區(qū)域向外輻射速率為v＝3.2×106
50、m/s的 α粒子．已知屏蔽裝置寬AB＝9 cm，縫長AD＝18 cm，α粒子的質(zhì)量m＝6.64×10－27kg，電荷量q＝3.2×10－19 C．若在屏蔽裝置右側(cè)條形區(qū)域內(nèi)加一勻強(qiáng)磁場(chǎng)來隔離輻射，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.332 T，方向垂直于紙面向里，整個(gè)裝置放于真空環(huán)境中．
(1)若所有的α粒子均不能從條形磁場(chǎng)隔離區(qū)的右側(cè)穿出，則磁場(chǎng)的寬度d至少是多少？
(2)若條形磁場(chǎng)的寬度d＝20 cm，則射出屏蔽裝置的α粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間和最短時(shí)間各是多少？(結(jié)果保留2位有效數(shù)字)
解析：(1)由題意：AB＝9 cm，AD＝18 cm，可得
∠BAO＝∠ODC＝45°
所有α粒子在磁場(chǎng)中做
51、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，設(shè)為R，根據(jù)牛頓第二定律有
Bqv＝
解得R＝0.2 m＝20 cm
由題意及幾何關(guān)系可知：若條形磁場(chǎng)區(qū)域的右邊界與沿OD方向進(jìn)入磁場(chǎng)的α粒子的圓周軌跡相切，則所有α粒子均不能從條形磁場(chǎng)隔離區(qū)右側(cè)穿出，此時(shí)磁場(chǎng)的寬度最小，如圖甲所示．
設(shè)此時(shí)磁場(chǎng)寬度d＝d0，由幾何關(guān)系得
d0＝R＋Rcos 45°＝(20＋10)cm＝0.34 m.
甲 乙
(2)設(shè)α粒子在磁場(chǎng)內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，則
T＝＝×10－6 s
設(shè)速度方向垂直于AD進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的α粒子的入射點(diǎn)為E，如圖乙所示．因磁場(chǎng)寬度d＝20 cm
52、 cm，則在∠EOD間輻射進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的α粒子均能穿出磁場(chǎng)右邊界，在∠EOA間輻射進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的α粒子均不能穿出磁場(chǎng)右邊界，沿OE方向進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的α粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與磁場(chǎng)右邊界相切，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長．設(shè)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為tmax，則
tmax＝＝×10－6 s＝2.0×10－7 s
若α粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的圓弧軌跡的弦最短，則α粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短．最短的弦長為磁場(chǎng)寬度d.設(shè)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為tmin，軌跡如圖乙所示，因R＝d，則圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為60°，故
tmin＝＝×10－6 s＝6.5×10－8 s.
答案：(1)0.34 m (2)2.0×10－7s 6.5×10－8 s
24
2019高考物理一輪復(fù)習(xí) 第九章 磁場(chǎng) 第2講 磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用學(xué)案
