2018年高考物理二輪復習 專題04 天體運動學案

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1、 專題04 天體運動 構建知識網絡： 考情分析： 關于萬有引力定律及應用知識的考查，主要表現(xiàn)在兩個方面： （1）天體質量和密度的計算：主要考查對萬有引力定律、星球表面重力加速度的理解和計算 （2）人造衛(wèi)星的運行和邊柜：主要是結合圓周運動的規(guī)律、萬有引力定律，考查衛(wèi)星在軌道上運行的線速度、角速度、周期以及有關能量的變化 重點知識梳理： 一、萬有引力定律 1.內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的平方成反比. 2.表達式：F＝G G為引力常量：G＝6.67×10－11N·m2/k

2、g2. 3.適用條件 (1)公式適用于質點間的相互作用.當兩個物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可視為質點. (2)質量分布均勻的球體可視為質點，r是兩球心間的距離. 二、環(huán)繞速度 1.三個宇宙速度 (1)第一宇宙速度 v1＝7.9km/s，衛(wèi)星在地球表面附近繞地球做勻速圓周運動的速度，又稱環(huán)繞速度. (2)第二宇宙速度 v2＝11.2km/s，使衛(wèi)星掙脫地球引力束縛的最小地面發(fā)射速度，又稱脫離速度. (3)第三宇宙速度 v3＝16.7km/s，使衛(wèi)星掙脫太陽引力束縛的最小地面發(fā)射速度，也叫逃逸速度. 2.第一宇宙速度的推導 方法一：由G＝m得v1＝＝7.9×1

3、03m/s. 方法二：由mg＝m得 v1＝＝7.9×103m/s. 第一宇宙速度是發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度，也是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，此時它的運行周期最短，Tmin＝2π＝5075s≈85min. 【名師提醒】 掌握“一模”“兩路”“三角”，破解天體運動問題 (1)一種模型：無論是自然天體(如地球、月亮)還是人造天體(如宇宙飛船、人造衛(wèi)星)都可以看作質點，圍繞中心天體(視為靜止)做勻速圓周運動。 (2)兩條思路： ①動力學思路。萬有引力提供向心力，即G＝ma，a＝＝ω2r＝()2r，這是解題的主線索。 ②對于天體表面的物體：在忽略自轉時G＝mg或GM＝gR2(R、g分

4、別是天體的半徑、天體表面的重力加速度)，公式GM＝gR2稱為“黃金代換式”，這是解題的副線索。 (3)“三角等式”關系 典型例題剖析： 考點一：天體質量和密度的估算 【典型例題1】假設地球可視為質量均勻分布的球體。已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉的周期為T，引力常量為G。地球的密度為(　　) A. B. C. D. 【答案】 B 【變式訓練1】(多選)宇航員抵達一半徑為R的星球后，做了如下的實驗：取一根細繩穿過光滑的細直管，細繩的一端拴一質量為m的砝碼，另一端連接在

5、一固定的拉力傳感器上，手捏細直管掄動砝碼，使它在豎直平面內做圓周運動．若該星球表面沒有空氣，不計阻力，停止掄動細直管，砝碼可繼續(xù)在同一豎直平面內做完整的圓周運動，如圖所示，此時拉力傳感器顯示砝碼運動到最低點與最高點兩位置時讀數差的絕對值為ΔF.已知萬有引力常量為G，根據題中提供的條件和測量結果，可知(　　) A．該星球表面的重力加速度為 B．該星球表面的重力加速度為 C．該星球的質量為 D．該星球的質量為 【答案】BC 【變式訓練2】(多選)(2017·上饒二模)某人造航天器在月球表面上空繞月球做勻速圓周運動，經過時間t

6、(t小于航天器的繞行周期)，航天器運動的弧長為s，航天器與月球的中心連線掃過的角度為θ，引力常量為G，則(　　) A．航天器的軌道半徑為　　 B．航天器的環(huán)繞周期為 C．月球的質量為 D．月球的密度為 【答案】BC 【解析】 根據幾何關系得r＝，故A錯誤；經過時間t，航天器與月球的中心連線掃過角度為θ，則＝，得T＝，故B正確；航天器由萬有引力充當向心力而做圓周運動，所以G＝mr，得M＝＝＝，故C正確；月球的體積V＝πr3＝π3，月球的密度ρ＝＝＝，故D錯誤。 【名師提醒】 1．利用天體表面的重力加速度g和天體的半徑R.---

7、這叫“自力更生”法 由G＝mg，得M＝，ρ＝＝. 2．利用天體的衛(wèi)星：已知衛(wèi)星的周期T(或線速度v)和衛(wèi)星的軌道半徑r.—這叫“依靠外援”法 由G＝m＝mr，得M＝ 若測天體的密度，將天體的質量M＝ρπR3代入得 ρ＝ 說明　(1)此方法只能確定中心天體的質量M和密度ρ，而不是環(huán)繞天體的質量和密度(2)注意區(qū)分r和R的不同含義：r為軌道半徑，R為天體半徑，當衛(wèi)星在天體表面運行時才有r＝R. 考點二：人造衛(wèi)星的運行規(guī)律 【典型例題2】(多選)如圖所示，兩質量相等的衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運動，用R、T、Ek、S分別表示衛(wèi)星的軌道半徑、周期、動能、與地心連線在單位時間內掃過的面積

8、。下列關系式正確的有(　　) A．TA＞TB　　　　　　 　B．EkA＞EkB C．SA＝SB D.＝ 【答案】AD 【變式訓練3】(多選)中國最新研制的“長征六號”運載火箭2015年9月20日首次發(fā)射，成功將20顆衛(wèi)星送入預定軌道，締造了“一箭多星”發(fā)射的亞洲新紀錄．假設某顆衛(wèi)星運行在同步軌道(衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的n倍)上，由此可知(　　) A．該衛(wèi)星運行的向心加速度大小是地表重力加速度的 B．該衛(wèi)星運行的向心加速度大小是地表重力加速度的 C．該衛(wèi)星的運行速度大小是第一宇宙速度大小

9、的 D．該衛(wèi)星的運行速度大小是第一宇宙速度大小的 【答案】AD 【解析】 衛(wèi)星運行在軌道半徑是地球半徑n倍的圓形軌道上，所受萬有引力F＝G，F(xiàn)＝ma，在地球表面，m0g＝G，聯(lián)立解得＝，選項A正確、B錯誤；由G＝m，GM＝gR2，解得v＝，第一宇宙速度v1＝，＝，選項C錯誤、D正確． 【變式訓練4】登上火星是人類的夢想．“嫦娥之父”歐陽自遠透露：中國計劃于2020年登陸火星．地球和火星公轉視為勻速圓周運動，忽略行星自轉影響．根據下表，火星和地球相比(　　) 行星 半徑/m 質量/kg 軌道半徑/m 地球 6.4×106 6.0×1024 1.5×1011

10、 火星 3.4×106 6.4×1023 2.3×1011 A．火星的公轉周期較小 B．火星做圓周運動的加速度較小 C．火星表面的重力加速度較大 D．火星的第一宇宙速度較大 【答案】B. 【名師提醒】 1．四個分析 “四個分析”是指分析人造衛(wèi)星的加速度、線速度、角速度和周期與軌道半徑的關系。 G＝ 2．四個比較 (1)同步衛(wèi)星的周期、軌道平面、高度、線速度、角速度繞行方向均是固定不變的，常用于無線電通信，故又稱通信衛(wèi)星。 (2)極地衛(wèi)星運行時每圈都經過南北兩極，由于地球自轉，極地衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球覆蓋。 (3)近地衛(wèi)星是在地球

11、表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，其運行的軌道半徑可近似認為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9 km/s。 (4)赤道上的物體隨地球自轉而做勻速圓周運動，由萬有引力和地面支持力的合力充當向心力(或者說由萬有引力的分力充當向心力)，它的運動規(guī)律不同于衛(wèi)星，但它的周期、角速度與同步衛(wèi)星相等—因此比較空中衛(wèi)星和赤道地面上的物體必須引進同步衛(wèi)星作為橋梁。 考點三：衛(wèi)星變軌問題分析 【典型例題3】(多選)2016年10月19日，“神舟十一號”與“天宮二號”成功實現(xiàn)交會對接。如圖所示，交會對接前“神舟十一號”飛船先在較低圓軌道1上運動，在適當位置經變軌與在圓軌道2上運動的“天宮二號”對接。M

12、、Q兩點在軌道1上，P點在軌道2上，三點連線過地球球心，把飛船的加速過程簡化為只做一次短時加速。下列關于“神舟十一號”變軌過程的描述，正確的有(　　) A．“神舟十一號”在M點加速，可以在P點與“天宮二號”相遇 B．“神舟十一號”在M點經一次加速，即可變軌到軌道2 C．“神舟十一號”經變軌后速度總大于變軌前的速度 D．“神舟十一號”變軌后的運行周期總大于變軌前的運行周期 【答案】AD 【變式訓練5】(多選) 同步衛(wèi)星的發(fā)射方法是變軌發(fā)射，即先把衛(wèi)星發(fā)射到離地面高度為200 km～300 km的圓形軌道上，這條軌道叫停泊軌道，如圖所示，當衛(wèi)星穿過赤道平面上的P點時，末級火箭點

13、火工作，使衛(wèi)星進入一條大的橢圓軌道，其遠地點恰好在地球赤道上空約36 000 km處，這條軌道叫轉移軌道；當衛(wèi)星到達遠地點Q時，再開動衛(wèi)星上的發(fā)動機，使之進入同步軌道，也叫靜止軌道。關于同步衛(wèi)星及發(fā)射過程，下列說法正確的是(　　) A．在P點火箭點火和Q點開動發(fā)動機的目的都是使衛(wèi)星加速，因此，衛(wèi)星在靜止軌道上運行的線速度大于在停泊軌道運行的線速度 B．在P點火箭點火和Q點開動發(fā)動機的目的都是使衛(wèi)星加速，因此，衛(wèi)星在靜止軌道上運行的機械能大于在停泊軌道運行的機械能 C．衛(wèi)星在轉移軌道上運動的速度大小范圍為7.9～11.2 km/s　 D．所有地球同步衛(wèi)星的靜止軌道都相同 【答案】B

14、CD 【名師提醒】（小軌道到大軌道切點瞬間加速；大軌道到小軌道切點瞬間減速—這樣就可以比較切點的速度大小；決定加速度的是力，瞬間加速或者減速時位置沒有來得及變化，故萬有引力瞬間不變，即加速度不變） 1．衛(wèi)星發(fā)射及變軌過程概述 人造衛(wèi)星的發(fā)射過程要經過多次變軌方可到達預定軌道，如圖所示。 (1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上。 (2)在A點點火加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星做離心運動進入橢圓軌道Ⅱ。 (3)在B點(遠地點)再次點火加速進入圓形軌道Ⅲ。 2．三個運行物理量的大小比較 (1)速度：設衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速

15、率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點和B點速率分別為vA、vB。在A點加速，則vA＞v1，在B點加速，則v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。 (2)加速度：因為在A點，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經過A點，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，經過B點加速度也相同。 (3)周期：設衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上運行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長軸)、r3，由開普勒第三定律＝k可知T1＜T2＜T3。 考點四：宇宙多星問題 【典型例題4】(多選)宇宙中存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用，三星質量也相同?，F(xiàn)已

16、觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星做圓周運動，如圖甲所示；另一種是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，如圖乙所示。設兩種系統(tǒng)中三個星體的質量均為m，且兩種系統(tǒng)中各星間的距離已在圖甲、圖乙中標出，引力常量為G，則下列說法中正確的是(　　) A．直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運動的線速度大小為 B．直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運動的周期為4π C．三角形三星系統(tǒng)中每顆星做圓周運動的角速度為2 D．三角形三星系統(tǒng)中每顆星做圓周運動的加速度大小為 【答案】BD 【變式訓練6】宇宙中存在一些質量相等

17、且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用。設四星系統(tǒng)中每個星體的質量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個頂點上。已知引力常量為G。關于宇宙四星系統(tǒng)，下列說法錯誤的是(　　) A．四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動 B．四顆星的軌道半徑均為 C．四顆星表面的重力加速度均為 D．四顆星的周期均為2πa 【答案】 B 【解析】 四星系統(tǒng)中任一顆星體均在其他三顆星體的萬有引力作用下，合力方向指向對角線的交點，圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，由幾何知識可得軌道半徑均為a，故A正確，B錯誤；在

18、星體表面，根據萬有引力等于重力，可得G＝m′g，解得g＝，故C正確；由萬有引力定律和向心力公式得＋＝m，T＝2πa ，故D正確。 【名師提醒】 1.宇宙雙星模型 (1)兩顆行星做勻速圓周運動所需的向心力是由它們之間的萬有引力提供的，故兩行星做勻速圓周運動的向心力大小相等。 (2)兩顆行星均繞它們連線上的一點做勻速圓周運動，因此它們的運行周期和角速度是相等的。 (3)兩顆行星做勻速圓周運動的半徑r1和r2與兩行星間距L的大小關系：r1＋r2＝L。 2.宇宙三星模型 (1)如圖所示， 三顆質量相等的行星，一顆行星位于中心位置不動，另外兩顆行星圍繞它做圓周運動。這三顆行星始終位

19、于同一直線上，中心行星受力平衡。運轉的行星由其余兩顆行星的引力提供向心力：＋＝ma。 兩行星轉動的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等。 (2)如圖所示， 三顆質量相等的行星位于一正三角形的頂點處，都繞三角形的中心做圓周運動。每顆行星運行所需向心力都由其余兩顆行星對其萬有引力的合力來提供。 ×2×cos 30°＝ma，其中L＝2rcos 30°。 三顆行星轉動的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等。 3.宇宙四星模型 (1)如圖所示， 四顆質量相等的行星位于正方形的四個頂點上，沿外接于正方形的圓軌道做勻速圓周運動。 ×2×cos 45°＋＝ma，其中r＝ L

20、。 四顆行星轉動的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等。 (2)如圖所示， 三顆質量相等的行星位于正三角形的三個頂點，另一顆恒星位于正三角形的中心O點，三顆行星以O點為圓心，繞正三角形的外接圓做勻速圓周運動。 ×2×cos 30°＋＝ma。其中L＝2rcos 30°。 外圍三顆行星轉動的方向相同，周期、角速度、線速度的大小均相等。 專題四 課時跟蹤訓練 單項選擇題 1.(2017·西安高三檢測)理論上已經證明：質量分布均勻的球殼對殼內物體的萬有引力為零。現(xiàn)假設地球是一半徑為R、質量分布均勻的實心球體，O為球心，以O為原點建立坐標軸Ox，如圖所示。一個質量一

21、定的小物體(假設它能夠在地球內部移動)在x軸上各位置受到的引力大小用F表示，則選項圖所示的四個F隨x的變化關系圖像正確的是(　　) 【答案】A 2.(2017·哈爾濱三中模擬)宇航員站在某一星球上，將一個小球距離星球表面h高度處由靜止釋放，使其做自由落體運動，經過t時間后小球到達星球表面，已知該星球的半徑為R，引力常量為G，則下列選項正確的是(　　) A．該星球的質量為 B．該星球表面的重力加速度為 C．該星球的第一宇宙速度為 D．通過以上數據無法確定該星球的密度 【答案】A 【解析】　小球做自由落體運動，則有h＝gt2，解得該

22、星球表面的重力加速度g＝，故B錯誤；對星球表面的物體，萬有引力等于重力，即G＝mg，可得該星球的質量M＝，故A正確；該星球的第一宇宙速度v＝＝ ，故C錯誤；該星球的密度ρ＝＝，故D錯誤。 3.(2017·黃岡中學模擬)已知某星球的第一宇宙速度與地球相同，其表面的重力加速度為地球表面重力加速度的一半，則該星球的平均密度與地球平均密度的比值為(　　) A．1∶2　　　 B．1∶4　　　 C．2∶1　　　 D．4∶1 【答案】B 4. 國務院批復，自2016年起將4月24日設立為“中國航天日”.1970年4月24日我國首次成功發(fā)射的人造衛(wèi)星東方紅一號，目前仍然在橢圓軌道

23、上運行，其軌道近地點高度約為440 km，遠地點高度約為2 060 km；1984年4月8日成功發(fā)射的東方紅二號衛(wèi)星運行在赤道上空35 786 km的地球同步軌道上．設東方紅一號在遠地點的加速度為a1，東方紅二號的加速度為a2，固定在地球赤道上的物體隨地球自轉的加速度為a3，則a1、a2、a3的大小關系為(　　) A．a2>a1>a3 B．a3>a2>a1 C．a3>a1>a2 D．a1>a2>a3 【答案】D 【解析】　衛(wèi)星圍繞地球運行時，萬有引力提供向心力，對于東方紅一號，在遠地點時有G＝m1a1，即a1＝，對于東方紅二號，有

24、G＝m2a2，即a2＝，由于h2>h1，故a1>a2，東方紅二號衛(wèi)星與地球自轉的角速度相等，由于東方紅二號做圓周運動的軌道半徑大于地球赤道上物體做圓周運動的半徑，根據a＝ω2r，故a2>a3，所以a1>a2>a3，選項D正確，選項A、B、C錯誤． 5. 2014年10月24日，“嫦娥五號”探測器發(fā)射升空，為計劃于2017年左右發(fā)射的“嫦娥五號”探路，并在8天后以“跳躍式返回技術”成功返回地面?！疤S式返回技術”指航天器在關閉發(fā)動機后進入大氣層，依靠大氣升力再次沖出大氣層，降低速度后再進入大氣層。如圖所示，虛線為大氣層的邊界。已知地球半徑R，地心到d點距離r，地球表面重力加速度為g。下列說法

25、正確的是(　　) A．“嫦娥五號”在b點處于完全失重狀態(tài) B．“嫦娥五號”在d點的加速度小于 C．“嫦娥五號”在a點速率大于在c點的速率 D．“嫦娥五號”在c點速率大于在e點的速率 【答案】C 二、多項選擇題 6.(多選)2016年10月19日，“神舟十一號”與“天宮二號”成功實現(xiàn)交會對接。如圖所示，交會對接前“神舟十一號”飛船先在較低圓軌道1上運動，在適當位置經變軌與在圓軌道2上運動的“天宮二號”對接。M、Q兩點在軌道1上，P點在軌道2上，三點連線過地球球心，把飛船的加速過程簡化為只做一次短時加速。下列關于“神舟十一號”變軌過程的描述，正確的有(　　) A

26、．“神舟十一號”在M點加速，可以在P點與“天宮二號”相遇 B．“神舟十一號”在M點經一次加速，即可變軌到軌道2 C．“神舟十一號”經變軌后速度總大于變軌前的速度 D．“神舟十一號”變軌后的運行周期總大于變軌前的運行周期 【答案】AD 7.(2017·蘇州三模)如圖所示，兩星球相距為L，質量比為mA∶mB＝1∶9，兩星球半徑遠小于L。從星球A沿A、B連線向B以某一初速度發(fā)射一探測器。只考慮星球A、B對探測器的作用，下列說法正確的是(　　) A．探測器的速度一直減小 B．探測器在距星球A為處加速度為零 C．若探測器能到達星球B，其速度可能恰好為零 D．若探測器

27、能到達星球B，其速度一定大于發(fā)射時的初速度 【答案】BD 【解析】　探測器從A向B運動，所受的萬有引力合力先向左再向右，則探測器的速度先減小后增大，故A錯誤；當探測器合力為零時，加速度為零，則有：G＝G，因為mA∶mB＝1∶9，則rA∶rB＝1∶3，知探測器距離星球A的距離為x＝，故B正確；探測器到達星球B的過程中，由于B的質量大于A的質量，從A到B萬有引力的總功為正功，則動能增加，所以探測器到達星球B的速度一定大于發(fā)射時的初速度，故C錯誤，D正確。 8. 如圖1是2015年9月3日北京天安門大閱兵我軍展示的東風-41洲際彈道導彈，它是目前我國軍方對外公布的戰(zhàn)略核導彈系統(tǒng)中的最先進系統(tǒng)之

28、一。如圖2所示，從地面上A點發(fā)射一枚中遠程地對地導彈，在引力作用下沿ACB橢圓軌道飛行擊中地面目標B，C為軌道的遠地點，距地面高度為h。已知地球半徑為R，地球質量為M，引力常量為G，不計空氣阻力。下列結論中正確的是(　　) A．導彈在運動過程中只受重力作用，做勻變速曲線運動 B．導彈在C點的加速度等于 C．地球球心為導彈橢圓軌道的一個焦點 D．導彈從A點到B點的時間可能比近地衛(wèi)星的周期小 【答案】BCD 9.(多選)如圖所示是我國發(fā)射的“嫦娥三號”衛(wèi)星被月球俘獲的示意圖，“嫦娥三號”衛(wèi)星先繞月球沿橢圓軌道Ⅲ運動，在P點經兩次制動后最終沿月球表面的圓軌道Ⅰ做勻速圓周運動，已知

29、圓軌道半徑為r，橢圓Ⅲ的半長軸為4r，衛(wèi)星沿圓軌道Ⅰ運行的周期為T，則下列說法中正確的是(　　) A．“嫦娥三號”衛(wèi)星在軌道Ⅱ上運行的機械能大于在軌道Ⅲ上運行的機械能 B．“嫦娥三號”衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運行時，在M點的速度大小大于在P點的速度大小 C．“嫦娥三號”衛(wèi)星在三個軌道上運行時，在P點的加速度總是相同的 D．“嫦娥三號”衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運行時，從M點運動到P點經歷的時間為4T 【答案】CD 【解析】 因“嫦娥三號”衛(wèi)星從軌道Ⅲ變軌到軌道Ⅱ上運行時，必須在P點進行減速，即在軌道Ⅱ上運行的機械能小于在軌道Ⅲ上運行的機械能，A項錯誤；由開普勒行星運動第二定律知“嫦娥三號”衛(wèi)星在近

30、月點速度大，即“嫦娥三號”衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運行時，在M點的速度大小小于在P點的速度大小，B項錯誤；由G＝ma知衛(wèi)星離中心天體高度相同時，運行的加速度相同，C項正確；令“嫦娥三號”衛(wèi)星從M點運動到P點經歷的時間為t，則由開普勒行星運動第三定律得＝，即t＝4T，D項正確． 10. 已知地球質量為M，半徑為R，自轉周期為T，地球同步衛(wèi)星質量為m，引力常量為G.有關同步衛(wèi)星，下列表述正確的是(　　) A．衛(wèi)星距地面的高度為 B．衛(wèi)星的運行速度小于第一宇宙速度 C．衛(wèi)星運行時受到的向心力大小為G D．衛(wèi)星運行的向心加速度小于地球表面的重力加速度 【答案】BD 三、計算題 11.(20

31、17·江西臨川月考)(1)開普勒行星運動第三定律指出：行星繞太陽運動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉周期T的二次方成正比，即＝k，k是一個對所有行星都相同的常量．將行星繞太陽的運動按圓周運動處理，請你推導出太陽系中該常量k的表達式．已知引力常量為G，太陽的質量為M太． (2)開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統(tǒng)(如地月系統(tǒng))都成立．經測定地月距離為3.84×108 m，月球繞地球運動的周期為2.36×106 s，試計算地球的質量M地．(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，結果保留一位有效數字) 【答案】 （1）k＝M太 （2）6×1024 kg 【解

32、析】：(1)因行星繞太陽做勻速圓周運動，于是軌道的半長軸a即為軌道半徑r.根據萬有引力定律和牛頓第二定律有G＝m行2r，于是有＝M太，即k＝M太． (2)在地月系統(tǒng)中，設月球繞地球運動的軌道半徑為R，周期為T，由(1)問可得＝M地，解得M地＝6×1024 kg. 12.由三顆星體構成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，存在著一種運動形式，三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內做相同角速度的圓周運動(圖示為A、B、C三顆星體質量不相同時的一般情況)．若A星體質量為2m，B、C兩星體的質量均為m，三角形的邊長為a，求： (1)A星體所受合力大小FA； (2)B星體所受合力大小FB； (3)C星體的軌道半徑RC； (4)三星體做圓周運動的周期T. 【答案】 （1）2G （2）G. （3）a. （4）π 【解析】：(1)由萬有引力定律，A星體所受B、C星體引力大小為FBA＝G＝G＝FCA，方向如圖所示， 則合力大小為FA＝2G. (3)通過分析可知，圓心O在中垂線AD的中點，則RC＝，可得RC＝a. ＝，得RC＝ (4)三星體運動周期相同，對C星體，由FC＝FB＝G＝m2RC，可得T＝π . 19