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1、計(jì)算題專項(xiàng)訓(xùn)練(二)
(時(shí)間:40分鐘 分值:49分)
1.(12分)2022年冬奧會(huì)將在北京舉行,為訓(xùn)練運(yùn)動(dòng)員的判斷力和身體應(yīng)變力,在一直徑為200 m的圓形滑冰場(chǎng)上,教練和運(yùn)動(dòng)員分別站在直徑AB的兩端。教練從A端沿冰面擊出冰球的同時(shí),運(yùn)動(dòng)員開始從B點(diǎn)沿直線做勻加速運(yùn)動(dòng),在冰球離開圓形場(chǎng)地前攔住冰球。教練若沿AB方向以20 m/s的速度擊出冰球,運(yùn)動(dòng)員不攔截冰球,球恰好能沿冰面滑到B點(diǎn),sin 53°=0.8,g=10 m/s2。
(1)求冰球與冰面間的動(dòng)摩擦因數(shù);
(2)若教練沿與AB成53°角的方向以16 m/s的速度將冰球擊出,為保證攔截成功,運(yùn)動(dòng)員的加速度至少多大?
答
2、案:(1)0.1 (2)209 m/s2
解析:(1)由A至B冰球做勻減速運(yùn)動(dòng),μmg=ma
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有0-v12=-2ad
解得μ=0.1
(2)由幾何關(guān)系可得x球=dcos53°
x人=dsin53°
設(shè)球到達(dá)圓周的時(shí)間為t,則有x球=v2t-12at2
解得t=12s或t=20s(舍去)
設(shè)運(yùn)動(dòng)員加速度至少為a',則有x人=12a't2
解得a'=209m/s2
2.(17分)如圖所示,一光滑細(xì)管ABC,AB段內(nèi)有一壓縮的輕質(zhì)彈簧,上方有一質(zhì)量m1=0.01 kg的小球1;BC段是半徑R=1 m的四分之一圓弧細(xì)管,管口C的切線水平,并與長(zhǎng)度l=1 m的粗糙直軌道C
3、D平滑相接,小球與CD的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3?，F(xiàn)將彈簧插銷K拔出,球1從管口C水平射出,通過軌道CD后與球2發(fā)生彈性正碰。碰后,球2立即水平飛出,落在E點(diǎn)。球1剛返回管口C時(shí)恰好對(duì)管道無作用力,若球1最后也落在E點(diǎn)。(球1和球2可視為質(zhì)點(diǎn),g=10 m/s2)求:
(1)碰后球1的速度、球2的速度;
(2)球2的質(zhì)量。
答案:(1)4 m/s 2 m/s (2)0.05 kg
解析:(1)球1剛返回管口C時(shí)恰好對(duì)管道無作用力,則重力提供向心力m1g=m1v122R
球1在CD水平面上所受的摩擦力Ff=μFN=μm1g
球1從D→C過程,根據(jù)動(dòng)能定理
-Ffl=12m1v122
4、-12m1v112
由以上三式解得v11=4m/s,v12=10m/s。
由于管道光滑,根據(jù)能量守恒,球1以速度v12從管口C出來
球1從C→D過程,根據(jù)動(dòng)能定理
-Ffl=12m1v132-12m1v122
解得v13=2m/s
球1也落在E點(diǎn),根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知
v2=v13=2m/s。
(2)1、2兩球在D點(diǎn)發(fā)生彈性正碰,由題可知碰后球1的速度向左
根據(jù)動(dòng)量守恒m1v10=-m1v11+m2v2
根據(jù)能量守恒12m1v102=12m1v112+12m2v22
由以上兩式解得m2=0.05kg。
3.(20分)如圖所示,將某正粒子放射源置于原點(diǎn)O,其向各個(gè)方向射
5、出的粒子速度大小均為v0,粒子質(zhì)量均為m、電荷量均為q;在0≤y≤d的一、二象限范圍內(nèi)分布著一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng),方向與y軸正向相同,在d
6、)對(duì)沿x軸正方向發(fā)射的粒子有
x=1.5d,y=d。
由類平拋運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律得x=v0t,y=12at2,而a=qEm,聯(lián)立可得E=8mv029qd。
(2)對(duì)沿x軸正方向發(fā)射的粒子射入磁場(chǎng)時(shí)有
1.5d=v0t
d=vy2t
聯(lián)立可得vy=43v0,v=vx2+vy2=53v0,方向與x軸正方向成53°,斜向右上方,
據(jù)題意知該粒子軌跡恰與上邊緣相切,則其余粒子均達(dá)不到y(tǒng)=2d邊界,由幾何關(guān)系可知d=R+35R
根據(jù)牛頓第二定律得Bqv=mv2R
解得R=mvqB
聯(lián)立可得B=8mv03qd。
(3)粒子運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間對(duì)應(yīng)最大的圓心角,經(jīng)過(1.5d,d)恰與上邊界相切的粒子軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最大,由幾何關(guān)系可知圓心角為θ=254°
粒子運(yùn)動(dòng)周期為T=2πmqB=3πd4v0
則時(shí)間為t=θ360°T=127πd240v0。
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